专题1.3 二次根式的混合运算与化简求值

【典例1】若 ，求 的值．

【 思路点拨】

先根据 求出x的值，表示出（x+2）与（x²+4x）的值，再把原式进行化简，代入即可求出原式的值．

【 解题过程】

解：∵ ，

∴x＝a 2，

∴x+2＝a ．

∴x²+4x＝x（x+4）＝（a 2）（a 2） 4 4a• ．

∵x≥0，

∴ ，

∴a≥1， 1，

∴a 0．

原式 ，

，

，

，

当a 时，

原式 a²．

1．（广西月考）在二次根式 ， ， ， ， 中与 是同类二次根式的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【思路点拨】

将二次根式进行化简，然后根据同类二次根式的概念进行判断．

【解题过程】

解： 2 ， 5 ， ， ，

∴ ， 与 是同类二次根式，共2个，

故选：B．

2．（平房区期末）若最简二次根式 和 能合并，则a、b的值分别是（　　）

A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1

【思路点拨】

根据题意得到两个二次根式是同类二次根式，列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值．

【解题过程】

解：∵最简二次根式 和 能合并，

∴ ，即 ，

①×2+②得：7a＝7，

解得：a＝1，

把a＝1代入②得：1+2b＝3，

解得：b＝1．

故选：D．

3．（浦东新区校级期中）设x、y都是负数，则 等于（　　）

A． B． C． D．

【思路点拨】

根据x、y都是负数，可以将所求式子变形，然后即可化简题目中的式子，本题得以解决．

【解题过程】

解：∵x、y都是负数，

∴

＝﹣（﹣x+2 y）

＝﹣（ ）²，

故选：D．

4．（南召县期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m²n﹣mn﹣3n，如：1※2＝1²×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．则（﹣2）※ 结果为（　　）

