专题1.3
二次根式及其性质（巩固篇）
一、单选题
1．下列式子一定是二次根式的是 ( )
A．
B．－
C．
D．
2．
的化简结果为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
3．若
是整数，则a能取的最小整数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．下列计算正确的是（ ）
A．
＝±4 B．﹣
＝﹣8 C．
＝2 D．﹣
5．若|x2﹣4x+4|与
互为相反数，则x+y的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
6．若
，
，则
的值是（ ）
A．
B．－2 C．±2 D．
7．等式
成立的x的取值范围在数轴上可表示为（
）
A．
B．
C．
D．
8．估计
的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
9．如果实数
满足
，那么点
在( ).
A．第一象限 B．第二象限
C．第二象限或坐标轴上 D．第四象限或坐标轴上
10．把
中根号前的（m－1）移到根号内得
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．代数式
的最小值为__________．
12．已知
有意义，如果关于
的方程
没有实数根，那么
的取值范围是__．
13．实数a、b、c在数轴上表示如图，则
＝__________．
14．化简
的结果为____．
15．若两不等实数a，b满足
，
，则
的值为
_____．
16．若x，y为实数，y＝
，则4y﹣3x的平方根是____．
17．若
，则
_____．
18．仔细观察下列式子：
，
，
，…
（1）请写出如上面的第4个同类型式子 __________________．
（2）类比上述式子，你能看出其中的规律吗，请写出第n个式子__________________．
三、解答题
19．（1）计算：（﹣2）﹣1＋（
﹣1）0﹣|﹣
|；
（2）先化简，再求值：
﹣
÷
，其中a＝1﹣
．
20．已知
，求下列各式的值．
(1)
，
；(2)
．
21．若实数a，b，c满足|a-
|+
=
+
．
（1）求a，b，c；
（2）若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．
22．对于题目“化简并求值：
，其中
”，甲、乙两人的解答不同，
甲的解答是：
乙的解答是：
谁的解答是错误的？为什么？
23．阅读材料，解答问题：
材料：已知：
，求
的值，张山同学是这样解答的：
因为
所以
问题：
已知：
，
①求
的值；
②求x的值．
直接写出代数式
的最大值和最小值．
24．已知
，
，满足：
．
(1)求
和
的值；
(2)如图，点
是A点左侧的
轴上一动点，连接
，以
为直角边作等腰直角
，连接
、
，
交
于点
．
①求证：
；
②当
时，求证：
平分
．
参考答案
1．A
【分析】根据二次根式的定义，直接判断得结论．
【详解】解：A、
的被开方数是非负数，是二次根式，故A正确；
B、
时，－
不是二次根式，故B错误；
C、
是三次根式，故C错误；
D、
时，
不是二次根式，故D错误；
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式的定义，形如
(
)是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数．
2．A
【分析】根据二次根式性质
直接求解即可．
【详解】解：
，
故选：A ．
【点拨】本题主要考查二次根式的性质化简，涉及到绝对值运算，熟练掌握相关性质及运算法则是解决问题的关键．
3．A
【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再根据
是整数，即可求得a能取的最小整数．
【详解】解：
成立，
，解得
，
又
是整数，
a能取的最小整数为0，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握和运用次根式有意义的条件是解决本题的关键．
4．B
【分析】按照平方根和立方根的定义及二次根式运算法则求解即可；
【详解】A、
＝4，所以A选项不符合题意；
B、原式＝﹣8，所以B选项符合题意；
C、原式＝﹣2，所以C选项不符合题意；
D、原式＝
，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】此题考查了二次根式的运算，主要是平方根和立方根的运算，难度一般．
5．A
【详解】根据题意得:|x2–4x+4|+
=0，所以|x2–4x+4|=0，
=0，
即（x–2）2=0，2x–y–3=0，所以x=2，y=1，所以x+y=3．故选A．
6．A
【分析】利用完全平方公式的变形公式
，即可算出
的值，根据
来判断
与
的大小，即可算出答案．
【详解】解：∵
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
即
故选：A．
【点拨】本题考查的是完全平方公式的变形式以及二次根式的化简运算，解题的关键是熟悉完全平方公式与二次根式的化简时注意正负值．
7．B
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出
的范围．
【详解】由题意可知：
,
解得：
,
故选：
．
【点拨】考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.
8．D
【分析】寻找小于26的最大平方数和大于26的最小平方数即可.
【详解】解：小于26的最大平方数为25，大于26的最小平方数为36，故
，即：
，故选择D.
【点拨】本题考查了二次根式的相关定义.
9．C
【详解】根据二次根式的性质，由实数a、b满足
，可求得a、b异号，且b＞0；故a＜0，或者a、b中有一个为0或均为0．于是点（a，b）在第二象限或坐标轴上．
故选C．
点拨：此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是根据二次根式的化简，判断出a、b的符号，然后确定其在平面直角坐标系中的位置.
10．D
【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可．
【详解】∵被开方数
，分母
.
∴
，∴
.
