专题1.4 二次根式

（满分100）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

评卷人	得分

一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1．（麦积区期末）下列各式中，一定是二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【思路点拨】

根据形如 （a≥0）的式子叫做二次根式判断即可．

【解题过程】

解：A、当a+1＜0时， 不是二次根式，故此选项不符合题意；

B、当a﹣1＜0时， 不是二次根式，故此选项不符合题意；

C、当a＝0时，a²﹣1＝﹣1＜0， 不是二次根式，故此选项不符合题意；

D、∵a²≥0，∴a²+2＞0， 是二次根式，故此选项符合题意；

故选：D．

2．（龙泉驿区期末）下列计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

【思路点拨】

利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘法与除法的法则对各项进行运算即可．

【解题过程】

解：A、 ，故A不符合题意；

B、 ，故B符合题意；

C、 ，故C不符合题意；

D、 ，故D不符合题意；

故选：B．

3．（徐汇区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【思路点拨】

根据最简二次根式的定义判断即可．

【解题过程】

解：A. ，故A不符合题意；

B. 2 ，故B不符合题意；

C. |x﹣1|，故C不符合题意；

D. 是最简二次根式，故D符合题意；

故选：D．

4．（鼓楼区校级期末）下列二次根式中，化简后可以合并的是（　　）

A． 和 B． 和

C． 和 D． 和

【思路点拨】

先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再看被开方数是否相同即可判断．

【解题过程】

解：A. 和 不能合并，故A不符合题意；

B．∵ |a| ，

∴ 与 能合并，

故B符合题意；

C. 与 不能合并，故C不符合题意；

D．∵ 5，

∴ 与 不能合并，

故D不符合题意；

故选：B．

5．（青羊区自主招生）a 6a 5a² 的值为（　　）

A．是正数 B．是负数

C．是非负数 D．可为正也可为负

【思路点拨】

先根据二次根式的意义确定a的取值范围，再化简计算即可．

【解题过程】

解：由题意得： ，

∴a＜0，

∴原式＝a 5a ，

＝4a 5a ，

＝9a 0，

故选：B．

6．（武昌区校级自主招生）已知实数x满足等式 ，则x的取值范围是（　　）

A．﹣1＜x B．﹣1≤x C．﹣1＜x D．x

【思路点拨】

根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．

【解题过程】

解：由题意可知： ，

∴﹣1＜x ，

故选：A．

7．（汉阳区校级自主招生）化简： 的结果是（　　）

A．6 B． C． D．

【思路点拨】

利用完全平方公式将已知二次根式变形为 即可求解．

【解题过程】

解：

（3 3 ）

＝3 ，

故选：D．

8．（鹿城区校级自主招生）设 ，则代数式x（x+1）（x+2）（x+3）的值为（　　）

A．0 B．1 C．﹣1 D．2

【思路点拨】

根据已知条件得出x+1、x+2和x+3的值，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．

【解题过程】

解：∵x ，

∴x+1 ，

x+2 ，

x+3 ，

∴原式

＝﹣1×1

＝﹣1．

故选：C．

9．（镜湖区自主招生）当x＝4时， 的值为（　　）

A．1 B． C．2 D．3

【思路点拨】

利用完全平方公式先把原式化简得到 ，利用x＝4得到原式 ，再把复合二次根式化得到 ，然后分母有理化后合并．

【解题过程】

解：原式 ，

而x＝4，

所以原式

＝1．

故选：A．

10．（新华区校级自主招生）如果实数x，y满足（ x）（ y）＝1，那么x+y值为（　　）

A．0 B．﹣1 C．1 D．2

【思路点拨】

根据平方差公式发现：（ x）（ x）＝x²+1﹣x²＝1，（ y）（ y）＝y²+1﹣y²＝1，根据已知可得方程组，相加可得结论．

【解题过程】

解：∵（ x）（ x）＝x²+1﹣x²＝1，（ y）（ y）＝y²+1﹣y²＝1

又∵（ x）（ y）＝1，

∴ ，

①+②得：﹣x﹣y＝x+y，

∴2（x+y）＝0，

∴x+y＝0．

故选：A．

评卷人	得分

二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）

11．（南岗区校级期末）若 是整数，则正整数n的最小值是　　．

【思路点拨】

因为 是整数，且 2 ，则21n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为21．

【解题过程】

解：∵ 2 ，且 是整数，

∴2 是整数，即21n是完全平方数；

∴n的最小正整数值为21．

故答案为：21．

12．（崇川区校级月考）设x，y是有理数，且x，y满足等式x+2y y＝17+4 ，则（ y）²⁰²¹＝　　．

【思路点拨】

根据题中等式列出关于x与y的方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可求出所求．

【解题过程】

解：∵x，y是有理数，且x，y满足等式x+2y y＝17+4 ，

∴ ，

解得： ，

则原式＝（ 4）²⁰²¹

＝（5﹣4）²⁰²¹

＝1²⁰²¹

＝1．

故答案为：1．

13．（浙江自主招生）设a﹣b＝2 ，b﹣c＝2 ，则a²+b²+c²﹣ab﹣ac﹣bc＝　　．

【思路点拨】

将a﹣b＝2 和b﹣c＝2 相加，得到a﹣c＝4，再将a²+b²+c²﹣ab﹣ac﹣bc转化成关于a﹣b，b﹣c，a﹣c的完全平方的形式，再将a﹣b＝2 ，b﹣c＝2 和a﹣c＝4整体代入即可．

