【324032】2024八年级数学下册 重点突围专题14 反比例函数与几何图形综合（含解析）（新版）浙

专题14反比例函数与几何图形综合

【考点一】反比例函数与三角形综合

例题：（全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y （k＞0）的图象上．

(1)求反比例函数的表达式；

(2)把△OAB向上平移得到△O'A'B'，当点B'恰好经过反比例函数图象时，求△OAB和△O'A'B'重叠部分的面积．

【答案】(1)y

(2)

【解析】

【分析】

（1）过点A作AH⊥OB于点H，利用等边三角形的性质可得出A点坐标，再用待定系数法求出函数解析式即可；

（2）先利用平移得出B′的横坐标，代入解析式求出纵坐标，即为CE的长，再利用AE＝CE得出EF为△AOB的中位线，即可求出重叠面积．

(1)

解：如图，过点A作AH⊥OB于点H，

∵△OAB是等边三角形，AH⊥OB，B（4，0），

∴C为OB中点，OA＝OB＝4，

∴OH OA＝2，

在Rt△AOH中，

AH²＝OA²﹣OH²，即

AH 2 ，

∴A（2，2 ），

将A（2，2 ）代入y 中，

可得：k＝4 ，

∴反比例函数解析式为： ．

(2)

如图，△OAB向上平移得到△O′A′B′，点B′在反比例函数上，O′B′分别交OA，AC，AB于点D，E，F，

∴B′的横坐标为4，

将x＝4代入y 中，得

y ，

∴B′（4， ），

∴△OAB向上平移了 ，

∴CE ，

∵AC＝2 ，

∴点E为AC中点，

∴DF为△OAB中位线，

∴DF OB＝2，

∴S_△ADF DF•AE 2 ，

∴△OAB和△O'A'B'重叠部分的面积为 ．

【点睛】

本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，掌握等边三角形的性质，平移的性质是解题的关键．

【变式训练】

1．（江西·一模）如图，点P为函数y＝ x+1与函数y＝ （x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．

(1)求m的值；

(2)点M是函数y＝ （x＞0）图象上一动点（不与P点重合），过点M作MD⊥AP于点D，若∠PMD＝45°，求点M的坐标．

【答案】(1)24

(2)（12,2）

【解析】

【分析】

（1）根据点P为函数y= x+1图象的点，点P的纵坐标为4，可以求得点P的坐标，进而求得m的值；

（2）设点D的坐标（a， a+1），根据∠PMD＝45°，构造一线三垂直模型，表示出M点坐标，最后根据M在y＝ 上列方程求解即可．注意分两种情况：点M在点P右侧，点M在点P左侧．

(1)

∵点P为函数y= x+1图象的点，点P的纵坐标为4，

∴4= x+1，解得：x=6，

∴点P（6，4），

∵点P为函数y= x+1与函数y= （x＞0）图象的交点，

∴4= ，

∴m=24；

(2)

由（1）可得反比例函数解析式为

∵∠PMD＝45°，MD⊥AP

∴△PDM是等腰直角三角形

∴DP=DM

过D作EF平行x轴，过P作PE⊥EF于E，过M作MF⊥EF于F，交x轴于N

∴

∴ (AAS)，

∴DE=FM，EP=DF

∵PB⊥x轴，

∴E、P、B三点共线

∴四边形EBNF是矩形

设点D的坐标（a， a+1）

当M在AP右边时，a>6，如图

∵点P（6，4）

∴

∴

∴

∴M的坐标为

∵M在 上

∴ ，解得 或 （舍去）

此时M点坐标为（12,2）

当M在AP左边时， ，如图

∵点P（6，4）

∴

∴

∴

∴M的坐标为

∵M在 上

∴ ，解得 （舍去）或 （舍去）

综上所述，M点坐标为（12,2）

【点睛】

本题考查一次函数和反比例函数图象和性质；熟练掌握用待定系数法求函数的表达式，利用45°构造辅助线解题是关键．

2．（河南南阳·一模）如图，已知在平面直角坐标系中，点 在反比例函数 的图象上，过点B作 轴于点A，连接 ，将 向右平移，得到 交双曲线于点 ．

(1)求k，a的值；

(2)求 向右平移的距离；

(3)连接 ，则 的面积为____________．

【答案】(1)k=12，a=2

(2)

