【324039】2024八年级数学下册 专题1.3 二次根式的混合运算与化简求值(重点题专项讲练)(含
专题1.3
二次根式的混合运算与化简求值
【典例1】若
,求
的值.
【
思路点拨】
先根据
求出x的值,表示出(x+2)与(x2+4x)的值,再把原式进行化简,代入即可求出原式的值.
【
解题过程】
解:∵
,
∴x=a
2,
∴x+2=a
.
∴x2+4x=x(x+4)=(a
2)(a
2)
4
4a•
.
∵x≥0,
∴
,
∴a≥1,
1,
∴a
0.
原式
,
,
,
,
当a
时,
原式
a2.
1.(广西月考)在二次根式
,
,
,
,
中与
是同类二次根式的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【思路点拨】
将二次根式进行化简,然后根据同类二次根式的概念进行判断.
【解题过程】
解:
2
,
5
,
,
,
∴
,
与
是同类二次根式,共2个,
故选:B.
2.(平房区期末)若最简二次根式
和
能合并,则a、b的值分别是( )
A.2和1 B.1和2 C.2和2 D.1和1
【思路点拨】
根据题意得到两个二次根式是同类二次根式,列出方程组,求出方程组的解即可得到a与b的值.
【解题过程】
解:∵最简二次根式
和
能合并,
∴
,即
,
①×2+②得:7a=7,
解得:a=1,
把a=1代入②得:1+2b=3,
解得:b=1.
故选:D.
3.(浦东新区校级期中)设x、y都是负数,则
等于( )
A.
B.
C.
D.
【思路点拨】
根据x、y都是负数,可以将所求式子变形,然后即可化简题目中的式子,本题得以解决.
【解题过程】
解:∵x、y都是负数,
∴
=﹣(﹣x+2
y)
=﹣(
)2,
故选:D.
4.(南召县期末)用※定义一种新运算:对于任意实数m和n,规定m※n=m2n﹣mn﹣3n,如:1※2=12×2﹣1×2﹣3×2=﹣6.则(﹣2)※
结果为( )
A.
B.
C.
D.
【思路点拨】
根据定义新运算法则列式,然后先算乘方和乘法,再算加减.
【解题过程】
解:原式=(﹣2)2
(﹣2)
3
=4
2
3
=3
,
故选:A.
5.(遵化市模拟)在一个大正方形上,按如图的方式粘贴面积分别为12,10的两个小正方形,粘贴后,这两个小正方形重合部分的面积为3,则空白部分的面积为( )
A.8 B.19 C.6
D.2
6
【思路点拨】
根据题意求出两个小正方形的边长,可得出大正方形的边长,进而得出答案.
【解题过程】
解:∵两个小正方形面积分别为12,10,
∴两个小正方形的边长分别为2
,
,
∴两个小正方形重合部分的边长为2
大正方形的边长,
∴两个小正方形的重合部分是正方形,
∵两个小正方形重合部分的面积为3,
∴重合部分的边长为
,
∴大正方形的边长是2
,
∴空白部分的面积为(
)2﹣(12+10﹣3)=2
6.
故选:D.
6.(九龙坡区校级月考)已知x+y=﹣5,xy=4,则
的值是( )
A.
B.
C.
D.
【思路点拨】
根据已知条件得出x、y同号,并且x、y都是负数,求出x=﹣1,y=﹣4或x=﹣4,y=﹣1,再求出答案即可.
【解题过程】
解:∵x+y=﹣5,xy=4,
∴x、y同号,并且x、y都是负数,
解得:x=﹣1,y=﹣4或x=﹣4,y=﹣1,
当x=﹣1,y=﹣4时,
=2
;
当x=﹣4,y=﹣1时,
2
,
则
的值是
,
故选:B.
7.(海淀区校级期末)已知x,y为实数,xy=5,那么x
y
的值为( )
A.
B.2
C.±2
D.5
【思路点拨】
先化简所求式子,然后利用分类讨论的方法,可以求得所求式子的值.
【解题过程】
解:x
y
,
∵x,y为实数,xy=5,
∴x、y同号,
当x<0,y<0时,
原式
2
,
当x>0,y>0时,
原式
2
,
由上可得,x
y
的值是
,
故选:C.
8.(武昌区校级自主招生)已知x
,则x6﹣2
x5﹣x4+x3﹣2
x2+2x
的值为( )
A.0 B.1 C.
D.
【思路点拨】
对已知进行变形,再代入所求式子,反复代入即可.