【解题过程】

解：∵a﹣b＝2 ，b﹣c＝2 ，两式相加得，a﹣c＝4，

原式＝a²+b²+c²﹣ab﹣bc﹣ac

＝15．

14．（鄞州区校级期末）已知 ， ，|b³+c³|＝b³﹣c³，则a³b³﹣c³的值为　　．

【思路点拨】

根据绝对值的意义分析b和c的取值，然后利用完全平方公式计算求得ab的值，从而进行计算．

【解题过程】

解：∵（a+b）²﹣（a﹣b）²＝4ab，

∴4ab＝（ ）²﹣（ ）²

2 2

＝4，

∴ab＝1，

∵|b³+c³|＝b³﹣c³，且|b³+c³|＝±（b³+c³），

当|b³+c³|＝b³+c³＝b³﹣c³时，c＝0，

∴原式＝（ab）³﹣0³＝1，

当|b³+c³|＝﹣b³﹣c³＝b³﹣c³时，b＝c＝0，

此时ab＝0，故此情况不成立，

综上，原式的值为1，

故答案为：1．

15．（昌江区校级期中）已知x＞0，y＞0，x²+y²＝36， 250，则xy＝　　．

【思路点拨】

根据完全平方公式和平方差公式将 250变形，然后计算求值即可．

【解题过程】

解：

＝[（ ）²+（ ）²]²﹣2（ ）²（ ）²

＝（x﹣2 y+x+2 y）²﹣2（x﹣y）²

＝（2x+2y）²﹣2（x²﹣2xy+y²）

＝4x²+8xy+4y²﹣2x²+4xy﹣2y²

＝2x²+12xy+2y²，

∵x＞0，y＞0，x²+y²＝36， 250，

∴2x²+12xy+2y²

＝2（x²+y²）+12xy

＝2×36+12xy

＝72+12xy

＝250，

解得xy ，

故答案为： ．

评卷人	得分

三．解答题（本大题共8小题，满分55分）

16．（8分）（牡丹区月考）计算：

①| 2|+（ ）^﹣1﹣（π﹣3.14）⁰ ；

② ；

③ （﹣2 ）²﹣（ ）；

④（2 3）（2 3）﹣（ 1）²．

【思路点拨】

①根据实数的运算法则，先计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂、立方根，然后计算加减．

②根据二次根式的乘除运算法则，从左往右计算．

③根据实数的混合运算法则，先计算乘方、去括号、乘法，再计算加减．

④根据二次根式的混合运算法则，先计算乘法、乘方，再计算减法．

【解题过程】

解：①

．

②

＝1．

③ （﹣2 ）²﹣（ ）

．

④（2 3）（2 3）

＝12﹣9﹣4

＝﹣1 ．

17．（4分）（浦东新区校级月考）已知 ，求代数式20x²+55xy+20y²的值．

【思路点拨】

直接利用分母有理化将原式化简，再将多项式变形进而代入得出答案．

【解题过程】

解：∵x （ ）²＝5﹣2 ，

y （ ）²＝5+2 ，

∴原式＝20x²+40xy+20y²+15xy

＝20（x²+2xy+y²）+15xy

＝20（x+y）²+15xy

＝20×（5﹣2 5+2 ）²+15×（5﹣2 ）（5+2 ）

＝20×10²+15×（25﹣24）

＝2000+15

＝2015．

18．（4分）（高州市期中）已知|2018﹣a| a，求a﹣2018²+2020的值．

【思路点拨】

根据二次根式有意义确定a的取值范围，再化简二次根式，进而得出a的值，然后代入所求式子计算即可．

【解题过程】

解：∵ 有意义，

∴a﹣2020≥0，

解得：a≥2020，

∴|2018﹣a|＝a﹣2018，

∴原式化简为 ，

则 ，

∴a＝2018²+2020，

∴a﹣2018²+2020＝2018²+2020﹣2018²+2020＝4040．

19．（6分）（丛台区校级开学）已知m，n是两个连续的正整数，m＜n，a＝mn，求证： 是定值且为奇数．

【思路点拨】

先由m和n是两个连续的正整数和m＜n得到n＝m+1，然后得到a＝m（m+1），进而将a和m代入 中化简证明．

【解题过程】

证明：∵m和n是两个连续的正整数，m＜n，

∴n＝m+1，

∴a＝mn＝m（m+1），

∴ （m+1）﹣m＝1，

∴ 是定值且为奇数1．

20．（6分）计算： ．

【思路点拨】

将每个二次根式分母有理化，再将每个式子拆分为两个式子，寻找抵消规律．

【解题过程】

解：原式

＝1

＝1 ．

21．（8分）（崇川区校级月考）已知x为实数且x²+3x+1＝0．

①求x 的值；

②求 的值．

