【324043】2024八年级数学下册 专题1.4 二次根式(压轴题综合测试卷)(含解析)(新版)浙教
专题1.4
二次根式
(满分100)
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
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评卷人 |
得分 |
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一.选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
1.(麦积区期末)下列各式中,一定是二次根式的是( )
A.
B.
C.
D.
【思路点拨】
根据形如
(a≥0)的式子叫做二次根式判断即可.
【解题过程】
解:A、当a+1<0时,
不是二次根式,故此选项不符合题意;
B、当a﹣1<0时,
不是二次根式,故此选项不符合题意;
C、当a=0时,a2﹣1=﹣1<0,
不是二次根式,故此选项不符合题意;
D、∵a2≥0,∴a2+2>0,
是二次根式,故此选项符合题意;
故选:D.
2.(龙泉驿区期末)下列计算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【思路点拨】
利用二次根式的加减法的法则,二次根式的乘法与除法的法则对各项进行运算即可.
【解题过程】
解:A、
,故A不符合题意;
B、
,故B符合题意;
C、
,故C不符合题意;
D、
,故D不符合题意;
故选:B.
3.(徐汇区期末)下列二次根式中,是最简二次根式的是( )
A.
B.
C.
D.
【思路点拨】
根据最简二次根式的定义判断即可.
【解题过程】
解:A.
,故A不符合题意;
B.
2
,故B不符合题意;
C.
|x﹣1|,故C不符合题意;
D.
是最简二次根式,故D符合题意;
故选:D.
4.(鼓楼区校级期末)下列二次根式中,化简后可以合并的是( )
A.
和
B.
和
C.
和
D.
和
【思路点拨】
先把每一个二次根式化成最简二次根式,然后再看被开方数是否相同即可判断.
【解题过程】
解:A.
和
不能合并,故A不符合题意;
B.∵
|a|
,
∴
与
能合并,
故B符合题意;
C.
与
不能合并,故C不符合题意;
D.∵
5,
∴
与
不能合并,
故D不符合题意;
故选:B.
5.(青羊区自主招生)a
6a
5a2
的值为( )
A.是正数 B.是负数
C.是非负数 D.可为正也可为负
【思路点拨】
先根据二次根式的意义确定a的取值范围,再化简计算即可.
【解题过程】
解:由题意得:
,
∴a<0,
∴原式=a
5a
,
=4a
5a
,
=9a
0,
故选:B.
6.(武昌区校级自主招生)已知实数x满足等式
,则x的取值范围是( )
A.﹣1<x
B.﹣1≤x
C.﹣1<x
D.x
【思路点拨】
根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案.
【解题过程】
解:由题意可知:
,
∴﹣1<x
,
故选:A.
7.(汉阳区校级自主招生)化简:
的结果是( )
A.6 B.
C.
D.
【思路点拨】
利用完全平方公式将已知二次根式变形为
即可求解.
【解题过程】
解:
(3
3
)
=3
,
故选:D.
8.(鹿城区校级自主招生)设
,则代数式x(x+1)(x+2)(x+3)的值为( )
A.0 B.1 C.﹣1 D.2
【思路点拨】
根据已知条件得出x+1、x+2和x+3的值,再代入要求的式子进行计算即可得出答案.
【解题过程】
解:∵x
,
∴x+1
,
x+2
,
x+3
,
∴原式
=﹣1×1
=﹣1.
故选:C.
9.(镜湖区自主招生)当x=4时,
的值为( )
A.1 B.
C.2 D.3
【思路点拨】
利用完全平方公式先把原式化简得到
,利用x=4得到原式
,再把复合二次根式化得到
,然后分母有理化后合并.
【解题过程】
解:原式
,
而x=4,
所以原式
=1.
故选:A.
10.(新华区校级自主招生)如果实数x,y满足(
x)(
y)=1,那么x+y值为( )
A.0 B.﹣1 C.1 D.2
【思路点拨】
根据平方差公式发现:(
x)(
x)=x2+1﹣x2=1,(
y)(
y)=y2+1﹣y2=1,根据已知可得方程组,相加可得结论.
【解题过程】
解:∵(
x)(
x)=x2+1﹣x2=1,(
y)(
y)=y2+1﹣y2=1
又∵(
x)(
y)=1,
∴
,
①+②得:﹣x﹣y=x+y,
∴2(x+y)=0,
∴x+y=0.
故选:A.
评卷人 |
得分 |
|
|
二.填空题(本大题共5小题,每小题3分,满分15分)
11.(南岗区校级期末)若
是整数,则正整数n的最小值是 .
【思路点拨】
因为
是整数,且
2
,则21n是完全平方数,满足条件的最小正整数n为21.
【解题过程】
解:∵
2
,且
是整数,
∴2
是整数,即21n是完全平方数;
∴n的最小正整数值为21.
故答案为:21.
12.(崇川区校级月考)设x,y是有理数,且x,y满足等式x+2y
y=17+4
,则(
y)2021= .
