专题1.2
二次根式及其性质（基础篇）
一、单选题
1．下列各式是二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．任意实数
3．函数
的自变量
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列各数中的无理数是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列计算中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．实数
、
在轴上的位置如图所示，且
，则化简
的结果为( )
A．
B．
C．
D．
7．将
根号外的因式移到根号内为（ ）
A．
B．－
C．－
D．
8．
，
，5三个数的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知
，当x分别取1，2，3，…，2023时，所对应的y值的总和是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
10．在
中，若
分别为
所对的边，则化简
的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．0
二、填空题
11．当a＝3时，二次根式
的值是______．
12．已知
是正整数，则实数n的最小值是___．
13．若式子
在实数范围内有意义，则实数
的取值范围是______________．
14．若
，则
__．
15．已知有理数满足
，则
的值是______.
16．若
，则
的取值范围是______．
17．观察下列各式：
，
，
，……请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来_________．
18．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边
、
、
求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为
．现有周长为9的三角形的三边满足
，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为_______．
三、解答题
19．已知
求
的四次方根．
20．计算：
(1)
；
(2)
.
21．计算：
(1)
；
(2)
(3)
；
(4)
22．实数a、b对应的点如图所示，化简
．
23．请认真阅读下面这道例题的解法，并完成后续题目．
例：已知
，求
的值．
解：由
解得x=2021，y=2022，∴
题目：已知
(1)求a和b的值；
(2)求
的平方根．
24．同学们，我们以前学过完全平方公式
，你一定熟悉掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有非负数都可以看作是一个数的平方，如
，
，下面我们观察：
；
反之，
；
∴
；
∴
.
仿上例，求：
（1）
；
（2）若
，则
、
与
、
的关系是什么？并说明理由.
参考答案
1．B
【分析】结合二次根式的定义即可求解．
【详解】解：A：在
中，
，不合题意，故错误；
B：在
中，
，符合题意，故正确；
C：在
中，
的正负性不可确定，不合题意，故错误；
D：在
中，根指数是3，不合题意，故错误；
故答案是：B．
【点拨】本题考查二次根式的定义，属于基础概念题，难度不大．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“
”且
的式子叫二次根式．
2．C
【分析】根据二次根式的性质得出5−x≥0，求出即可．
【详解】∵
∴5−x≥0，
解得：x≤5，
故答案为：C．
【点拨】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0时，
＝a，当a＜0时，
＝−a．
3．C
【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件，列出不等式组求解即可．
【详解】根据题意可得：
，
解得：
且
，
故选：C．
【点拨】本题考查函数自变量的取值范围，理解二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
4．A
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数，进行判断即可．
【详解】解：A．
，是无理数，符合题意；
B．
，不是无理数，不符合题意；
C．
，是无限循环小数，不符合题意；
D．
，不是无理数，不符合题意；
故选A．
【点拨】本题考查无理数的定义．熟练掌握无理数的定义：无限不循环小数，是解题的关键．
5．D
【分析】根据二次根式的性质和运算法则分别判断．
【详解】解：A、
，故错误，不符合题意；
B、
，故错误，不符合题意；
C、
，故错误，不符合题意；
D、
，故正确，符合题意，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的性质和运算，属于基础知识，要熟练掌握相关算法．
6．B
【分析】利用数轴得出
的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可．
【详解】∵由数轴可知，
，且
，
∴
，
∴
．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性．
7．B
【分析】直接利用二次根式的性质得出
的符号进而化简求出答案；
【详解】解：由题意可知
，
∴
，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
8．C
【分析】变形
，
，比较24，25，27的大小即可．
【详解】因为
，
，且24＜25＜27，
所以
即
，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次根式的大小比较，化成二次根式比较被开方数的大小是解题的关键．
9．D
【分析】当