A． B． C． D．

【思路点拨】

根据定义新运算法则列式，然后先算乘方和乘法，再算加减．

【解题过程】

解：原式＝（﹣2）² （﹣2） 3

＝4 2 3

＝3 ，

故选：A．

5．（遵化市模拟）在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（　　）

A．8 B．19 C．6 D．2 6

【思路点拨】

根据题意求出两个小正方形的边长，可得出大正方形的边长，进而得出答案．

【解题过程】

解：∵两个小正方形面积分别为12，10，

∴两个小正方形的边长分别为2 ， ，

∴两个小正方形重合部分的边长为2 大正方形的边长，

∴两个小正方形的重合部分是正方形，

∵两个小正方形重合部分的面积为3，

∴重合部分的边长为 ，

∴大正方形的边长是2 ，

∴空白部分的面积为（ ）²﹣（12+10﹣3）＝2 6．

故选：D．

6．（九龙坡区校级月考）已知x+y＝﹣5，xy＝4，则 的值是（　　）

A． B． C． D．

【思路点拨】

根据已知条件得出x、y同号，并且x、y都是负数，求出x＝﹣1，y＝﹣4或x＝﹣4，y＝﹣1，再求出答案即可．

【解题过程】

解：∵x+y＝﹣5，xy＝4，

∴x、y同号，并且x、y都是负数，

解得：x＝﹣1，y＝﹣4或x＝﹣4，y＝﹣1，

当x＝﹣1，y＝﹣4时，

＝2

；

当x＝﹣4，y＝﹣1时，

2

，

则 的值是 ，

故选：B．

7．（海淀区校级期末）已知x，y为实数，xy＝5，那么x y 的值为（　　）

A． B．2 C．±2 D．5

【思路点拨】

先化简所求式子，然后利用分类讨论的方法，可以求得所求式子的值．

【解题过程】

解：x y

，

∵x，y为实数，xy＝5，

∴x、y同号，

当x＜0，y＜0时，

原式 2 ，

当x＞0，y＞0时，

原式 2 ，

由上可得，x y 的值是 ，

故选：C．

8．（武昌区校级自主招生）已知x ，则x⁶﹣2 x⁵﹣x⁴+x³﹣2 x²+2x 的值为（　　）

A．0 B．1 C． D．

【思路点拨】

对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可．

【解题过程】

解：∵x ，

∴x⁶﹣2 x⁵﹣x⁴+x³﹣2 x²+2x

＝x⁵（x﹣2 ）﹣x⁴+x²（x﹣2 ）+2x

＝x⁵（ 2 ）﹣x⁴+x²（ 2 ）+2x

＝x⁵（ ）﹣x⁴+x²（ ）+2x

＝x⁴[x（ ）﹣1]+x²（ ）+2x

＝0+x（ ）（ ）+2x

＝﹣x+2x

＝x

．

故选：C．

9．（宽城县期末）（1）计算： ；

（2）计算： ；

（3）下面是王鑫同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的问题：

第一步

第二步

第三步

第四步

①以上化简步骤中第一步化简的依据是：　　；

②第　　步开始出现错误，请写出错误的原因　　，该运算正确结果应是　　．

【思路点拨】

（1）利用平方差公式计算；

（2）先把各二次根式化简，然后合并即可；

（3）①第一步化简的依据为二次根式的除法法则；

②第二步去括号错误，然后计算出正确的结果．

【解题过程】

解：（1）原式＝5﹣3+1＝3；

（2）原式＝5 9 2 5

＝5 5

＝5 5；

（3）①化简步骤中第一步化简的依据是商的算术平方根，等于算术平方根的商；

故答案为：商的算术平方根，等于算术平方根的商；

②第二步开始出现错误，请写出错误的原因括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；，该运算正确结果应是 ．

故答案为：二；括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号； ．

10．（浦东新区校级月考）先化简，再求值：[ ]÷（ ）•（ ），其中x＝3，y＝2．

【思路点拨】

根据二次根式的化简求值即可求解．

【解题过程】

解：原式＝（ ） •（ ）

• •（ ）

•（ ）

当x＝3，y＝2时，

原式 ．

答：原式的值为 ．

11．（杭州模拟）最简根式 与 能是同类根式吗？若能，求出x、y的值；若不能，请说明理由．

【思路点拨】

根据同类根式的定义，即可推出 （2x﹣y） （y+6），x+y＝3x+y﹣2，通过解二元一次方程组即可推出x和y的值．

【解题过程】

解：假设他们是同类根式，则： ，

解得 ，

∵当 时，x+y＝﹣1，3x+y﹣2＝﹣1，

∴两根式皆无意义，

∴假设错误，它们不能是同类根式．

12．（浦东新区校级月考）已知x＝3+2 ，求： 的值．

【思路点拨】

利用完全平方公式把原式变形，根据二次根式的除法法则求出 ，代入计算即可．

【解题过程】

解：原式＝x²+2 6（x ）+5

＝（x ）²+6（x ）+5

＝（x 1）（x 5），

∵x＝3+2 ，

∴ 3﹣2 ，

∴x 3+2 3﹣2 6．

∴原式＝（6+1）×（6+5）＝77．

13．（雨花区校级期末）已知x＝3 ，y＝3 ，求下列各式的值：

（1）x²+y²；

（2） ．

【思路点拨】

（1）根据完全平方公式对原式进行变形，然后利用二次根式加减法和平方差公式求得x+y与xy的值，从而代入求值；

（2）原式进行通分计算，然后利用整体思想代入求值．

【解题过程】

解：（1）原式＝（x+y）²﹣2xy，

∵x＝3 ，y＝3 ，

∴x+y＝（3 ）+（3 ）＝3 3 6，

xy＝（3 ）（3 ）＝9﹣7＝2，

∴原式＝6²﹣2×2

＝36﹣4

＝32；

（2）原式 ，

当xy＝2，x²+y²＝32时，

原式 16．

14．（思明区校级期中）阅读材料：

如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p ，那么这个三角形的面积S ．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦秦﹣﹣﹣九韶公式”完成下列问题：

如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．

（1）求△ABC的面积；

（2）设AB边上的高为h₁，AC边上的高为h₂，求h₁+h₂的值．

【思路点拨】

（1）根据题意先求p，再将p，a，b，c的值代入题中所列面积公式计算即可；

（2）按照三角形的面积等于 底×高分别计算出h₁和h₂的值，再求和即可．

【解题过程】

解．（1）根据题意知p 9

所以S 6

∴△ABC的面积为6 ；

（2）∵S ch₁ bh₂＝6

∴ 6h₁ 5h₂＝6

∴h₁＝2 ，h₂

∴h₁+h₂ ．

15．（郫都区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 （1 ）²，善于思考的小明进行了以下探索：

设a b＝（m n）²（其中a、b、m、n均为正整数），则有a b＝m²+2n²+2 mn，

∴a＝m²+2n²，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a b的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a b＝（m n）²，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　　，b＝　　；

