专题1.3二次根式的加减-重难点题型

【 知识点1 同类二次根式】

把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．

①同类二次根式类似于整式中的同类项；

②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；

③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．

【题型1 同类二次根式的概念】

【例1】（河西区校级月考）在 中，与 是同类二次根式的有几个（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．

【解答】解：∵ 2 ， 2 ， 3 ， 4 ，

∴与 是同类二次根式的有 ， ，共2个，

故选：B．

【点评】本考查了同类二次根式的定义，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．

【变式1-1】（内江期末）下列各组二次根式，属于同类二次根式的是（　　）

A． 与 B． 与 C． 与 D． 与

【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断．

【解答】解：A、∵ 3 ，

∴ 与 不属于同类二次根式；

B、∵ 3 ， 2 ，

∴ 与 属于同类二次根式；

C、∵ ， ，

∴ 与 不属于同类二次根式；

D、∵ 2 ， 6 ，

∴ 与 不属于同类二次根式；

故选：B．

【点评】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式的性质是解题的关键．

【变式1-2】（浦东新区期末）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】先将各选项化简，再根据同类二次根式的定义解答．

【解答】解：A、 与 被开方数相同，故是同类二次根式；

B、 与 被开方数不相同，故不是同类二次根式；

C、 与 被开方数不相同，故不是同类二次根式；

D、 与 被开方数不相同，故不是同类二次根式；

故选：A．

【点评】此题考查同类二次根式的定义，正确对根式进行化简，以及正确理解同类二次根式的定义是解决问题的关键．

【变式1-3】（青山区校级月考）若最简二次根式 与 可以合并，则m的值是（　　）

A． B．2 C．7 D．

【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解．

【解答】解：最简二次根式 与 可以合并，得

3m﹣1＝13﹣4m．

解得m＝2，

故选：B．

【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．

【题型2二次根式的加减运算】

【 知识点2 二次根式的加减法则】

二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方

法为系数相加减，根式不变．

【例2】（扶风县期末）计算下列各题：

（1） ；

（2）（ 3 ）﹣（ ）．

【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；

（2）直接化简二次根式进而合并得出答案．

【解答】解：（1）原式

；

（2）原式

．

【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．

【变式2-1】（江岸区校级月考）计算：

（1）2 6 3 ；

（2） ．

【分析】（1）（2）先把各个二次根式化成最简二次根式，然后合并即可．

【解答】解：（1）原式＝4 2 12

＝14 ；

（2）原式＝2 3 5

＝0．

【点评】本题考查了二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．

【变式2-2】（新洲区期中）计算：

（1） 6 ；

（2）3 4 （ ）．

【分析】（1）根据二次根式加减法则二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变，进行计算即可得出答案；