(3)9

【解析】

【分析】

（1）把点B的坐标代入到反比例函数解析式求出反比例函数解析式即可求出k、a的值；

（2）先求出直线OB的解析式，从而求出OB上与点C对应点的坐标，即可求出平移距离；

（3）根据 进行求解即可．

(1)

解：∵点 在反比例函数 的图象上，

∴ ，

∴反比例函数解析式为 ；

∵点 在反比例函数图象上，

∴ ，

解得 或 （舍去）；

(2)

解：设直线OB的解析式为 ，

∴ ，

∴ ，

∴直线OB的解析式为 ，

由（1）得点C的坐标为（6，2），

∴OB上与点C对应的点的纵坐标为2，

∴OB上与点C对应的点的横坐标为 ，

∴平移距离为 ；

(3)

解：如图所示，过点C作CD⊥x轴于点D，

∵B（3，4），C（6，2），

∴OA=3，AB=4，OD=6，CD=2，

∴AD=3

∵B、C都在反比例函数图象上，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数与几何综合，一次函数与几何综合，图形的平移等等，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键．

3．（山东聊城·二模）已知点 为函数 （ ）图象上任意一点，连接 并延长至点 ，使 ，过点 作 轴交函数图象于点 ，连接 ．

(1)如图1，若点 的坐标为 ，求 及点 的坐标；

(2)如图2，过点 作 ，垂足为 ，求四边形 的面积．

【答案】(1)

(2)4

【解析】

【分析】

（1）先由反比例函数解析式求出A点坐标，再由中点坐标公式求得B点坐标，由于 轴，得到点B和点C的纵坐标相同，从而得到点C的纵坐标，再由反比例函数解析式求出点C的横坐标，即可解决；

（2）设出A点坐标，由 得到B点坐标，由于 轴， ，可以得到 轴，由此写出点D坐标，由于 轴，且点C在图象上，求出点C的坐标，故可以得到BC和BD的长度，进而求得 和 的面积，进而求解．

(1)

解：将点 坐标代入到反比例函数 中得，

，

∴ ，

∴点 的坐标为 ．

∵ ， ，

∴点 的坐标为 ．

∵ 轴，

∴点 的纵坐标为2，

令 ，

则 ，

∴ ，

∴点 的坐标为 ；

(2)

解：设 ．

∵ ，

∴点 的坐标为 ．

∵ 轴，

∴ 轴，

又∵ ，

∴ 轴，

∴点 的坐标为 ．

∵ 轴，且点 在函数图象上，

∴

∵ ，

．

∴四边形 的面积为 ．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解决本题的关键．

【考点二】反比例函数与平行四边形综合

例题：（辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与反比例函数 的图象交于点 ， 是 轴正半轴上的一个动点，且四边形 是平行四边形．

(1)求 和 的值；

(2)若点 落在反比例函数 的图象上，则边 的长为________；

(3)当 的中点落在反比例函数的图象上时， 的面积是________．

【答案】(1) ，

(2)

(3)10

【解析】

【分析】

（1）先将点 代入一次函数解析式，求出一次函数解析式；再将点 代入一次函数解析式得到m的值；最后将点 代入反比例函数解析式求出k的值；

（2）根据四边形 是平行四边形，可得由A到B的平移方式与由D到C的平移方式相同，用含n的代数式表示出点C的坐标，代入反比例函数解析式求出n的值，利用勾股定理求出AD的长度即可求解；

（3）用含n的代数式表示出AC中点的坐标，代入反比例函数解析式求出n的值，利用割补法即可求出面积．

(1)

将点 代入一次函数解析式，可得 ，

解得， ，即一次函数解析式为 ；

将点 代入一次函数解析式，可得 ；

将点 代入反比例函数解析式，可得 ；

(2)

∵四边形 是平行四边形，

∴由A到B的平移方式与由D到C的平移方式相同，

∵ ， ， ，

∴ ，

∵点 落在反比例函数 的图象上，

∴ ，即 ，

∴此时 ，

∴ ；

故答案为： ．

(3)

