【324037】2024八年级数学下册 专题1.2 二次根式及其性质（基础篇）（新版）浙教版

专题1.2 二次根式及其性质（基础篇）

一、单选题

1．下列各式是二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

2．若 ，则 的取值范围是（    ）

A． B． C． D．任意实数

3．函数 的自变量 的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．下列各数中的无理数是（    ）

A． B． C． D．

5．下列计算中，正确的是（　　）

A． B． C． D．

6．实数 、 在轴上的位置如图所示，且 ，则化简 的结果为(   )

A． B． C． D．

7．将 根号外的因式移到根号内为（   ）

A． B．－ C．－ D．

8． ， ，5三个数的大小关系是（   ）

A． B．

C． D．

9．已知 ，当x分别取1，2，3，…，2023时，所对应的y值的总和是（   ）

A．2022 B．2023 C．2024 D．2025

10．在 中，若 分别为 所对的边，则化简 的结果为（    ）

A． B． C． D．0

二、填空题

11．当a＝3时，二次根式 的值是______．

12．已知 是正整数，则实数n的最小值是___．

13．若式子 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是______________．

14．若 ，则 __．

15．已知有理数满足 ，则 的值是______.

16．若 ，则 的取值范围是______．

17．观察下列各式： ， ， ，……请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来_________．

18．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边 、 、 求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为 ．现有周长为9的三角形的三边满足 ，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为_______．

三、解答题

19．已知 求 的四次方根．

20．计算：

(1) ； (2) .

21．计算：

(1) ； (2)

(3) ； (4)

22．实数a、b对应的点如图所示，化简 ．

23．请认真阅读下面这道例题的解法，并完成后续题目．

例：已知 ，求 的值．

解：由 解得x=2021，y=2022，∴           

题目：已知

(1)求a和b的值；

(2)求 的平方根．

24．同学们，我们以前学过完全平方公式 ，你一定熟悉掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有非负数都可以看作是一个数的平方，如 ， ，下面我们观察：

；

反之， ；

∴ ；

∴ .

仿上例，求：

（1） ；

（2）若 ，则 、 与 、 的关系是什么？并说明理由.

参考答案

1．B

【分析】结合二次根式的定义即可求解．

【详解】解：A：在 中， ，不合题意，故错误；

B：在 中， ，符合题意，故正确；

C：在 中， 的正负性不可确定，不合题意，故错误；

D：在 中，根指数是3，不合题意，故错误；

故答案是：B．

【点拨】本题考查二次根式的定义，属于基础概念题，难度不大．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“ ”且 的式子叫二次根式．