（2）解法同（1）．

【解答】解：（1）原式 6 2 3 5 ；

（2）原式＝3 2

＝6 2

＝5 ．

【点评】本题主要考查了二次根式的加减，熟练掌握二次根式的加减法则进行计算是解决本题的关键．

【变式2-3】（江岸区校级月考）计算：

（1）（ ）﹣（ ）；

（2） 6 2x （x＞0）．

【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；

（2）直接化简二次根式进而合并得出答案．

【解答】解：（1）原式＝2

＝3 ；

（2）原式 •3 6• 2x•

＝2 3 2

＝3 ．

【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．

【题型3二次根式的混合运算】

【例3】（镇海区期中）计算

（1） ；

（2） ．

【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简即可；

（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．

【解答】解：（1）原式

＝4 3 ；

（2）原式＝4+4 3﹣（4﹣5）

＝7+4 1

＝8+4 ．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

【变式3-1】（云阳县期中）计算

（1） ；

（2）（ 1）（ 1）+6 （1 ）²．

【分析】（1）先根据二次根式的乘法运算，然后把二次根式化为最简二次根式候合并即可；

（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．

【解答】解：（1）原式 2

2

＝3 ；

（2）原式＝5﹣1+2 （1+2 3）

＝4+2 4﹣2

＝0．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

【变式3-2】（渝中区校级期中）计算：

（1）（ ） ；

（2）（5 ） （2

【分析】（1）先化简各二次根式，再利用乘法分配律计算，最后计算加减即可；

（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号、计算加减即可．

【解答】解：（1）原式＝（4 5 5 ）×（ ）

＝﹣12 10 15

＝﹣27 10 ；

（2）原式＝5²﹣（2 ）²﹣（28+4 1）

＝25﹣12﹣28﹣4 1

＝﹣16﹣4 ．

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．

【变式3-3】（九龙坡区校级月考）化简

（1）（ 2）² 6 ；

（2）（ ）（ ）﹣（2 ）²．

【分析】（1）先根据完全平方公式计算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可；

（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．

【解答】解：（1）原式＝3﹣4 4+2 2

＝7；

（2）原式＝7﹣5﹣（4+4 2）

＝2﹣6﹣4

＝﹣4﹣4 ．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

【题型4二次根式的化简求值】

【例4】（长兴县月考）已知x＝3+2 ，y＝3﹣2 ．求下列各式的值：

（1）x²﹣y²；

（2） ．

【分析】（1）根据平方差公式，可以即将所求式子化简，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题；

（2）根据分式的加法可以将所求式子化简，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：（1）x²﹣y²＝（x+y）（x﹣y），

当x＝3+2 ，y＝3﹣2 时，

原式＝[（3+2 ）+（3﹣2 ）][（3+2 ）﹣（3﹣2 ）]

＝（3+2 3﹣2 ）（3+2 3+2 ）

＝6×4

＝24 ；

（2）

，

当x＝3+2 ，y＝3﹣2 时，

原式

＝6．

【点评】本题考查二次根式的化简求值、分式的化简求值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．

【变式4-1】（麻城市校级月考）已知x （ ），y （ ）．求：

（1）x+y和xy的值；

（2） 的值．

【分析】（1）根据二次根式的加法法则、乘法法则计算；

（2）根据分式的加法法则、完全平方公式把原式变形，代入计算即可．

【解答】解：（1）∵x （ ），y （ ），

∴x+y （ ） （ ） ，

xy （ ） （ ） （7﹣5） ；

（2） 12．

【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则是解题的关键．

【变式4-2】（九龙坡区校级月考）已知x ，y ．

（1）求代数式2x²+2y²﹣xy的值；

（2）求代数式 xy的值．

【分析】（1）先将原式化为2x²+4xy+2y²﹣5xy，然后求出x+y与xy的值，最后代入原式即可求出答案．

【解答】解：（1）原式＝2x²+4xy+2y²﹣5xy

＝2（x+y）²﹣5xy，

当x ，y 时，

∴x+y＝2 2 4，

xy 1，

∴原式＝2×4²﹣5×1

＝2×16﹣5

＝27．

（2）x 2 1，

原式 xy

xy

xy

xy

1

1﹣1

．

【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．

【变式4-3】（闵行区期中）先化简，再求值：[ ] ，其中x＝1，y＝2．

【分析】先依据二次根式的运算法则化简，再把x，y的值代入计算即可．

【解答】解：[ ]

＝[ ]

，

当x＝1，y＝2时，原式 ．

【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．

【题型5二次根式的应用】

【例5】（福州期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是1和6，则剩余区域的面积是　　．

【分析】直接求出A，B两正方形边长，进而求出剩余区域的面积．

【解答】解：∵A，B两正方形区域的面积分别是1和6，

∴A，B两正方形边长分别是1和 ，

故剩余区域的面积是：

（ 1）﹣6﹣1

＝6 7

1．

故答案为： 1．

【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确得出正方形的边长是解题关键．

【变式5-1】（拱墅区期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为8cm²和18cm²的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为　　．

【分析】直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．

【解答】解：∵两个小正方形面积为8cm²和18cm²，

∴大正方形边长为： 2 3 5 ，

∴大正方形面积为（5 ）²＝50，

∴留下的阴影部分面积和为：50﹣8﹣18＝24（cm²）

故答案为：24cm²．

【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确得出大正方形的边长是解题关键．

【变式5-2】（海淀区期中）如示意图，小宇利用两个面积为1dm²的正方形拼成了一个面积为2dm²的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了 dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（　　）