∵四边形 是平行四边形，

∴由A到B的平移方式与由D到C的平移方式相同，

∵ ， ， ，

∴ ，

∴AC的中点为 ，

∵ 的中点落在反比例函数的图象上，

∴ ，解得 ，

此时 ， ，

根据割补法可得 ．

故答案为：10．

【点睛】

本题考查一次函数与反比例函数综合、平行四边形的性质、割补法求面积，通过两函数图象的交点即可找到两个函数之间的联系．

【变式训练】

1．（全国·九年级专题练习）如图，平行四边形OABC的顶点A，C都在反比例函数y （k＞0）的图象上，已知点B的坐标为（8，4），点C的横坐标为2．

(1)求反比例函数y （k＞0）的解析式；

(2)求平行四边形OABC的面积S．

【答案】(1)y

(2)16

【解析】

【分析】

（1）根据题意C（2， ），利用平行四边形的性质得到A（6，4 ），代入y （k＞0）即可求得k＝6；

（2）作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，则S_△COD＝S_△AOE |k|，利用S＝S_△COD+S_梯形BCDF﹣S_△AOE﹣S_梯形AEFB＝S_梯形BCDF﹣S_梯形AEFB即可求得．

(1)

解：∵平行四边形OABC的顶点A，C都在反比例函数y （k＞0）的图象上，点C的横坐标为2，

∴C（2， ），

∵点B的坐标为（8，4），

∴A（6，4 ），

∴ ，

解得k＝6，

∴反比例函数的解析式为y ．

(2)

作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，则S_△COD＝S_△AOE |k|，

∵k＝6，

∴C（2，3），A（6，1），B（8，4），

∴CD＝3，AE＝1，BF＝4，

∴S＝S_△COD+S_梯形BCDF﹣S_△AOE﹣S_梯形AEFB

＝S_梯形BCDF﹣S_梯形AEFB

（3+4）（8﹣2） （1+4）（8﹣6）

＝21﹣5

＝16

【点睛】

本题主要考查了反比例函数的意义，反比例函数图象上点的坐标特征，以及平行四边形的性质．掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键．

2．（广东肇庆·二模）如图，平行四边形 的顶点 在 轴的正半轴上，点 在对角线 上，反比例函数 （ ， ）的图象经过 、 两点．

(1)求直线 的解析式；

(2)若点 的坐标为 ，求平行四边形 的面积．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据待定系数法直接求解析式；

（2）根据解析式求出B、C的坐标，进行求解即可．

(1)

设 的解析式为 ，

∵ 经过点 ，则

∴ ，

∴ 的解析式为

(2)

∵点 的坐标为 ，代入 得：

∴点 纵坐标为3，设

∵反比例函数 （ ， ）的图象经过点 、 ，

∴ ，∴

∴

【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键．

3．（江西萍乡·一模）如图，已知平行四边形 的对角线相交于点 ，其中 ，反比例函数 的图象经过点 ．

(1)求 的值；

(2)若点 恰好落在反比例函数 的图象上，求平行四边形 的面积；

(3)当 时，判断反比例函数 的图象是否经过 的中点，若经过，请说明理由，若不经过，求出 与反比例函数图象的交点坐标．

【答案】(1)

(2)平行四边形 的面积为144

(3)反比例函数的图象经过 的中点；理由见解析

【解析】

【分析】

（1）把B点坐标代入反比例函数解析式可求得k的值；

（2）由平行四边形的性质可用m表示出D点的坐标，从而可表示用m表示出E点的坐标，代入反比例函数解析式可求得m的值，则可求得C点坐标，再利用平行四边形的面积进行计算即可；

（3）由（2）可求得D点坐标，从而可求得CD的中点坐标，代入反比例函数解析式进行判断即可．

(1)

解：将点 代入 ，得 ．

(2)

过点 作 于 ，过点 作 于 ，如图所示：

∵ ， ， ，

∴ ，

∴ ， ，

过点 作 于 ，

∵ ， ，

∴ ， ，

∴点 的坐标为 ，代入 ，得： ，

所以，平行四边形 的面积为 ．

(3)

∵四边形 平行四边形， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

设 的中点为 ，过点 作 轴于点 ，

∴ ， ，

∴ 的中点 ，

∵当 时， ，

∴反比例函数的图象经过 的中点．

【点睛】

本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、中点的求法及方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用m表示出E点的坐标是解题的关键，在（3）中求得C、D两点的坐标是解题的关键．

【考点三】反比例函数与矩形综合

例题：（黑龙江·肇东市第十一中学校一模）如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝ （k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在y轴的右侧，且满足S_△PCO＝ S_矩形OABC．

(1)若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；

(2)连接PO、PC，求PO+PC的最小值；

(3)若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．

【答案】(1)(3，4)

(2)