【思路点拨】

①先将已知等式两边同时除以x，可得结论；

②将原式的被开方数化简成完全平方数，根据①中的结论：x 3，可知x是负数，则x﹣1是负数，化简可得结论．

【解题过程】

解：①∵x²+3x+1＝0，

∴x≠0，

∴x+3 0，

∴x 3；

②

＝|（x﹣1） | ，

∵x 3，

∴x＜0，

∴x﹣1＜0， 0，

∴原式＝1﹣x

＝1﹣x

，

∵x²+3x+1＝0，

∴x²＝﹣3x﹣1，

∴原式

＝5．

22．（8分）（泰宁县期中）我们规定，若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．

（1）若3与x是关于1的平衡数，5 与y是关于1的平衡数，求x，y的值；

（2）若（m ）×（1 ）＝﹣2n+3（ 1），判断m 与5n 是否是关于1的平衡数，并说明理由．

【思路点拨】

（1）根据题意列式计算即可；

（2）将已知等式化简可得，m+2n﹣2 m 0，然后分三种情况分别列式计算：①当m和n均为有理数时，②当m和n中一个为有理数，另一个为无理数时，③当m和n均为无理数时，当m+5n＝2时，进而可得结论．

【解题过程】

解：（1）根据题意可知：3+x＝2，

解得x＝﹣1，

5 y＝2，

解得y＝﹣3 ；

（2）（m ）×（1 ）＝﹣2n+3（ 1），

∴m m 3＝﹣2n+3 3，

∴m+2n﹣2 m＝0，

①当m和n均为有理数时，

则有m+2n＝0，﹣2﹣m＝0，

解得：m＝﹣2，n＝1，

当m＝﹣2，n＝1时，

m 5n 2 5 3≠2，

所以m 与5n 不是关于1的平衡数；

②当m和n中一个是有理数，另一个是无理数时，

m 5n m+5n，而此时m+5n为无理数，故m+5n≠2，

所以m 与5n 不是关于1的平衡数；

③当m和n均为无理数时，当m+5n＝2时，

∵m+2n﹣2 m＝0，

解得m ，n ，

使得m 与5n 是关于1的平衡数，

当m ，n 时，

m 与5n 不是关于1的平衡数，

综上可得：当m ，n 时，m 与5n 是关于1的平衡数，否则m 与5n 不是关于1的平衡数．

23．（11分）（莆田期中）阅读下面材料：

同学们上学期学习分式，整式还有这个学期的二次根式，小明发现像m+n，mnp， 等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是他把这样的式子命名为神奇对称式．

他还发现像m²+n²，（m﹣1）（n﹣1）等神奇对称式都可以用mn，m+n表示．例如：m²+n²＝（m+n）²﹣2mn，（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1．于是丽丽把mn和m+n称为基本神奇对称式．

请根据以上材料解决下列问题：

（1）代数式① ，②m^2﹣n²，③ ，④ 中，属于神奇对称式的是

　　（填序号）；

（2）已知（x﹣m）（x﹣n）＝x²﹣px+q．

①若p＝3，q＝﹣2，则神奇对称式 　　；

②若 q＝0，求神奇对称式 的最小值．

【思路点拨】

（1）根据神奇对称式的概念进行判断；

（2）①首先利用多项式乘多项式的计算法则计算求得mn，m+n的值，然后利用分式的计算法则进行计算；

②利用分式的运算法则将原式进行化简，然后代入求值，结合配方法求代数式的最值．

【解题过程】

解：（1） ，故①是神奇对称式；

只有当m+n＝0或m﹣n＝0时，m²﹣n²＝n²﹣m²，

∴m²﹣n²不一定等于n²﹣m²，故②不是神奇对称式；

只有当m＝n≠0或m＝﹣n时， ，

∴ 不一定等于 ，故③不是神奇对称式；

，故④是神奇对称式；

故答案为：①④；

（2）①∵（x﹣m）（x﹣n）＝x²﹣（m+n）x+mn＝＝x²﹣px+q，

∴m+n＝p＝3，mn＝q＝﹣2，

∴ ，

故答案为： ；

②∵（x﹣m）（x﹣n）＝x²﹣（m+n）x+mn＝＝x²﹣px+q，

∴m+n＝p，mn＝q，

原式＝m² n²

＝（m+n）²﹣2mn

＝p²﹣2q ，

又∵ ，

∴p＝±q，

当p＝q时，原式＝p²﹣2q+1＝（p﹣1）²≥0，

∴此时，原式的最小值是0；

当p＝﹣q时，原式＝p²﹣2q﹣1＝（p﹣1）²﹣2≥﹣2，

∴此时，原式的最小值是﹣2；

综上， 的最小值是﹣2．