【324044】2024八年级数学下册 专题1.4 二次根式的乘除（知识讲解）（新版）浙教版

专题1.4 二次根式的乘除（知识讲解）

【学习目标】

1、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.

2、了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.

【要点梳理】

要点一、二次根式的乘法及积的算术平方根
1.乘法法则： （ ≥0， ≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
特别说明： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)； (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：

≥0， ≥0，….. ≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成 的形式，则应化简，如 .

2. 积的算术平方根:
   　　 （ ≥0， ≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
   特别说明： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足 ≥0， ≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有 形式的a移到根号外面.

知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则： （ ≥0， >0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。
特别说明：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意， ≥0， >0，因为b在分母上，故b不能为0.
　　(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
2.商的算术平方根的性质:
　　 （ ≥0， >0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
特别说明：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.
知识点三、最简二次根式

（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.

特别说明：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：

（1) 被开方数是分数或分式；

（2）含有能开方的因数或因式.

【典型例题】

类型一、最简二次根式➽➼判断✬✬化简✬✬求参数

1．判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？

（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ．

【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式

【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式；

（2） 不是最简二次根式，被开方数含分母．

（3） 是最简二次根式，符合两个条件；

（4） 是最简二次根式，被符合两个条件；

（5） 不是最简二次根式，被开方数含分母．

（6） 不是最简二次根式，被开方数含分母．

【点拨】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

举一反三：

【变式1】在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．

（1） ，（2） ，（3） ，（4） ，（5） ．

【答案】（1）不是， ；（2）不是， ；（3）是；（4）不是， ；（5）不是， .

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

解：（1） ，含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式．

（2） ，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；

（3） ，符合最简二次根式两个条件；

（4） ，在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式；

（5） ，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．

【点拨】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

【变式2】把下列二次根式化成最简二次根式：

1. ；(2) ；(3) ；

【答案】(1) ；(2) ；(3)

【分析】（1）把32写成16×2，然后化简；

（2）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以2，然后化简；

（3）分子分母都乘以3，然后化简．

解：（1） ；

（2） ；

（3） ．

【点拨】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．

2．已知 和 是相等的最简二次根式．

求 ， 的值；

求 的值．

【答案】 的值是 ， 的值是 ；（2） ．

【分析】（1）根据题意，它们的被开方数相同，列出方程组求出a，b的值；

（2）根据算术平方根的概念解答即可．

解：（1）∵ 和 是相等的最简二次根式，

∴ ．

解得， ，

∴ 的值是 ， 的值是 ；

（2） ．

【点拨】考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义列出关于a，b的方程组是解题的关键.

举一反三：

【变式1】若 与最简二次根式 能合并，则m的值为（    ）

A．7 B．9 C．2 D．1

【答案】D

【分析】先将 化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得．

解： ，

与最简二次根式 能合并，

，

解得 ，

故选：D．

【点拨】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键．

【变式2】若 与 是被开方数相同的最简二次根式，求 的值．

【答案】

【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入 计算求值

【详解】解：∵ 与 是被开方数相同的最简二次根式

解得：

∴ 符合题意

【点拨】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数．

类型二、二次根式乘法➽➼运算 ✬✬化简

3．计算： ．

【答案】

【分析】根据平方差公式结合二次根式的乘法法则可以解答本题．

解：

【点拨】本题考查二次根式的乘法运算、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式乘法运算的计算方法．

举一反三：

【变式1】计算：

(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．

【答案】(1)6；(2)10；(3)1；(4)

【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可；

（2）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可；

（3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可；

（4）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可．

解（1）原式 ．

（2）原式 ．

（3）原式 ．

（4）原式 ．

【点拨】本题主要考查了二次根式的乘法法则，解题的关键是熟练掌握二次的乘法法则： ．

【变式2】设 ，则 可以表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二次根式的乘法计算法则求解即可．