(3) 或 或 或

【解析】

【分析】

（1）首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的横坐标为m(m>0)，根据 ，构建方程即可解决问题；

（2）取点F（6，0），连接FP，CF，则O、F关于直线 对称，由（1）知，点P的横坐标为3，即点P在直线 上，故PC+PO=PF+PC，则当C、P、F三点共线时，PF+PC即PC+PO有最小值，最小值即为CF，由此求解即可；

（3）分当BP为以B、C、P、Q为顶点的四边形的边时，当BP为以B、C、P、Q为顶点的四边形的对角线时，两种情况利用菱形的性质求解即可；

(1)

解：∵四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，

∴点B的坐标为(4，3)，

∵点B在反比例函数 的第一象限内的图象上

∴k=12，

∴反比例函数解析式为y= ，

设点P的横坐标为m(m>0)，

∵ ．

∴ ，

∴ ，

当点，P在这个反比例函数图象上时，则 ，

∴点P的坐标为(3，4)．

(2)

解：取点F（6，0），连接FP，CF，

∴O、F关于直线 对称，

由（1）知，点P的横坐标为3，

∴点P在直线 上，

∴PF=PO，

∴PC+PO=PF+PC，

∴当C、P、F三点共线时，PF+PC即PC+PO有最小值，最小值即为CF，

∴PO+PC的最小值=PF+PC=CF= ；

(3)

解：设点Q的坐标为（m，n），点P的坐标为（3，t）

如图3-1所示，当BP为以B、C、P、Q为顶点的四边形的边时，由菱形的性质可知PB=BC=4，

∴ ，

∴ 或 ，

∴点P的坐标为 或 ，

∴点Q的坐标为 或 ；

如图3-2所示，当BP为以B、C、P、Q为顶点的四边形的对角线时，由菱形的性质可知PC=BC=4，

∴ ，

∴ 或 ，

∴点P的坐标为 或 ，

∴同理可得点Q的坐标为 或 ；

综上所述，点Q的坐标为 或 或 或

.

【点睛】

此题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数图象上点的坐标特点，菱形的性质，矩形的性质，已知两点坐标求两点距离，轴对称最短路径问题等等，解题关键在于作辅助线和分情况讨论．

【变式训练】

1．（河南濮阳·一模）如图，矩形ABCD放置在平面直角坐标系中，点A、点B在x轴的正半轴上，且 单位长， 单位长（单位长指坐标长度），反比例函数 与AD、BC分别相交于点E、F．

(1)若点A的横坐标为2，且E是AD的中点，求k；

(2)在（1）确定的反比例函数关系式下，推动矩形ABCD在x轴的正半轴上移动，当 时，求点A的坐标．

【答案】(1)

(2)点A的坐标为

【解析】

【分析】

（1）先根据矩形的性质得到AD=6，从而求出点E的坐标，把点E的坐标代入到反比例函数解析式求解即可；

（2）设点A的坐标为 ，则点B的坐标为 ，点E的坐标为 ，点F的坐标为 ，再根据 列出式子求解即可．

(1)

解：∵四边形ABCD是矩形， ，

∴ ．

∵E是AD的中点，

∴ ．

∵点A的横坐标为2，

∴ ．

将 代入 得： ．

(2)

解：设点A的坐标为 ，则点B的坐标为 ，点E的坐标为 ，点F的坐标为 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

解得： 或 （不符合题意，舍去）

经检验， 是所列方程的根．

∴点A的坐标为 ．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，正确理解题意是解题的关键．

2．（浙江湖州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与反比例函数y＝ （x＞0）的图象相交于点A（3，a）和点B（b，3），点D，C分别是x轴和y轴的正半轴上的动点，且满足CD∥AB．

(1)求a，b的值及反比例函数的解析式；

(2)若OD＝1，求点C的坐标，判断四边形ABCD的形状并说明理由；

(3)若点M是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的一个动点，当△AMD是以AM为直角边的等腰直角三角形时，求点M的坐标．

【答案】(1)a＝2，b＝3，

(2)平行四边形ABCD是矩形，见解析

(3)（5，1.2），

【解析】

【分析】

（1）把A和B分别代入y＝﹣x+5，得：a＝2，b＝3，再把A（3，2）代入 ，得：k＝6，故反比例函数解析式为 ；

（2）由于CD∥AB，可设CD的解析式为y＝﹣x+m，由OD＝1得D的坐标为（1，0），将D代入直接CD解析式得：y＝﹣x+1，得C的坐标为（0，1），由A，B，C，D可算出 ，由AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形，过点B作BE⊥y轴于点E得E，由△BEC和△COD都等腰直角三角形证出∠BCD＝90°，即可得平行四边形ABCD是矩形；