∴原式
．
故选D．
【点拨】本题考查了二次根式的性质与化简：
|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法．
11．2
【分析】根据二次根式成立的条件即可解答．
【详解】解：根据题意可得
，
∴
，
∴
的最小值为2，
故答案为：
．
【点拨】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键．
12．
．
【分析】把方程变形为
，根据方程没有实数根可得
，解不等式即可．
【详解】解：由
得
，
有意义，且
，
方程
没有实数根，即
，
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定
的取值范围．
13．
【分析】首先根据数轴，得出
，然后根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可．
【详解】解：根据数轴，可得：
，
∴
，
∴
．
故答案为：
【点拨】本题考查了数轴、二次根式的性质、绝对值的意义，解本题的关键在根据数轴确定
的正负．
14．
【分析】先把
化为平方的形式，再根据
化简即可求解．
【详解】解：原式
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查了双重二次根式的化简，把
化为平方的形式是解题关键．
15．4
【分析】根据平方差公式以及完全平方公式可求出
和
，然后代入原式即可求出答案．
【详解】∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
∴
∴原式＝
．
故答案为：4．
【点拨】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是
，本题属于基础题型．
16．±
【详解】∵
与
同时成立，
∴
故只有x2﹣4=0，即x=±2，
又∵x﹣2≠0，
∴x=﹣2，y=
=﹣
，
4y﹣3x=﹣1﹣（﹣6）=5，
∴4y﹣3x的平方根是±
．
故答案：±
．
17．1002．
【分析】根据绝对值的性质和二次根式的性质，即可解答
【详解】∵
，
∴
．
由
，得
，
∴
，
∴
．
∴
．
故答案是：1002．
【点拨】此题考查绝对值的非负性，二次根式的性质，解题关键在于掌握运算法则
18．
（n为正整数）
【分析】（1）根据所给的式子进行解答即可；
（2）把所给的等式进行整理，然后再归纳其中的规律即可．
【详解】解：（1）根据题意，第4个式子是：
，
故答案为：
；
（2）∵
，整理得：
，
，整理得：
，
，整理得：
…
则第n个式子为：
．
故答案为：
（n为正整数）．
【点拨】本题主要考查二次根式的性质与化简，规律型，数字的变化类，解答的关键是分析清楚等式左右两边的规律．
19．（1）﹣2
；（2）
，﹣
．
【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂和绝对值，再计算加减即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
【详解】解：（1）（﹣2）﹣1＋（
﹣1）0﹣|﹣
|
＝﹣
+1﹣3
＝﹣2
；
（2）
﹣
÷
＝
﹣
•a
＝
﹣
＝﹣
；
当a＝1﹣
时，
原式＝﹣
＝﹣
．
【点拨】本题主要考查实数的运算，分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20．(1)
；1
(2)
【分析】（1）直接把a、b的值代入计算，即可得到答案；
（2）求出
的值，然后把分式进行化简，再整体代入计算，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵
，
∴
；
；
（2）
，
∵
，
，
∴
．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，分式的化简求值，以及平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
21．（1）a=
，b=2，
c=3；（2）
.
【分析】（1）利用二次根式的性质进而得出c的值，再利用绝对值以及二次根式的性质得出a，b的值；
（2）利用等腰三角形的性质分析得出答案．
【详解】解：（1）由题意可得：c-3≥0，3-c≥0，
解得：c=3，
∴|a-
|+
=0，
则a=
，b=2；
（2）当a是腰长，c是底边时，等腰三角形的腰长之和：
+
=2
＜3，不能构成三角形，舍去；
当c是腰长，a是底边时，任意两边之和大于第三边，能构成三角形，
则等腰三角形的周长为：
+3+3=
+6，
综上，这个等腰三角形的周长为：
+6．
【点拨】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及等腰三角形的性质，正确得出c的值是解题关键．
22．乙的解答是错误的,理由见解析.
【详解】试题分析：因为a=
时，a-
=
-5=-4
<0，所以
≠a-
，故错误的是乙．
试题解析：解答此题的关键是对于式子
脱去根号后，得到
，还是
．这就必须要明确
是正还是负．
故乙的解答是错误的．
23．(1)①3；②5
(2)最大值：
；最小值：
【分析】（1）①根据平方差公式同理题目中的过程即可得出结果；②根据和差关系解方程求解即可；
（2）利用二次根式的性质求得
的取值范围，利用材料中的方法计算
的值，再利用配方法和非负数的意义求解即可．
（1）
解：①
，
；
②
，
，
，
，
，
解得：
；
经检验，
是原方程的根，
．
（2）
解：代数式
的最大值
和最小值
，理由：
由题意得：
．
．
，
又
，当
时有最小值0，当
时有最大值147，
，当
时有最小值
，当
时有最大值
．
代数式
，
当
时，代数式
有最小值
，
当
时，代数式
有最大值
，
代数式
的最大值为
和最小值为
．
【点拨】本题考查了二次根式的性质，无理函数的最值，解题的关键是阅读题目，理解题干中的方法并熟练应用．
24．(1)
，
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）根据绝对值和二次根式的非负性求解即可；
（2）①过点
作
轴于点
，首先根据同角的余角相等得到
，然后证明
，进而得到
为等腰直角三角形，即可求解；
②过点A作
交于点
，过点A作
延长线交于点
，首先根据四边形内角和得到
，然后证明
，最后根据角平分线的性质定理的逆定理求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴
，
，
解得
，
，
∴
，
；
（2）①如图，过点
作
轴于点
．则
．
∵
．
∴
．
∴
．
在
和
中，
，
∴
．
∴
，
．
而
．
∴
．
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
又∵
，
，
∴
．
②如图，过点A作
交于点
，过点A作
延长线交于点
．
∴
，
又∵
，
，
∴
，
∴
，
又∵
，四边形
内角和
，
∴
，
又∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
．
∴
．
∴
，
即
平分
．
【点拨】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、二次根式的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．