【解题过程】
解:∵x
,
∴x6﹣2
x5﹣x4+x3﹣2
x2+2x
=x5(x﹣2
)﹣x4+x2(x﹣2
)+2x
=x5(
2
)﹣x4+x2(
2
)+2x
=x5(
)﹣x4+x2(
)+2x
=x4[x(
)﹣1]+x2(
)+2x
=0+x(
)(
)+2x
=﹣x+2x
=x
.
故选:C.
9.(宽城县期末)(1)计算:
;
(2)计算:
;
(3)下面是王鑫同学进行实数运算的过程,认真阅读并完成相应的问题:
第一步
第二步
第三步
第四步
①以上化简步骤中第一步化简的依据是: ;
②第 步开始出现错误,请写出错误的原因 ,该运算正确结果应是 .
【思路点拨】
(1)利用平方差公式计算;
(2)先把各二次根式化简,然后合并即可;
(3)①第一步化简的依据为二次根式的除法法则;
②第二步去括号错误,然后计算出正确的结果.
【解题过程】
解:(1)原式=5﹣3+1=3;
(2)原式=5
9
2
5
=5
5
=5
5;
(3)①化简步骤中第一步化简的依据是商的算术平方根,等于算术平方根的商;
故答案为:商的算术平方根,等于算术平方根的商;
②第二步开始出现错误,请写出错误的原因括号前是负号,去掉括号后第二项没有变号;,该运算正确结果应是
.
故答案为:二;括号前是负号,去掉括号后第二项没有变号;
.
10.(浦东新区校级月考)先化简,再求值:[
]÷(
)•(
),其中x=3,y=2.
【思路点拨】
根据二次根式的化简求值即可求解.
【解题过程】
解:原式=(
)
•(
)
•
•(
)
•(
)
当x=3,y=2时,
原式
.
答:原式的值为
.
11.(杭州模拟)最简根式
与
能是同类根式吗?若能,求出x、y的值;若不能,请说明理由.
【思路点拨】
根据同类根式的定义,即可推出
(2x﹣y)
(y+6),x+y=3x+y﹣2,通过解二元一次方程组即可推出x和y的值.
【解题过程】
解:假设他们是同类根式,则:
,
解得
,
∵当
时,x+y=﹣1,3x+y﹣2=﹣1,
∴两根式皆无意义,
∴假设错误,它们不能是同类根式.
12.(浦东新区校级月考)已知x=3+2
,求:
的值.
【思路点拨】
利用完全平方公式把原式变形,根据二次根式的除法法则求出
,代入计算即可.
【解题过程】
解:原式=x2+2
6(x
)+5
=(x
)2+6(x
)+5
=(x
1)(x
5),
∵x=3+2
,
∴
3﹣2
,
∴x
3+2
3﹣2
6.
∴原式=(6+1)×(6+5)=77.
13.(雨花区校级期末)已知x=3
,y=3
,求下列各式的值:
(1)x2+y2;
(2)
.
【思路点拨】
(1)根据完全平方公式对原式进行变形,然后利用二次根式加减法和平方差公式求得x+y与xy的值,从而代入求值;
(2)原式进行通分计算,然后利用整体思想代入求值.
【解题过程】
解:(1)原式=(x+y)2﹣2xy,
∵x=3
,y=3
,
∴x+y=(3
)+(3
)=3
3
6,
xy=(3
)(3
)=9﹣7=2,
∴原式=62﹣2×2
=36﹣4
=32;
(2)原式
,
当xy=2,x2+y2=32时,
原式
16.
14.(思明区校级期中)阅读材料:
如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记p
,那么这个三角形的面积S
.这个公式叫“海伦公式”,它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式.中国的秦九韶也得出了类似的公式,称三斜求积术,故这个公式又被称为“海伦秦﹣﹣﹣九韶公式”完成下列问题:
如图,在△ABC中,a=7,b=5,c=6.
(1)求△ABC的面积;
(2)设AB边上的高为h1,AC边上的高为h2,求h1+h2的值.
【思路点拨】
(1)根据题意先求p,再将p,a,b,c的值代入题中所列面积公式计算即可;
(2)按照三角形的面积等于
底×高分别计算出h1和h2的值,再求和即可.
【解题过程】
解.(1)根据题意知p
9
所以S
6
∴△ABC的面积为6
;
(2)∵S
ch1
bh2=6
∴
6h1
5h2=6
∴h1=2
,h2
∴h1+h2
.
15.(郫都区期末)阅读材料:小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2
(1
)2,善于思考的小明进行了以下探索:
设a
b=(m
n)2(其中a、b、m、n均为正整数),则有a
b=m2+2n2+2
mn,
∴a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a
b的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)当a、b、m、n均为正整数时,若a
b=(m
n)2,用含m、n的式子分别表示a、b,得:a= ,b= ;
(2)若a+4
(m
n)2,且a、m、n均为正整数,求a的值;
(3)化简:
.