（3）分∠MAD＝90°或∠AMD＝90°两种情况计算，当∠MAD＝90°时，通过作辅助线构造△MAQ≌△ADP得PD＝AQ＝2，QM＝AP，设M的坐标为（5，n），由M在反比例函数得5n＝6，得n＝1.2，得M（5，1.2）；当∠AMD＝90°时，同理可求．

(1)

把A（3，a）和B（2，b）分别代入y＝﹣x+5，

得：a＝2，b＝3，

把A（3，2）代入 ，得：k＝6，

∴反比例函数解析式为 ；

(2)

∵CD∥AB，

∴设CD的解析式为y＝﹣x+m，

∵OD＝1，D在x轴的正半轴上，

∴D的坐标为（1，0），

∴-1+m=0，得m=1，

∴直线CD的解析式是y=-x+1，

当x=0时，y＝﹣x+1=1，

∴C的坐标为（0，1），

以点A、B、C、D构成的四边形是矩形，理由如下：

∵A（3，2），B（2，3），C（0，1），D（1，0），

∴ ，

又∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

如图，过点B作BE⊥y轴于点E，则E（0，3），

∴BE＝CE＝2，

∴△BEC和△COD都等腰直角三角形，

∴∠ECB＝∠OCD＝45°，

∴∠BCD＝90°，

∴平行四边形ABCD是矩形；

(3)

①当∠MAD＝90°时，

过点A作直线l∥x轴，过点M作MQ⊥直线l于点Q，过点D作DP⊥直线l于点P，

∵∠MAD＝90°，

∴∠MAQ+∠PAD＝90°，

∵DP⊥直线l于点P，

∴∠PAD+∠PDA＝90°，

∴∠AQM＝∠PDA，

在△MAQ与△ADP中，

，

∴△MAQ≌△ADP（AAS），

∴PD＝AQ＝2，QM＝AP，

设M的坐标为（5，n），

∴5n＝6，则n＝1.2，

∴M（5，1.2）；

②当∠AMD＝90°时，同理，过点M作直线l∥y轴，过点A作AP⊥直线l于点P，过点D作DQ⊥直线l于点Q，

可得：△MAP≌△DMQ，

∴PM＝DQ，QM＝AP，

设M的坐标为（3+n，n），

∴n（3+n）＝6，

解得： ， （舍去），

∴ ，

综上所述：M的坐标为（5，1.2）， ．

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何图形综合，矩形的判定，全等三角形的性质与判定，掌握反比例函数的性质是解题的关键．

3．（江苏·景山中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（8，0）、B（0，6）是矩形OACB的两个顶点，双曲线y＝ （k≠0，x＞0）经过AC的中点D，点E是矩形OACB与双曲线y＝ 的另一个交点．

(1)点D的坐标为______，点E的坐标为______；

(2)动点P在第一象限内，且满足S△PBO＝ S△ODE．

①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；

②若点Q是平面内一点，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．

【答案】(1)（8，3），（4，6）

(2)①P的坐标为（5， ）；②Q₁（5，-3 ），Q₂（5，3 ），Q₃（5，6+3 ），Q₄（11，3）

【解析】

【分析】

（1）先求得C（8，6），再根据中点坐标公式可得点D的坐标为（8，3），根据待定系数法可求双曲线y= 的解析式，把y=6代入双曲线y= 的解析式，即可求得点E的坐标；

（2）①设点P的横坐标为m，则S_△PBO= BO•m=3m，根据S_△ODE=S_梯形EOAC-S_△CDE-S_△ODA，求出S_△ODE，再根据S_△PBO= S_△ODE，得到关于m的方程，解方程求出m，进一步求出点P的坐标；

②根据两点间的距离公式和菱形的性质即可求解．

(1)

∵在平面直角坐标系中，A(8，0)、B(0，6)是矩形OACB的两个顶点，

∴C(8，6)，

∵D是AC的中点，

∴点D的坐标为：(8，3)，

依题意有：3= ，

解得：k=24．

故双曲线：y= ，

当y=6时，6= ，

解得x=4．

故点E的坐标为(4，6)；

(2)

①设点P的横坐标为m，则 ，

∵ ，

因为 ，

∴ ，所以 ，

∴ .