【思路点拨】
根据题中等式列出关于x与y的方程组,求出方程组的解得到x与y的值,即可求出所求.
【解题过程】
解:∵x,y是有理数,且x,y满足等式x+2y
y=17+4
,
∴
,
解得:
,
则原式=(
4)2021
=(5﹣4)2021
=12021
=1.
故答案为:1.
13.(浙江自主招生)设a﹣b=2
,b﹣c=2
,则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc= .
【思路点拨】
将a﹣b=2
和b﹣c=2
相加,得到a﹣c=4,再将a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc转化成关于a﹣b,b﹣c,a﹣c的完全平方的形式,再将a﹣b=2
,b﹣c=2
和a﹣c=4整体代入即可.
【解题过程】
解:∵a﹣b=2
,b﹣c=2
,两式相加得,a﹣c=4,
原式=a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
=15.
14.(鄞州区校级期末)已知
,
,|b3+c3|=b3﹣c3,则a3b3﹣c3的值为 .
【思路点拨】
根据绝对值的意义分析b和c的取值,然后利用完全平方公式计算求得ab的值,从而进行计算.
【解题过程】
解:∵(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab,
∴4ab=(
)2﹣(
)2
2
2
=4,
∴ab=1,
∵|b3+c3|=b3﹣c3,且|b3+c3|=±(b3+c3),
当|b3+c3|=b3+c3=b3﹣c3时,c=0,
∴原式=(ab)3﹣03=1,
当|b3+c3|=﹣b3﹣c3=b3﹣c3时,b=c=0,
此时ab=0,故此情况不成立,
综上,原式的值为1,
故答案为:1.
15.(昌江区校级期中)已知x>0,y>0,x2+y2=36,
250,则xy= .
【思路点拨】
根据完全平方公式和平方差公式将
250变形,然后计算求值即可.
【解题过程】
解:
=[(
)2+(
)2]2﹣2(
)2(
)2
=(x﹣2
y+x+2
y)2﹣2(x﹣y)2
=(2x+2y)2﹣2(x2﹣2xy+y2)
=4x2+8xy+4y2﹣2x2+4xy﹣2y2
=2x2+12xy+2y2,
∵x>0,y>0,x2+y2=36,
250,
∴2x2+12xy+2y2
=2(x2+y2)+12xy
=2×36+12xy
=72+12xy
=250,
解得xy
,
故答案为:
.
评卷人 |
得分 |
|
|
三.解答题(本大题共8小题,满分55分)
16.(8分)(牡丹区月考)计算:
①|
2|+(
)﹣1﹣(π﹣3.14)0
;
②
;
③
(﹣2
)2﹣(
);
④(2
3)(2
3)﹣(
1)2.
【思路点拨】
①根据实数的运算法则,先计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂、立方根,然后计算加减.
②根据二次根式的乘除运算法则,从左往右计算.
③根据实数的混合运算法则,先计算乘方、去括号、乘法,再计算加减.
④根据二次根式的混合运算法则,先计算乘法、乘方,再计算减法.
【解题过程】
解:①
.
②
=1.
③
(﹣2
)2﹣(
)
.
④(2
3)(2
3)
=12﹣9﹣4
=﹣1
.
17.(4分)(浦东新区校级月考)已知
,求代数式20x2+55xy+20y2的值.
【思路点拨】
直接利用分母有理化将原式化简,再将多项式变形进而代入得出答案.
【解题过程】
解:∵x
(
)2=5﹣2
,
y
(
)2=5+2
,
∴原式=20x2+40xy+20y2+15xy
=20(x2+2xy+y2)+15xy
=20(x+y)2+15xy
=20×(5﹣2
5+2
)2+15×(5﹣2
)(5+2
)
=20×102+15×(25﹣24)
=2000+15
=2015.
18.(4分)(高州市期中)已知|2018﹣a|
a,求a﹣20182+2020的值.
【思路点拨】
根据二次根式有意义确定a的取值范围,再化简二次根式,进而得出a的值,然后代入所求式子计算即可.
【解题过程】
解:∵
有意义,
∴a﹣2020≥0,
解得:a≥2020,
∴|2018﹣a|=a﹣2018,
∴原式化简为
,
则
,
∴a=20182+2020,
∴a﹣20182+2020=20182+2020﹣20182+2020=4040.
19.(6分)(丛台区校级开学)已知m,n是两个连续的正整数,m<n,a=mn,求证:
是定值且为奇数.
【思路点拨】
先由m和n是两个连续的正整数和m<n得到n=m+1,然后得到a=m(m+1),进而将a和m代入
中化简证明.
【解题过程】
证明:∵m和n是两个连续的正整数,m<n,
∴n=m+1,
∴a=mn=m(m+1),
∴
(m+1)﹣m=1,
∴
是定值且为奇数1.
20.(6分)计算:
.
【思路点拨】
将每个二次根式分母有理化,再将每个式子拆分为两个式子,寻找抵消规律.
