专题1.3 二次根式及其性质（巩固篇）

一、单选题

1．下列式子一定是二次根式的是 (　 　)

A． B．－ C． D．

2． 的化简结果为（　　）

A．3 B．﹣3 C．±3 D．9

3．若 是整数，则a能取的最小整数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

4．下列计算正确的是（　　）

A． ＝±4 B．﹣ ＝﹣8 C． ＝2 D．﹣

5．若|x2﹣4x+4|与 互为相反数，则x+y的值为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．9

6．若 ， ，则 的值是（        ）

A． B．－2 C．±2 D．

7．等式 成立的x的取值范围在数轴上可表示为（  ）

A． B． C． D．

8．估计 的值在（    ）

A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间

9．如果实数 满足 ，那么点 在(   ).

A．第一象限 B．第二象限

C．第二象限或坐标轴上 D．第四象限或坐标轴上

10．把 中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．代数式 的最小值为__________．

12．已知 有意义，如果关于 的方程 没有实数根，那么 的取值范围是__．

13．实数a、b、c在数轴上表示如图，则 ＝__________．

14．化简 的结果为____．

15．若两不等实数a，b满足 ， ，则 的值为 _____．

16．若x，y为实数，y＝ ，则4y﹣3x的平方根是____．

17．若 ，则 _____．

18．仔细观察下列式子： ， ， ，…

（1）请写出如上面的第4个同类型式子 __________________．

（2）类比上述式子，你能看出其中的规律吗，请写出第n个式子__________________．

三、解答题

19．（1）计算：（﹣2）^﹣1＋（ ﹣1）⁰﹣|﹣ |；

（2）先化简，再求值： ﹣ ÷ ，其中a＝1﹣ ．

20．已知 ，求下列各式的值．

(1) ， ；(2) ．

21．若实数a，b，c满足|a- |+ = + ．

（1）求a，b，c；

（2）若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．

22．对于题目“化简并求值： ，其中 ”，甲、乙两人的解答不同，

甲的解答是：

乙的解答是：

谁的解答是错误的？为什么？

23．阅读材料，解答问题：

材料：已知： ，求 的值，张山同学是这样解答的：

因为

所以

问题：

1. 已知： ，

①求 的值；

②求x的值．

2. 直接写出代数式 的最大值和最小值．

24．已知 ， ，满足： ．

(1)求 和 的值；

(2)如图，点 是A点左侧的 轴上一动点，连接 ，以 为直角边作等腰直角 ，连接 、 ， 交 于点 ．

①求证： ；

②当 时，求证： 平分 ．

参考答案

1．A

【分析】根据二次根式的定义，直接判断得结论．

【详解】解：A、 的被开方数是非负数，是二次根式，故A正确；

B、 时，－ 不是二次根式，故B错误；

C、 是三次根式，故C错误；

D、 时， 不是二次根式，故D错误；

故选：A．

【点拨】本题考查了二次根式的定义，形如 ( )是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数．

2．A

【分析】根据二次根式性质 直接求解即可．

【详解】解： ，

故选：A ．

【点拨】本题主要考查二次根式的性质化简，涉及到绝对值运算，熟练掌握相关性质及运算法则是解决问题的关键．

3．A

【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再根据 是整数，即可求得a能取的最小整数．

【详解】解： 成立，

，解得 ，

又 是整数，

a能取的最小整数为0，

故选：A．

【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握和运用次根式有意义的条件是解决本题的关键．

4．B

【分析】按照平方根和立方根的定义及二次根式运算法则求解即可；

【详解】A、 ＝4，所以A选项不符合题意；

B、原式＝﹣8，所以B选项符合题意；

C、原式＝﹣2，所以C选项不符合题意；

D、原式＝ ，所以D选项不符合题意．

故选：B．

【点拨】此题考查了二次根式的运算，主要是平方根和立方根的运算，难度一般．

5．A

【详解】根据题意得:|x²–4x+4|+ =0，所以|x²–4x+4|=0， =0，

即（x–2）²=0，2x–y–3=0，所以x=2，y=1，所以x+y=3．故选A．

6．A

【分析】利用完全平方公式的变形公式 ，即可算出 的值，根据 来判断 与 的大小，即可算出答案．

【详解】解：∵

∴

又∵

∴

又∵

∴

∴

即

故选：A．