又∵点 在双曲线 上，

∴ ，

②设P点坐标为(5，p)时，P点在第一象限，则p＞0，

当点P在点Q的上方时，

∵PC=AC，

∴(5-8)²+(p-6)²=6²，

解得p=6±3 ，

6±3 -6=±3 ，

则Q₁(5，3 )，Q₂(5，-3 )；

当点P在点Q的下方时，

∵PA=AC，

∴(5-8)²+(p-0)²=6²，

解得p=±3 （负值舍去）

∴Q₃(5，6+3 )；

当P点坐标为(5，3)时，由对称性知Q₄(11，3)．

综上所述，Q₁（5，-3 ），Q₂（5，3 ），Q₃（5，6+3 ），Q₄（11，3）

【点睛】

此题是反比例函数综合题，涉及待定系数法，三角形面积计算，两点间的距离公式，矩形的性质和菱形的性质，一元二次方程的解法等知识点，有一定的难度．

【考点四】反比例函数与菱形综合

例题：（安徽亳州·九年级期末）如图，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，点B的坐标为 ．

(1)求此菱形的边长；

(2)若反比例函数 的图象经过点A，并且与BC边相交于点D，求点D的坐标．

【答案】(1)菱形的边长为5；

(2)点D坐标为（ ， ）．

【解析】

【分析】

（1）过点B作BE⊥x轴于点E，设菱形的边长为x，则CE=8-x，BE=4，根据勾股定理求出x的值；

（2）由（1）可得出A点坐标，可求得反比例函数的解析式，求出直线CB的解析式与反比例函数的解析式列出方程组，解方程组即可求得交点D的坐标．

(1)

解：如图，

点B作BE⊥x轴于点E，设菱形的边长为x，

∵B（8，4），

∴CE=8-x，BE=4，

在Rt△CBE中，CB²=CE²+BE²，

即x²=（8-x）²+4²，解得x=5，

∴菱形的边长为5；

(2)

解：∵菱形的边长为5，

∴A（3，4），

∴k=3×4=12，反比例函数解析式为y= ．

（2）∵点C（5，0），B（8，4），

设直线CB的解析式为y=kx+b，

则 ，

解得 ，

∴直线CB的解析式为： ，

由

解得 或 （不合题意，舍去），

∴点D坐标为（ ， ）．

【点睛】

本题考查的是菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，熟知菱形的性质，反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键，学会用解方程组的思想求交点坐标的方法．

【变式训练】

1．（河南漯河·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOD的顶点O与坐标原点重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，点D的坐标为(8，6)．

(1)求反比例函数的表达式；

(2)E是x轴正半轴上的动点，过点E作x轴的垂线交线段OA于点M，交双曲线于点P，在E点运动过程中，M点正好是线段EP中点时，求点E的坐标．

【答案】(1)y= ；

(2)E(4 ，0)

【解析】

【分析】

（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，由点D的坐标为（8，6），得到OF=8，DF=6，求得点A坐标为（8，16），于是得到结论；

（2）求得OA的表达式为y=2x，设E点坐标为（m，0），则M点坐标（m，2m），F点坐标(m， )，得到P（m，4m），根据题意列方程即可得到结论．

(1)

解：过点D作x轴的垂线，垂足为F，

∵四边形ABOD是菱形，

∴AD∥BO，

∴A、D、O在同一直线上，

∵点D的坐标为（8，6），

∴OF=8，DF=6，

∴OD=10，

∴AD=10，

∴点A坐标为（8，16），

∴k=xy=8×16=128，

∴反比例函数表达式为y= ；

(2)

解：∵点A坐标为（8，16），

∴OA的表达式为y=2x，

设E点坐标为（m，0），则M点坐标（m，2m），F点坐标（8，0），

∵M点正好是线段EP中点，

∴P（m，4m），

∴ ，

解得：m=4 或m=−4 (不合题意，舍去)，

∴E(4 ，0)．

【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，菱形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

2．（江西吉安·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的AB边在y轴上，AC平行于x轴，点C的坐标为 ，AB=3，将△ABC向右下方平移，得到△DEF，若点D落在反比例函数 的图象上，点E落在x轴上， ．

(1)求k的值和平移的距离；

(2)求线段BC扫过的面积．

【答案】(1) 平移距离为5

(2)24

【解析】

【分析】

（1）先求解BC的解析式，再利用平移的性质求解OD的解析式，再求解D的坐标，即可求解k的值，再求解A的坐标，利用勾股定理求解平远距离即可；

（2）如图，连接 再利用平移的性质结合点的坐标证明 共线， 共线，可得 再利用菱形的面积公式计算即可.