【解题过程】
解:原式
=1
=1
.
21.(8分)(崇川区校级月考)已知x为实数且x2+3x+1=0.
①求x
的值;
②求
的值.
【思路点拨】
①先将已知等式两边同时除以x,可得结论;
②将原式的被开方数化简成完全平方数,根据①中的结论:x
3,可知x是负数,则x﹣1是负数,化简可得结论.
【解题过程】
解:①∵x2+3x+1=0,
∴x≠0,
∴x+3
0,
∴x
3;
②
=|(x﹣1)
|
,
∵x
3,
∴x<0,
∴x﹣1<0,
0,
∴原式=1﹣x
=1﹣x
,
∵x2+3x+1=0,
∴x2=﹣3x﹣1,
∴原式
=5.
22.(8分)(泰宁县期中)我们规定,若a+b=2,则称a与b是关于1的平衡数.
(1)若3与x是关于1的平衡数,5
与y是关于1的平衡数,求x,y的值;
(2)若(m
)×(1
)=﹣2n+3(
1),判断m
与5n
是否是关于1的平衡数,并说明理由.
【思路点拨】
(1)根据题意列式计算即可;
(2)将已知等式化简可得,m+2n﹣2
m
0,然后分三种情况分别列式计算:①当m和n均为有理数时,②当m和n中一个为有理数,另一个为无理数时,③当m和n均为无理数时,当m+5n=2时,进而可得结论.
【解题过程】
解:(1)根据题意可知:3+x=2,
解得x=﹣1,
5
y=2,
解得y=﹣3
;
(2)(m
)×(1
)=﹣2n+3(
1),
∴m
m
3=﹣2n+3
3,
∴m+2n﹣2
m=0,
①当m和n均为有理数时,
则有m+2n=0,﹣2﹣m=0,
解得:m=﹣2,n=1,
当m=﹣2,n=1时,
m
5n
2
5
3≠2,
所以m
与5n
不是关于1的平衡数;
②当m和n中一个是有理数,另一个是无理数时,
m
5n
m+5n,而此时m+5n为无理数,故m+5n≠2,
所以m
与5n
不是关于1的平衡数;
③当m和n均为无理数时,当m+5n=2时,
∵m+2n﹣2
m=0,
解得m
,n
,
使得m
与5n
是关于1的平衡数,
当m
,n
时,
m
与5n
不是关于1的平衡数,
综上可得:当m
,n
时,m
与5n
是关于1的平衡数,否则m
与5n
不是关于1的平衡数.
23.(11分)(莆田期中)阅读下面材料:
同学们上学期学习分式,整式还有这个学期的二次根式,小明发现像m+n,mnp,
等代数式,如果任意交换两个字母的位置,式子的值都不变.太神奇了!于是他把这样的式子命名为神奇对称式.
他还发现像m2+n2,(m﹣1)(n﹣1)等神奇对称式都可以用mn,m+n表示.例如:m2+n2=(m+n)2﹣2mn,(m﹣1)(n﹣1)=mn﹣(m+n)+1.于是丽丽把mn和m+n称为基本神奇对称式.
请根据以上材料解决下列问题:
(1)代数式①
,②m2﹣n2,③
,④
中,属于神奇对称式的是
(填序号);
(2)已知(x﹣m)(x﹣n)=x2﹣px+q.
①若p=3,q=﹣2,则神奇对称式
;
②若
q=0,求神奇对称式
的最小值.
【思路点拨】
(1)根据神奇对称式的概念进行判断;
(2)①首先利用多项式乘多项式的计算法则计算求得mn,m+n的值,然后利用分式的计算法则进行计算;
②利用分式的运算法则将原式进行化简,然后代入求值,结合配方法求代数式的最值.
【解题过程】
解:(1)
,故①是神奇对称式;
只有当m+n=0或m﹣n=0时,m2﹣n2=n2﹣m2,
∴m2﹣n2不一定等于n2﹣m2,故②不是神奇对称式;
只有当m=n≠0或m=﹣n时,
,
∴
不一定等于
,故③不是神奇对称式;
,故④是神奇对称式;
故答案为:①④;
(2)①∵(x﹣m)(x﹣n)=x2﹣(m+n)x+mn==x2﹣px+q,
∴m+n=p=3,mn=q=﹣2,
∴
,
故答案为:
;
②∵(x﹣m)(x﹣n)=x2﹣(m+n)x+mn==x2﹣px+q,
∴m+n=p,mn=q,
原式=m2
n2
=(m+n)2﹣2mn
=p2﹣2q
,
又∵
,
∴p=±q,
当p=q时,原式=p2﹣2q+1=(p﹣1)2≥0,
∴此时,原式的最小值是0;
当p=﹣q时,原式=p2﹣2q﹣1=(p﹣1)2﹣2≥﹣2,
∴此时,原式的最小值是﹣2;
综上,
的最小值是﹣2.
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