【点拨】本题考查的是完全平方公式的变形式以及二次根式的化简运算，解题的关键是熟悉完全平方公式与二次根式的化简时注意正负值．

7．B

【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出 的范围．

【详解】由题意可知： ,

解得： ,

故选： ．

【点拨】考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.

8．D

【分析】寻找小于26的最大平方数和大于26的最小平方数即可.

【详解】解：小于26的最大平方数为25，大于26的最小平方数为36，故 ，即：

，故选择D.

【点拨】本题考查了二次根式的相关定义.

9．C

【详解】根据二次根式的性质，由实数a、b满足 ，可求得a、b异号，且b＞0；故a＜0，或者a、b中有一个为0或均为0．于是点（a，b）在第二象限或坐标轴上．

故选C．

点拨：此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是根据二次根式的化简，判断出a、b的符号，然后确定其在平面直角坐标系中的位置.

10．D

【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可．

【详解】∵被开方数 ，分母 .

∴ ，∴ .

∴原式 ．

故选D．

【点拨】本题考查了二次根式的性质与化简： |a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法．

11．2

【分析】根据二次根式成立的条件即可解答．

【详解】解：根据题意可得 ，

∴

，

∴ 的最小值为2，

故答案为： ．

【点拨】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键．

12． ．

【分析】把方程变形为 ，根据方程没有实数根可得 ，解不等式即可．

【详解】解：由 得 ，

有意义，且 ，

方程 没有实数根，即 ，

，

故答案为： ．

【点拨】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定 的取值范围．

13．

【分析】首先根据数轴，得出 ，然后根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可．

【详解】解：根据数轴，可得： ，

∴ ，

∴ ．

故答案为：

【点拨】本题考查了数轴、二次根式的性质、绝对值的意义，解本题的关键在根据数轴确定 的正负．

14．

【分析】先把 化为平方的形式，再根据 化简即可求解．

【详解】解：原式

．

故答案为： ．

【点拨】本题考查了双重二次根式的化简，把 化为平方的形式是解题关键．

15．4

【分析】根据平方差公式以及完全平方公式可求出 和 ，然后代入原式即可求出答案．

【详解】∵ ， ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵

∴

∴原式＝ ．

故答案为：4．

【点拨】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是 ，本题属于基础题型．

16．±

【详解】∵ 与 同时成立，

∴ 故只有x²﹣4=0，即x=±2，

又∵x﹣2≠0，

∴x=﹣2，y= =﹣ ，

4y﹣3x=﹣1﹣（﹣6）=5，

∴4y﹣3x的平方根是± ．

故答案：± ．

17．1002．

【分析】根据绝对值的性质和二次根式的性质，即可解答

【详解】∵ ，

∴ ．

由 ，得 ，

∴ ，

∴ ．

∴ ．

故答案是：1002．

【点拨】此题考查绝对值的非负性，二次根式的性质，解题关键在于掌握运算法则

18．          （n为正整数）

【分析】（1）根据所给的式子进行解答即可；

（2）把所给的等式进行整理，然后再归纳其中的规律即可．

【详解】解：（1）根据题意，第4个式子是： ，

故答案为： ；

（2）∵ ，整理得： ，

，整理得： ，

，整理得：

…

则第n个式子为： ．

故答案为： （n为正整数）．

【点拨】本题主要考查二次根式的性质与化简，规律型，数字的变化类，解答的关键是分析清楚等式左右两边的规律．

19．（1）﹣2 ；（2） ，﹣ ．

【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂和绝对值，再计算加减即可；

（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．

【详解】解：（1）（﹣2）^﹣1＋（ ﹣1）⁰﹣|﹣ |

＝﹣ +1﹣3

＝﹣2 ；

（2） ﹣ ÷

＝ ﹣ •a

＝ ﹣

＝﹣ ；

当a＝1﹣ 时，

原式＝﹣

＝﹣ ．

【点拨】本题主要考查实数的运算，分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

20．(1) ；1

(2)