2．C

【分析】根据二次根式的性质得出5−x≥0，求出即可．

【详解】∵

∴5−x≥0，

解得：x≤5，

故答案为：C．

【点拨】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0时， ＝a，当a＜0时， ＝−a．

3．C

【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件，列出不等式组求解即可．

【详解】根据题意可得： ，

解得： 且 ，

故选：C．

【点拨】本题考查函数自变量的取值范围，理解二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．

4．A

【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数，进行判断即可．

【详解】解：A． ，是无理数，符合题意；

B． ，不是无理数，不符合题意；

C． ，是无限循环小数，不符合题意；

D． ，不是无理数，不符合题意；

故选A．

【点拨】本题考查无理数的定义．熟练掌握无理数的定义：无限不循环小数，是解题的关键．

5．D

【分析】根据二次根式的性质和运算法则分别判断．

【详解】解：A、 ，故错误，不符合题意；

B、 ，故错误，不符合题意；

C、 ，故错误，不符合题意；

D、 ，故正确，符合题意，

故选：D．

【点拨】本题考查了二次根式的性质和运算，属于基础知识，要熟练掌握相关算法．

6．B

【分析】利用数轴得出 的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可．

【详解】∵由数轴可知， ，且 ，

∴ ，

∴ ．

故选：B．

【点拨】本题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性．

7．B

【分析】直接利用二次根式的性质得出 的符号进而化简求出答案；

【详解】解：由题意可知 ，

∴ ，

故选：B．

【点拨】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．

8．C

【分析】变形 ， ，比较24，25，27的大小即可．

【详解】因为 ， ，且24＜25＜27，

所以 即 ，

故选：C．

【点拨】本题考查了二次根式的大小比较，化成二次根式比较被开方数的大小是解题的关键．

9．D

【分析】当 时， ，当 时， ，把 代入 ，求出 ，再根据题意得出总和为 ，再求出答案即可．

【详解】解：

，

当 时， ，

当 时， ；

当x=1时， ；

所以当x分别取1，2，3，…，2023时，所对应的y值的总和是 ，

故选：D．

【点拨】本题考查了二次根式的性质与化简，数字变化类等知识点，能根据数据得出规律是解此题的关键．

10．A

【分析】根据三角形三边的关系和二次根式的性质进行化简求解即可．

【详解】解：∵ 分别为 所对的边，

∴ ，

∴原式

，

故选A．

【点拨】本题考查了三角形三边的关系和二次根式的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．

11．1

【分析】把a=3代入二次根式，直接求解即可．

【详解】解：当a=3时，

=

=1．

故答案为：1．

【点拨】本题主要考查二次根式求值，准确计算是解题的关键．

12．

【分析】根据二次根式的性质进行分析求值．

【详解】解：∵ 是正整数，且最小的正整数是1，

∴当 ，此时 ，

∴ 的最小值为 ，

故答案为： ．

【点拨】本题考查的是二次根式的定义和二次根式的化简，属于常考题型，熟练掌握二次根式的基本知识是解题的关键．

13．

【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．

【详解】解：根据题意得： ，

解得： ．

故答案为：

【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．

14．

【分析】根据已知可得 ，然后利用平方根的意义，进行计算即可解答．

【详解】解： ，

，

，

故答案为： ．

【点拨】本题考查了二次根式的性质，平方根，解题的关键是熟练掌握平方根的意义．

15．

【分析】将已知等式整理得 ，由a，b为有理数，得到 ，求出a，b的值，代入计算即可．

【详解】解：∵ ，

∴ ，

∵a，b为有理数，

∴ ，

解得 ，

∴ ，

故答案为： ．

【点拨】此题考查了求二次根式中的参数，将已知等式整理后得到对应关系，由此求出a，b的值是解题的关键．

16．

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可．

【详解】根据题意得，

解①得， ；

解②得， ；

∴

所以， 的取值范围是 ，

故答案为：

【点拨】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．

17．

【分析】根据等式的左边根号内整数部分为自然数 加上 ，右边为 ，据此即可求解．

【详解】解：∵第1个式子为： ，

第2个式子为： ，

第3个式子为： ，

……

∴第 个式子为： ．

故答案为： ．

【点拨】本题考查了二次根式的规律题，找到规律是解题的关键．

18．

【分析】先求出a、b、c的值，再代入所给的面积公式计算即可．

【详解】解：∵ ， ，

∴ ， ， ，

∴

，

故答案为： ．

【点拨】本题考查有理数的混合运算，二次根式的化简，根据比的性质，求出三角形各边长，再运用公式计算是解题的关键．

19．

【分析】根据算术平方根的性质和分式有意义的条件得出m的值，再计算出 的四次方根．

【详解】解：∵ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ 的四次方根为 .

【点拨】本题考查了算术平方根的非负性和分式有意义的条件，以及求n次方根，解题的关键是通过解出m求得n的值.

20．（1） ；（2）

【分析】（1）先分别计算绝对值，算术平方根，0次幂，和负整数次幂，然后再进行有理数加减即可；（2）先化简绝对值和二次根式，然后在合并同类二次根式即可.

【详解】解：（1）原式=1-2+1+

= ；

（2）原式=

=

【点拨】本题是对实数混合运算的考查，熟练掌握绝对值，算术平方根，0次幂，负整数次幂及二次根式的化简是解决本题的关键，难度不大，注意计算的准确性.

21．(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】（1）化简二次根式，绝对值的性质，非零数的零次幂是1，由此即可求解；

（2）二次根式的乘法运算，约分即可求解；

（3）化简二次根式，合并同类项即可求解；

（4）根据积的乘方，平方差公式即可求解．

【详解】（1）解：

．

（2）解：

．

（3）解：

．

（4）解：

．

【点拨】本题主要考查实数的混合运算，掌握绝对值的性质，二次根式的化简，非零数的零次幂，合并同类项等知识是解题的关键．

22．b

【分析】根据实数a、b在数轴上的位置可知， ，进而得出 ， ， ， ，再根据绝对值的定义进行化简即可．

【详解】解：由实数a、b在数轴上的位置可知， ，

∴ ， ， ， ，

∴

．

【点拨】本题考查二次根式的性质与化简，数轴表示数，由实数a、b在数轴上的位置判断 ， ， 以及b的符号是正确解答的关键．

23．(1) ，

(2)±15

【分析】（1）先仿照题意求出a的值，进而求出b的值；

（2）根据（1）所求，代值求出 ，进而求出求平方根

（1）

解：由题意得： ，

解得 ，

∴ ，

∴ ；

（2）

解：∵ ， ，

∴ ，

∵225的平方根为±15，

∴ 的平方根为±15．

【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，正确根据二次根式有意义的条件求出a、b的值是解题的关键．

24．（1） ；（2） ， .理由见解析.

【分析】（1）根据阅读材料即可求解；

（2）根据阅读材料两边同时平方即可求解.

【详解】（1）

；

（2） ， ；

∵ ，∴ ，

∴ ，

∴ ， .

【点拨】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式的运算法则.