专题1.2二次根式的乘除-重难点题型
【
知识点1
二次根式的乘除法则】
①二次根式的乘法法则：
；
②积的算术平方根：
；
③二次根式的除法法则：
；
④商的算术平方根：
.
【题型1 求字母的取值范围】
【例1】（召陵区期末）使
成立的x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x＞3 C．x≥2且x≠3 D．x≥3
【分析】根据被开方数大于或等于0，分母不等于0列出不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：根据题意得：
，
解得：x＞3，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题的关键是根据被开方数大于或等于0，分母不等于0列出不等式组．
【变式1-1】（黄浦区期中）若等式
成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．k
B．k＞3或k
C．k＞3 D．k≥3
【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：等式
成立，
则
，
解得：k＞3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
【变式1-2】（长兴县月考）根据二次根式的性质，若
•
，则a的取值范围是（ ）
A．a≤5 B．a≥0 C．0≤a≤5 D．a≥5
【分析】根据二次根式有意义的条件、二次根式乘除法法则解答即可．
【解答】解：由题意得，a≥0，5﹣a≥0，
解得，0≤a≤5，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则、二次根式有意义的条件是解题的关键．
【变式1-3】（岱岳区期中）若等式
成立，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣2 B．m≥2 C．﹣2≤m≤2 D．m≥4
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：∵等式
成立，
∴
，
解得：m≥2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式有意义的条件是解题关键．
【题型2二次根式乘除的运算】
【例2】（黄浦区期末）计算：
．
【分析】先把除法运算转化为乘法运算得到原式
2
，然后约分即可．
【解答】解：原式
2
＝1．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法：先把各二次根式化为最简二次根式，再把除法运算转化为乘法运算，然后约分．
【变式2-1】（闵行区校级月考）计算：
．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：
＝（1
4）
＝（1
）
＝10
．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘法法则，掌握二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
【变式2-2】（静安区月考）计算：
．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝8x2×3
＝24x2
＝24y2
．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
【变式2-3】（浦东新区月考）计算：
•（
）
（a＞0）．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式
．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确化简二次根式是解题关键．
【题型3二次根式的符号化简】
【例3】（荔湾区校级月考）把x
根号外的因式移到根号内，得（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用二次根式的性质得出x的符号，进而得出答案．
【解答】解：∵
有意义，
∴﹣x≥0，
∴x≤0，
∴原式
．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
【变式3-1】（龙口市期中）把a
根号外的因式移入根号内，运算结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
【解答】解：a
根号外的因式移到根号内，化简的结果是
，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的性质，注意化简后不能改变原数的大小．
【变式3-2】（柯桥区期中）把代数式（a﹣1）
中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次根式的概念和性质化简即可．
【解答】解：（a﹣1）
（1﹣a）
．
故选：A．
【点评】正确理解二次根式的性质与化简及概念是解决问题的关键．
【变式3-3】（西湖区校级月考）已知xy＜0，把代数式
中的x移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用二次根式的意义得到y＜0，x＞0，然后根据二次根式的性质得到
，从而约分即可．
【解答】解：∵
0，xy＜0，
∴y＜0，x＞0，
∴
．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：利用二次根式的基本性质进行化简；利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．也考查了二次根式有意义的条件．
【题型4最简二次根式的概念】
【
知识点2
最简二次根式】
我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【例4】（涪城区校级期中）在下列根式：5
，
，
，
中，最简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据最简二次根式的定义解答．
【解答】解：在5
，
，
，
中，最简二次根式有5
和
，共2个．
故选：B．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【变式4-1】（招远市期中）二次根式
、
、
、
、
中，最简二次根式有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：最简二次根式有
，
，共2个，
故选：B．
【点评】本考查了最简二次根式的定义，注意：最简二次根式具备两个条件：①被开方数的每一个因式都是整式，每个因数都是整数，②被开方数不含有能开得尽方的因式或因数．
【变式4-2】（江夏区校级月考）二次根式：
，2
，
，
，
，
，
，