解：∵ ，

∴ ，

故选D．

【点拨】本题主要考查了二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键．

类型三、二次根式除法➽➼运算 ✬✬化简

4．计算：

（1） ；     （2） ．

【答案】（1） ；（2）

【分析】直接利用二次根式的除法运算法则及二次根式的性质化简求出即可．

解：（1）原式

；

（2）原式

．

【点拨】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式除法运算法则，正确掌握运算法则是解题关键．把 反过来，就得到 ，利用它可以进行二次根式的化简．

举一反三：

【变式1】把 化去分母中的根号后得(   )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可．

解： ．

故选：D

【点拨】本题主要考查了二次根式的乘除法运算．熟练掌握二次根式的乘除法运算法则是解题的关键．

【变式2】在化简 时，有下列两种不同的方法：

方法1：原式 ．

方法2：原式 ．

这两种方法都正确吗？若有错误，说明理由．

【答案】方法1是错误的，方法2是正确的，理由见解析

【分析】根据分式的基本性质可得方法1中当 时，违背了分式的基本性质，即可求解．

解：方法1是错误的，方法2是正确的．理由如下∶

因为题中已知条件并没有给出 或隐含条件 ，而这里在约分以后将分子和分母同时乘以 事实上，当 时，违背了分式的基本性质，虽然结论是正确的，但运算过程是错误的，当 时，原式仍有意义，此时原式的值为0．所以方法1是错误的．

【点拨】本题主要考查了二次根式的化简，分式的除法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．

类型四、二次根式乘除法➽➼混合运算✬✬化简求值

5．（1）计算： ；

（2）计算：

【答案】（1）8；（2）0

【分析】（1）原式先计算乘方和二次根式乘法，然后再算加法即可得到答案；

（2）原式先计算二次根式的除法，再合并即可得到答案．

解：（1）计算：

=

=

=8；

（2）

=

=0．

【点拨】本题主要考查了二次根式的运算，解答本题的关键是熟练掌握二次根式相关的运算法则．

举一反三：

【变式1】计算：

1. ；(2) ；(3) ．

【答案】(1) ；(2)1；(3)18

【分析】（1）先把各二次根式化简，再按照从左至右的顺序进行运算即可；

（2）先把被开方数中的带分数化为假分数，再按照从左至右的顺序进行运算即可；

（3）按照从左至右的运算顺序进行乘除运算即可．

解（1）

（2）

＝1；

（3）

＝18．

【点拨】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握“二次根式的乘除运算的运算法则与运算顺序”是解本题的关键．

【变式2】计算：

(1) ；(2) ．

【答案】(1)6；(2)

【分析】（1）利用平方差公式运算即可；

（2）先化为最简二次根式，再利用二次根式的除法和乘法法则进行计算即可．

解（1）原式

（2）原式

【点拨】本题主要考查了最简二次根式和二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

中考真题专练

1．（贵州毕节·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．

【答案】 ；

【分析】先化简分式，再代值求解即可；

解：原式=

=

=

= ，

将 代入得，原式= ．

【点拨】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．

2．（辽宁阜新·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．

【答案】 ，

【分析】分式算式中有加法和除法两种运算，且有括号，按照运算顺序，先算括号里的加法，再算除法，最后代入计算即可．

原式

当 时，

原式 ．

【点拨】本题是分式的化简求值题，考查了二次根式的混合运算，二次根式的除法等知识，化简时要注意运算顺序，求值时，最后结果的分母中不允许含有二次根式．

3．（广东广州·中考真题）已知

（1）化简A；

（2）若 ，求A的值．

【答案】（1） ；（2） ．

【分析】（1）先通分合并后，因式分解，然后约分化简即可；

（2）先把式子移项求 ，然后整体代入，进行二次根式乘法运算即可．

解：（1） ；

（2）∵ ，

∴ ，

∴ ．

【点拨】本题考查分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算，掌握分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算是解题关键．