时，
，当
时，
，把
代入
，求出
，再根据题意得出总和为
，再求出答案即可．
【详解】解：
，
当
时，
，
当
时，
；
当x=1时，
；
所以当x分别取1，2，3，…，2023时，所对应的y值的总和是
，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的性质与化简，数字变化类等知识点，能根据数据得出规律是解此题的关键．
10．A
【分析】根据三角形三边的关系和二次根式的性质进行化简求解即可．
【详解】解：∵
分别为
所对的边，
∴
，
∴原式
，
故选A．
【点拨】本题考查了三角形三边的关系和二次根式的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
11．1
【分析】把a=3代入二次根式，直接求解即可．
【详解】解：当a=3时，
=
=1．
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查二次根式求值，准确计算是解题的关键．
12．
【分析】根据二次根式的性质进行分析求值．
【详解】解：∵
是正整数，且最小的正整数是1，
∴当
，此时
，
∴
的最小值为
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查的是二次根式的定义和二次根式的化简，属于常考题型，熟练掌握二次根式的基本知识是解题的关键．
13．
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得：
，
解得：
．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
14．
【分析】根据已知可得
，然后利用平方根的意义，进行计算即可解答．
【详解】解：
，
，
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查了二次根式的性质，平方根，解题的关键是熟练掌握平方根的意义．
15．
【分析】将已知等式整理得
，由a，b为有理数，得到
，求出a，b的值，代入计算即可．
【详解】解：∵
，
∴
，
∵a，b为有理数，
∴
，
解得
，
∴
，
故答案为：
．
【点拨】此题考查了求二次根式中的参数，将已知等式整理后得到对应关系，由此求出a，b的值是解题的关键．
16．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可．
【详解】根据题意得，
解①得，
；
解②得，
；
∴
所以，
的取值范围是
，
故答案为：
【点拨】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
17．
【分析】根据等式的左边根号内整数部分为自然数
加上
，右边为
，据此即可求解．
【详解】解：∵第1个式子为：
，
第2个式子为：
，
第3个式子为：
，
……
∴第
个式子为：
．
故答案为：
．
【点拨】本题考查了二次根式的规律题，找到规律是解题的关键．
18．
【分析】先求出a、b、c的值，再代入所给的面积公式计算即可．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
，
，
∴
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查有理数的混合运算，二次根式的化简，根据比的性质，求出三角形各边长，再运用公式计算是解题的关键．
19．
【分析】根据算术平方根的性质和分式有意义的条件得出m的值，再计算出
的四次方根．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
的四次方根为
.
【点拨】本题考查了算术平方根的非负性和分式有意义的条件，以及求n次方根，解题的关键是通过解出m求得n的值.
20．（1）
；（2）
【分析】（1）先分别计算绝对值，算术平方根，0次幂，和负整数次幂，然后再进行有理数加减即可；（2）先化简绝对值和二次根式，然后在合并同类二次根式即可.
【详解】解：（1）原式=1-2+1+
=
；
（2）原式=
=
【点拨】本题是对实数混合运算的考查，熟练掌握绝对值，算术平方根，0次幂，负整数次幂及二次根式的化简是解决本题的关键，难度不大，注意计算的准确性.
21．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）化简二次根式，绝对值的性质，非零数的零次幂是1，由此即可求解；
（2）二次根式的乘法运算，约分即可求解；
（3）化简二次根式，合并同类项即可求解；
（4）根据积的乘方，平方差公式即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
【点拨】本题主要考查实数的混合运算，掌握绝对值的性质，二次根式的化简，非零数的零次幂，合并同类项等知识是解题的关键．
22．b
【分析】根据实数a、b在数轴上的位置可知，
，进而得出
，
，
，
，再根据绝对值的定义进行化简即可．
【详解】解：由实数a、b在数轴上的位置可知，
，
∴
，
，
，
，
∴
．
【点拨】本题考查二次根式的性质与化简，数轴表示数，由实数a、b在数轴上的位置判断
，
，
以及b的符号是正确解答的关键．
23．(1)
，
(2)±15
【分析】（1）先仿照题意求出a的值，进而求出b的值；
（2）根据（1）所求，代值求出
，进而求出求平方根
（1）
解：由题意得：
，
解得
，
∴
，
∴
；
（2）
解：∵
，
，
∴
，
∵225的平方根为±15，
∴
的平方根为±15．
【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，正确根据二次根式有意义的条件求出a、b的值是解题的关键．
24．（1）
；（2）
，
.理由见解析.
【分析】（1）根据阅读材料即可求解；
（2）根据阅读材料两边同时平方即可求解.
【详解】（1）
；
（2）
，
；
∵
，∴
，
∴
，
∴
，
.
【点拨】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式的运算法则.