【思路点拨】
(1)利用完全平方公式展开得到(m
n)2=m2+6n2+2
mn,从而可用m、n表示a、b;
(2)直接利用完全平方公式,变形得出答案;
(3)直接利用完全平方公式,变形化简即可.
【解题过程】
解:(1)∵(m
n)2=m2+6n2+2
mn,a
b=(m
n)2,
∴a=m2+6n2,b=2mn.
故答案为m2+6n2,2mn;
(2)∵(m
n)2=m2+3n2+2
mn,a+4
(m
n)2,
∴a=m2+3n2,mn=2,
∵m、n均为正整数,
∴m=1、n=2或m=2,n=1,
∴a=13或7;
(3)
2
1,
则
1.
16.(渝中区校级月考)先阅读,再解答问题:恒等变形,是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形,可以把无理数运算转化为有理数运算,可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.
例如:当x
1时,求
x3﹣x2﹣x+2的值.
为解答这道题,若直接把x
1代入所求的式中,进行计算,显然很麻烦,我们可以通过恒等变形,对本题进行解答.
方法:将条件变形,因x
1,得x﹣1
,再把等式两边同时平方,把无理数运算转化为有理数运算.
由x﹣1
,可得x2﹣2x﹣2=0,即x2﹣2x=2,x2=2x+2.
原式
x(2x+2)﹣x2﹣x+2=x2+x﹣x2﹣x+2=2.
请参照以上的解决问题的思路和方法,解决以下问题:
(1)若x
1,求2x3+4x2﹣3x+1的值;
(2)已知x=2
,求
的值.
【思路点拨】
(1)变形已知条件得到x+1
,两边平方得到x2+2x=1,再利用降次和整体代入的方法表示原式化为﹣x+1,然后把x的值代入计算即可;
(2)变形已知条件,利用平方的形式得到x2﹣4x=﹣1或x2=4x﹣1,再利用降次和整体代入的方法化简原式,从而得到原式的值.
【解题过程】
解:(1)∵x
1,
∴x+1
,
∴(x+1)2=2,
即x2+2x+1=2,
∴x2+2x=1,
∴原式=2x(x2+2x)﹣3x+1
=2x﹣3x+1
=﹣x+1
=﹣(
1)+1
=2
;
(2)∵x=2
,
∴x﹣2
,
∴(x﹣2)2=3,
即x2﹣4x+4=3,
∴x2﹣4x=﹣1或x2=4x﹣1,
∴原式
(16x2﹣8x+1﹣4x2+x﹣36x+9﹣5x+5)
[12(4x﹣1)﹣48x+15)
(48x﹣12﹣48x+15)
3
.
17.(成都期中)阅读材料:善于思考的小军在解方程组
时,采用了一种“整体代换”的解法:
解:将第二个方程,变形为4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5.
然后把第一个方程,代入得2×3+y=5,∴y=﹣1.
把y=﹣1代入第一个方程,得x=4.
∴方程组的解为
.
请你解决下列两个问题:
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组
.
(2)已知正数x,y满足
,求
的值.
【思路点拨】
(1)把第2个方程变形为3(3x﹣2y)+2y=19,则利用整体代换消去x,求出y的值,然后利用代入法求出x得到方程组的解;
(2)利用整体代换的方法把原方程组转化为方程组
,再利用完全平方公式得到(
)2
,然后利用整体代入的方法计算.
【解题过程】
解:(1)
,
把②变形为9x﹣6y+2y=19,即3(3x﹣2y)+2y=19③.
把①代入③,得3×5+2y=19,
∴y=2.
把y=2代入①,得3x﹣2×2=5,
∴x=3.
∴方程组的解为
;
(2)
,
把①变形为3x2+1.5xy+12y2﹣3.5xy=47,即1.5(2x2+xy+8y2)﹣3.5xy=47③.
把②代入①,得1.5×36﹣3.5xy=47,
∴xy=2.
把xy=2代入②,得2x2+2+8y2=36,
∴x2+4y2=17,
∴x2+4xy+4y2=17+8,
即(x+2y)2=25,
∵x>0,y>0,
∴x+2y=5,
∵(
)2
,
∴
±
.
18.(浙江自主招生)已知正实数x,y,z满足方程组
求该方程组的所有实数解.
【思路点拨】
令x≥y,根据二次根式的性质和分母有理化的知识进行化简即可.
【解题过程】
解:不妨令x≥y,有
,得
,
∴z≥x,
∴z≥y,
∴
,得
,
∴y≥x,
∴y=x,
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