【分析】（1）直接把a、b的值代入计算，即可得到答案；

（2）求出 的值，然后把分式进行化简，再整体代入计算，即可得到答案．

【详解】（1）解：∵ ，

∴ ；

；

（2） ，

∵ ， ，

∴ ．

【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，分式的化简求值，以及平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．

21．（1）a= ，b=2， c=3；（2） .

【分析】（1）利用二次根式的性质进而得出c的值，再利用绝对值以及二次根式的性质得出a，b的值；

（2）利用等腰三角形的性质分析得出答案．

【详解】解：（1）由题意可得：c-3≥0，3-c≥0，

解得：c=3，

∴|a- |+ =0，

则a= ，b=2；

（2）当a是腰长，c是底边时，等腰三角形的腰长之和： + =2 ＜3，不能构成三角形，舍去；

当c是腰长，a是底边时，任意两边之和大于第三边，能构成三角形，

则等腰三角形的周长为： +3+3= +6，

综上，这个等腰三角形的周长为： +6．

【点拨】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及等腰三角形的性质，正确得出c的值是解题关键．

22．乙的解答是错误的,理由见解析.

【详解】试题分析：因为a= 时，a- = -5=-4 <0，所以 ≠a- ，故错误的是乙．

试题解析：解答此题的关键是对于式子 脱去根号后，得到 ，还是 ．这就必须要明确 是正还是负．

故乙的解答是错误的．

23．(1)①3；②5

(2)最大值： ；最小值：

【分析】（1）①根据平方差公式同理题目中的过程即可得出结果；②根据和差关系解方程求解即可；

（2）利用二次根式的性质求得 的取值范围，利用材料中的方法计算 的值，再利用配方法和非负数的意义求解即可．

（1）

解：①

，

；

② ， ，

，

，

，

解得： ；

经检验， 是原方程的根，

．

（2）

解：代数式 的最大值 和最小值 ，理由：

由题意得： ．

．

，

又 ，当 时有最小值0，当 时有最大值147，

，当 时有最小值 ，当 时有最大值 ．

代数式 ，

当 时，代数式 有最小值 ，

当 时，代数式 有最大值 ，

代数式 的最大值为 和最小值为 ．

【点拨】本题考查了二次根式的性质，无理函数的最值，解题的关键是阅读题目，理解题干中的方法并熟练应用．

24．(1) ，

(2)①见解析；②见解析

【分析】（1）根据绝对值和二次根式的非负性求解即可；

（2）①过点 作 轴于点 ，首先根据同角的余角相等得到 ，然后证明 ，进而得到 为等腰直角三角形，即可求解；

②过点A作 交于点 ，过点A作 延长线交于点 ，首先根据四边形内角和得到 ，然后证明 ，最后根据角平分线的性质定理的逆定理求解即可．

【详解】（1）解：∵

∴ ， ，

解得 ， ，

∴ ， ；

（2）①如图，过点 作 轴于点 ．则 ．

∵ ．

∴ ．

∴ ．

在 和 中，

，

∴ ．

∴ ， ．

而 ．

∴ ．

∴ 为等腰直角三角形，

∴ ，

又∵ ， ，

∴ ．

②如图，过点A作 交于点 ，过点A作 延长线交于点 ．

∴ ，

又∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

又∵ ，四边形 内角和 ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

在 和 中，

，

∴ ．

∴ ．

∴ ，

即 平分 ．

【点拨】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、二次根式的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．