A．利用两个边长为2dm的正方形感知 dm的大小

B．利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知 dm的大小

C．利用一个边长为 dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知 dm的大小

D．利用四个直角边分别为1dm和3dm的直角三角形以及一个边长为2dm的正方形感知 dm的大小

【分析】在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等，所以我们只需要分别计算拼前，拼后的面积，看是否相等，就可以逐个排除．

【解答】解：A.2×2²＝8，（ ）²＝8，不符合题意；

B.4×（3×3÷2）＝18，（ ）²＝18，不符合题意；

C．（ ）²+2×2÷2＝4，（ ）²＝6，符合题意；

D.4×（1×3÷2）+2²＝10，（ ）²＝10，不符合题意．

故选：C．

【点评】这道题主要考查利用二次根式计算面积，解题的关键是在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等．

【变式5-3】（亭湖区校级月考）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为8 米，宽AB为 米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为 1米，宽为 1米．

（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）

（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m²的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）

【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；

（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，

【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2×（ ）＝2（8 7 ）＝16 14 （米），

答：长方形ABCD的周长是16 14 （米），

（2）通道的面积

＝56 （13﹣1）

＝56 （平方米），

购买地砖需要花费＝6×（56 ）＝336 72（元）．

答：购买地砖需要花费336 72元；

【点评】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．

【题型6二次根式中数式规律问题】

【例6】（潜江期末）观察下列各式：

① 1

② 1

③ 1 ，…，

请利用你所发现的规律计算 　．

【分析】观察已知等式得到一般性规律，计算即可求出值．

【解答】解：根据题意得：原式＝1 1 1 1 9+1 9 ，

故答案为：9 ．

【点评】此题考查了二次根式的加减法，规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

【变式6-1】（开福区期中）观察下列各式及其变形过程：a₁ ，a₂ ，a₃ ．

（1）按照此规律和格式，请你写出第五个等式的变形过程：a₅ 　；

（2）请通过计算验证（1）中a₅变形过程的正确性；

（3）按照此规律，计算（a₁+a₂+a₃+…+a_n）（a₁﹣a₂﹣a₃﹣…﹣a_n ）的值．

【分析】（1）利用题中等式的规律求解；

（2）利用分母有理化和二次根式的除法法则进行证明；

（3）先合并括号内的二次根式，然后利用平方差公式计算．

【解答】解：（1）a₅ ；

故答案为 ；

（2）a₅ ；

（3）原式＝（1 ••• ）（1 ••• ）

＝（1 ）（1 ）

＝1

．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

【变式6-2】（阜阳月考）观察下列等式，解答下列问题：

第1个等式： 2 ；

第2个等式： 3 ；

第3个等式： 4 ；

…

（1）请直接写出第5个等式：　　（不用化简）．

（2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明．

（3）利用（2）的结论计算： ．

【分析】（1）利用前面3个等式所反应的规律写出第5个等式；

（2）找出前面等式中的数据与序号数的关系，则可猜想出第n个等式为： （n+1） （n为正整数），然后根据二次函数的性质进行证明；

（3）利用（2）中的规律得到原式＝2020 2019 ，然后根据二次根式的乘法法则运算．

【解答】解：（1）第5个等式： 6 ；

故答案为 6 ；

（2）第n个等式为： （n+1） （n为正整数）；

证明：左边 ，

∵n为正整数

∴左边＝（n+1） 右边，

∴猜想成立；

（3）原式＝2020 2019

＝2020 2019

＝2020﹣2019

＝1．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

【变式6-3】（潮阳区校级月考）观察下列等式，根据你发现的规律解决问题：

① 1；

② ；

③ ；

…

（1）化简： 　　．

（2）化简： 　　（n为正整数）．

（3）利用上面所揭示的规律计算： ．

【分析】（1）（2）利用分母有理化的方法求解；

（3）先分母有理化，然后合并即可．

【解答】解：（1）

2 ；

故答案为2 ；

（2）化简： （n为正整数）．

故答案为 ；

（3）原式 1 •••

1．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．