专题1.4
二次根式的乘除（知识讲解）
【学习目标】
1、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.
2、了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.
【要点梳理】
要点一、二次根式的乘法及积的算术平方根
1.乘法法则：
（
≥0，
≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
特别说明：
(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)；
(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
≥0，
≥0，…..
≥0）.
(3).若二次根式相乘的结果能写成
的形式，则应化简，如
.
积的算术平方根:
（
≥0，
≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
特别说明： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足
≥0，
≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；
(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有
形式的a移到根号外面.
知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则：
（
≥0，
>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。
特别说明：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，
≥0，
>0，因为b在分母上，故b不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
2.商的算术平方根的性质:
（
≥0，
>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
特别说明：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.
知识点三、最简二次根式
（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
特别说明：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
（1) 被开方数是分数或分式；
（2）含有能开方的因数或因式.
【典型例题】
类型一、最简二次根式➽➼判断✬✬化简✬✬求参数
1．判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
（1）
；（2）
；（3）
；（4）
；（5）
；（6）
．
【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解：（1）
不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式；
（2）
不是最简二次根式，被开方数含分母．
（3）
是最简二次根式，符合两个条件；
（4）
是最简二次根式，被符合两个条件；
（5）
不是最简二次根式，被开方数含分母．
（6）
不是最简二次根式，被开方数含分母．
【点拨】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
举一反三：
【变式1】在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
（1）
，（2）
，（3）
，（4）
，（5）
．
【答案】（1）不是，
；（2）不是，
；（3）是；（4）不是，
；（5）不是，
.
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解：（1）
，含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式．
（2）
，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；
（3）
，符合最简二次根式两个条件；
（4）
，在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式；
（5）
，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．
【点拨】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【变式2】把下列二次根式化成最简二次根式：
；(2)
；(3)
；
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【分析】（1）把32写成16×2，然后化简；
（2）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以2，然后化简；
（3）分子分母都乘以3，然后化简．
解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
【点拨】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．已知
和
是相等的最简二次根式．
求
，
的值；
求
的值．
【答案】
的值是
，
的值是
；（2）
．
【分析】（1）根据题意，它们的被开方数相同，列出方程组求出a，b的值；
（2）根据算术平方根的概念解答即可．
解：（1）∵
和
是相等的最简二次根式，
∴
．
解得，
，
∴
的值是
，
的值是
；
（2）
．
【点拨】考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义列出关于a，b的方程组是解题的关键.
举一反三：
【变式1】若
与最简二次根式
能合并，则m的值为（ ）
A．7 B．9 C．2 D．1
【答案】D
【分析】先将
化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得．
解：
，
与最简二次根式
能合并，
，
解得
，
故选：D．
【点拨】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键．
【变式2】若
与
是被开方数相同的最简二次根式，求
的值．
【答案】
【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入
计算求值
【详解】解：∵
与
是被开方数相同的最简二次根式
解得：
∴
符合题意
【点拨】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数．
类型二、二次根式乘法➽➼运算 ✬✬化简
3．计算：
．
【答案】
【分析】根据平方差公式结合二次根式的乘法法则可以解答本题．
解：
【点拨】本题考查二次根式的乘法运算、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式乘法运算的计算方法．
举一反三：
【变式1】计算：
(1)
；(2)
；(3)
；(4)
．
【答案】(1)6；(2)10；(3)1；(4)
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可；
（2）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可；
（3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可；
（4）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可．
解（1）原式
．
（2）原式
．
（3）原式
．
（4）原式
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的乘法法则，解题的关键是熟练掌握二次的乘法法则：
．
【变式2】设
，则
可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的乘法计算法则求解即可．
解：∵
，
∴
，
故选D．
【点拨】本题主要考查了二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键．
类型三、二次根式除法➽➼运算 ✬✬化简
4．计算：
（1）
； （2）
．
【答案】（1）
；（2）
【分析】直接利用二次根式的除法运算法则及二次根式的性质化简求出即可．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点拨】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式除法运算法则，正确掌握运算法则是解题关键．把
反过来，就得到
，利用它可以进行二次根式的化简．
举一反三：
【变式1】把
化去分母中的根号后得( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可．
解：
．
故选：D
【点拨】本题主要考查了二次根式的乘除法运算．熟练掌握二次根式的乘除法运算法则是解题的关键．
【变式2】在化简
时，有下列两种不同的方法：
方法1：原式
．
方法2：原式
．
这两种方法都正确吗？若有错误，说明理由．
【答案】方法1是错误的，方法2是正确的，理由见解析
【分析】根据分式的基本性质可得方法1中当
时，违背了分式的基本性质，即可求解．
解：方法1是错误的，方法2是正确的．理由如下∶
因为题中已知条件并没有给出
或隐含条件
，而这里在约分以后将分子和分母同时乘以
事实上，当
时，违背了分式的基本性质，虽然结论是正确的，但运算过程是错误的，当
时，原式仍有意义，此时原式的值为0．所以方法1是错误的．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简，分式的除法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
类型四、二次根式乘除法➽➼混合运算✬✬化简求值
5．（1）计算：
；
（2）计算：
【答案】（1）8；（2）0
【分析】（1）原式先计算乘方和二次根式乘法，然后再算加法即可得到答案；
（2）原式先计算二次根式的除法，再合并即可得到答案．
解：（1）计算：
=
=
=8；
（2）
=
=0．
【点拨】本题主要考查了二次根式的运算，解答本题的关键是熟练掌握二次根式相关的运算法则．
举一反三：
【变式1】计算：
；(2)
；(3)
．
【答案】(1)
；(2)1；(3)18
【分析】（1）先把各二次根式化简，再按照从左至右的顺序进行运算即可；
（2）先把被开方数中的带分数化为假分数，再按照从左至右的顺序进行运算即可；
（3）按照从左至右的运算顺序进行乘除运算即可．
解（1）
（2）
＝1；
（3）
＝18．
【点拨】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握“二次根式的乘除运算的运算法则与运算顺序”是解本题的关键．
【变式2】计算：
(1)
；(2)
．
【答案】(1)6；(2)
【分析】（1）利用平方差公式运算即可；
（2）先化为最简二次根式，再利用二次根式的除法和乘法法则进行计算即可．
解（1）原式
（2）原式
【点拨】本题主要考查了最简二次根式和二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
中考真题专练
1．（贵州毕节·中考真题）先化简，再求值：
，其中
．
【答案】
；
【分析】先化简分式，再代值求解即可；
解：原式=
=
=
=
，
将
代入得，原式=
．
【点拨】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．
2．（辽宁阜新·中考真题）先化简，再求值：
，其中
．
【答案】
，
【分析】分式算式中有加法和除法两种运算，且有括号，按照运算顺序，先算括号里的加法，再算除法，最后代入计算即可．
原式
当
时，
原式
．
【点拨】本题是分式的化简求值题，考查了二次根式的混合运算，二次根式的除法等知识，化简时要注意运算顺序，求值时，最后结果的分母中不允许含有二次根式．
（1）化简A；
（2）若
，求A的值．
【答案】（1）
；（2）
．
【分析】（1）先通分合并后，因式分解，然后约分化简即可；
（2）先把式子移项求
，然后整体代入，进行二次根式乘法运算即可．
解：（1）
；
（2）∵
，
∴
，
∴
．
【点拨】本题考查分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算，掌握分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算是解题关键．