，是最简二次根式的有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据最简二次根式的定义，同时满足①被开方数不含能开得尽方的因数，②被开方数不含分母，才是最简二次根式，进行选择即可．
【解答】解：
的被开方数中含有分母，所以不是最简二次根式；
2
，
，
，
符合最简二次根式的定义，所以它们是最简二次根式；
，
，二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数和因式，所以它们不是最简二次根式；
分母中含有二次根式，所以不是最简二次根式；
综上所述，上述二次根式中，属于最简二次根式的个数是4个．
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【变式4-3】（诸暨市月考）我们把形如
（a，b为有理数，
为最简二次根式）的数叫做
型无理数，如
1是
型无理数，则
是（ ）
A．
型无理数 B．
型无理数 C．
型无理数 D．
型无理数
【分析】将代数式化简即可判断．
【解答】解：（
）2
＝3﹣2
6
＝9﹣2
＝9﹣2×3
＝9﹣6
，
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练将代数式化简是解题的关键．
【题型5分母有理化】
【
知识点3
分母有理化】
①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母
组成平方差公式；
②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个
二次根式的有理化因式不止一个．
【例5】（雁塔区校级月考）若
，
，则（ ）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定
【分析】先把a、b分母有理化，再比较即可．
【解答】解：a
，
b
，
∵
2，
，
∴
，
∴a＜b，
故选：C．
【点评】本题考查了分母有理化，能正确把a、b分母有理化是解此题的关键．
【变式5-1】（九龙县期末）实数
的整数部分a＝ ，小数部分b＝ ．
【分析】将已知式子分母有理化后，先估算出
的大小即可得到已知式子的整数部分与小数部分．
【解答】解：
，
∵4＜7＜9，∴2
3，
∴
3，即实数
的整数部分a＝2，
则小数部分为
2
．
故答案为：2；
．
【点评】此题考查了分母有理化，以及估算无理数的大小，是一道中档题．
【变式5-2】（雨城区校级期中）比较大小：
（用＞，＜或＝填空）．
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，进而比较得出答案．
【解答】解：∵
，
，
，
∴
．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．
【变式5-3】（宝山区校级月考）分母有理化：
【分析】根据二次根式的性质以及运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式
【点评】本题考查分母有理数，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及运算法则，本题属于中等题型．
【题型6分母有理化的应用】
【例6】（云县期中）观察下列等式
等式一：
1；
等式二：
；
等式三：
；
……；
解决下列问题：
（1）化简：
；
（2）若有理数a、b满足
，求a+b的值．
【分析】（1）观察已知所给的等式即可进行化简；
（2）结合（1）先进行化简，再求a+b的值即可．
【解答】解：（1）化简：
，
观察已知等式可知：
原式
；
（2）因为
，
所以a（
1）+b（
1）＝2
1，
（a+b）﹣（a﹣b）＝2
1，
所以a+b＝2，a﹣b＝1，
答：a+b的值为2．
【点评】本题考查了分母有理化、平方差公式，解决本题的关键是掌握分母有理化．
【变式6-1】（沿河县期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如
，
，
一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
（1）请用不同的方法化简
；
（2）化简：
．
【分析】（1）分式的分子和分母都乘以
，即可求出答案；把2看出5﹣3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．
（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．
【解答】解：（1）
．
（2）原式
．
【点评】本题考查了分母有理化，平方差公式的应用，主要考查学生的计算和化简能力．
【变式6-2】（吴江区期中）像
2；
；
两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．
（1）
；
（2）
．
勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．
（3）化简：
．
解：设x
，易知
，∴x＞0．
由：x2＝3
2．解得x
．
即
．
请你解决下列问题：
（1）2
的有理化因式是 2
3
；
（2）化简：
；
（3）化简：
．
【分析】（1）找出原式的有理化因式即可；
（2）原式各式分母有理化，计算即可求出值；
（3）设x
，判断出x小于0，将左右两边平方求出x的值即可．
【解答】解：（1）2
3
的有理化因式是2
3
；
故答案为：2
3
；
（2）原式
1+2
3；
（3）设x
，可得
，即x＜0，
由题意得：x2＝6﹣3
6+3
2
12﹣6＝6，
解得：x
，
则原式
．
【点评】此题考查了分母有理化，无理数，平方差公式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式6-3】（梁平区期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：
．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较
和
的大小．可以先将它们分子有理化．如下：
，
．
因为
，所以
．
再例如：求y
的最大值．做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y
．
当x＝2时，分母
有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较3
4和2
的大小；
（2）求y
的最大值．
【分析】（1）利用分母有理化得到3
4
，2
，利用3
4＞2
可判断3
4＜2
；
（2）根据二次根式有意义的条件得到由1+x≥0，x≥0，则x≥0，利用分母有理化得到y
，由于x＝0时，
有最小值1，从而得到y的最大值．
【解答】解：（1）∵3
4
，
2
，
而3
2
，4
，
∴3
4＞2
，
∴3
4＜2
；
（2）由1+x≥0，x≥0得x≥0，
而y
，
∵x＝0时，
有最小值1，
∴y的最大值为1．
【点评】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式．