（2）若a+4 （m n）²，且a、m、n均为正整数，求a的值；

（3）化简： ．

【思路点拨】

（1）利用完全平方公式展开得到（m n）²＝m²+6n²+2 mn，从而可用m、n表示a、b；

（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；

（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．

【解题过程】

解：（1）∵（m n）²＝m²+6n²+2 mn，a b＝（m n）²，

∴a＝m²+6n²，b＝2mn．

故答案为m²+6n²，2mn；

（2）∵（m n）²＝m²+3n²+2 mn，a+4 （m n）²，

∴a＝m²+3n²，mn＝2，

∵m、n均为正整数，

∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，

∴a＝13或7；

（3） 2 1，

则

1．

16．（渝中区校级月考）先阅读，再解答问题：恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．

例如：当x 1时，求 x³﹣x²﹣x+2的值．

为解答这道题，若直接把x 1代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．

方法：将条件变形，因x 1，得x﹣1 ，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．

由x﹣1 ，可得x²﹣2x﹣2＝0，即x²﹣2x＝2，x²＝2x+2．

原式 x（2x+2）﹣x²﹣x+2＝x²+x﹣x²﹣x+2＝2．

请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：

（1）若x 1，求2x³+4x²﹣3x+1的值；

（2）已知x＝2 ，求 的值．

【思路点拨】

（1）变形已知条件得到x+1 ，两边平方得到x²+2x＝1，再利用降次和整体代入的方法表示原式化为﹣x+1，然后把x的值代入计算即可；

（2）变形已知条件，利用平方的形式得到x²﹣4x＝﹣1或x²＝4x﹣1，再利用降次和整体代入的方法化简原式，从而得到原式的值．

【解题过程】

解：（1）∵x 1，

∴x+1 ，

∴（x+1）²＝2，

即x²+2x+1＝2，

∴x²+2x＝1，

∴原式＝2x（x²+2x）﹣3x+1

＝2x﹣3x+1

＝﹣x+1

＝﹣（ 1）+1

＝2 ；

（2）∵x＝2 ，

∴x﹣2 ，

∴（x﹣2）²＝3，

即x²﹣4x+4＝3，

∴x²﹣4x＝﹣1或x²＝4x﹣1，

∴原式

（16x²﹣8x+1﹣4x²+x﹣36x+9﹣5x+5）

[12（4x﹣1）﹣48x+15）

（48x﹣12﹣48x+15）

3

．

17．（成都期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法：

解：将第二个方程，变形为4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5．

然后把第一个方程，代入得2×3+y＝5，∴y＝﹣1．

把y＝﹣1代入第一个方程，得x＝4．

∴方程组的解为 ．

请你解决下列两个问题：

（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组 ．

（2）已知正数x，y满足 ，求 的值．

【思路点拨】

（1）把第2个方程变形为3（3x﹣2y）+2y＝19，则利用整体代换消去x，求出y的值，然后利用代入法求出x得到方程组的解；

（2）利用整体代换的方法把原方程组转化为方程组 ，再利用完全平方公式得到（ ）² ，然后利用整体代入的方法计算．

【解题过程】

解：（1） ，

把②变形为9x﹣6y+2y＝19，即3（3x﹣2y）+2y＝19③．

把①代入③，得3×5+2y＝19，

∴y＝2．

把y＝2代入①，得3x﹣2×2＝5，

∴x＝3．

∴方程组的解为 ；

（2） ，

把①变形为3x²+1.5xy+12y²﹣3.5xy＝47，即1.5（2x²+xy+8y²）﹣3.5xy＝47③．

把②代入①，得1.5×36﹣3.5xy＝47，

∴xy＝2．

把xy＝2代入②，得2x²+2+8y²＝36，

∴x²+4y²＝17，

∴x²+4xy+4y²＝17+8，

即（x+2y）²＝25，

∵x＞0，y＞0，

∴x+2y＝5，

∵（ ）² ，

∴ ± ．

18．（浙江自主招生）已知正实数x，y，z满足方程组 求该方程组的所有实数解．

【思路点拨】

令x≥y，根据二次根式的性质和分母有理化的知识进行化简即可．

【解题过程】

解：不妨令x≥y，有 ，得 ，

∴z≥x，

∴z≥y，

∴ ，得 ，

∴y≥x，

∴y＝x，

∴x＝y＝z，代入解得：x＝y＝z ．