(1)

解： ，AB=3，

设BC为

解得：

所以BC为

且 过原点，

OD为

则

所以反比例函数为：

AC平行于x轴，点C的坐标为 ，

所以平移距离为：

(2)

如图，连接

而

共线， 共线，

由平移的性质可得：

所以四边形BEFC为菱形，

所以BC扫过的面积为：

【点睛】

本题考查的是平移的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，反比例函数的解析式，菱形的判定与性质，灵活的运用以上知识是解本题的关键.

3．（浙江温州·二模）如图：在平面直角坐标系中，菱形 的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为 ，直线 ： 与双曲线； 交于C， 两点．

(1)求双曲线 的函数关系式及m的值；

(2)判断点B是否在双曲线上，并说明理由；

【答案】(1)双曲线 的函数关系式为 ，

(2)点 在双曲线上，理由见解答

【解析】

【分析】

（1）因为点 在双曲线 上，所以代入 点坐标即可求出双曲线 的函数关系式，又因为点 在 双曲线上，代入即可求出 的值；

（2）先求出点 的坐标，判断即可得出结论．

(1)

解：将点 代入 中，得 ，

反比例函数的解析式为 ，

将点 代入 中，得 ；

(2)

解：因为四边形 是菱形， ， ，

， ，

，

由（1）知双曲线的解析式为 ；

，

点 在双曲线上．

【点睛】

此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，解题的关键是用 表示出点 的坐标．

【考点五】反比例函数与正方形综合

例题：（广东·湖景中学一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的两个顶点A、B分别在双曲线 和 的一支上，点A的坐标为 ．

(1)求两个双曲线的解析式；

(2)双曲线 与正方形的边OC交于点D，求点D的坐标．

【答案】(1) ， ；

(2)

【解析】

【分析】

（1）连接OB，先由点A 可求出k₁=12；再根据正方形的性质可得 ， ，然后设点B（x，y），可得 ，从而求出点B的坐标，即可求解；

（2）先求出直线AB的解析式，可得直线OC的解析式为 ，可设点D（m， ），再根据双曲线 经过点D，求出m，即可求解．

(1)

解：如图，连接OB，

∵点A 在双曲线 上，

∴ ，解得：k₁=12，

∴点A所在的函数解析式为 ；

∵点A的坐标为 ，

∴ ，

∵四边形OABC是正方形，

∴ ，

∴ ，

设点B（x，y），则x＜0，y＞0，

∴ ，解得： ，

∴点B（-1，7），

∵点B在双曲线 上，

∴ ，解得： ，

∴点B所在的双曲线的解析式为 ；

(2)

解：设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），

把点A ，B（-1，7）代入得：

，解得： ，

∴直线AB的解析式为 ，

∵OC∥AB，

∴直线OC的解析式为 ，

设点D（m， ），

∵双曲线 经过点D，

∴ ，解得： 或 （舍去），

∴点D的坐标为 ．

【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，两点间的距离公式，正方形的性质，函数图象上点的坐标特征，函数解析式平移的规律，难度适中，求出B点坐标是解决第（1）小题的关键；设点D的坐标为（m， ），，列出关于m的方程是解决第（2）小题的关键．

【变式训练】

1．（福建·莆田第七中学九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，点A坐标为 ，点M是AB的中点，反比例函数 的图象经过点M，交CD于点N．

(1)求反比例函数的表达式；

(2)若反比例函数图象上的一个动点 在正方形ABCD的内部（含边界），求 面积的最小值．

【答案】(1)y=

(2)2

【解析】

【分析】

（1）先确定点M的坐标，再把点M点的坐标代入y= 中求出k得到反比例函数解析式；

（2）利用正方形的性质确定点C的坐标为（6，0），再利用反比例函数解析式确定点N的坐标为（6， ），利用反比例函数的性质得到当m=6时，n有最小值 ，然后计算出△POC面积的最小值．

(1)

∵点A坐标为（2，4），

∴OB=2，AB=4，

∵M是AB的中点，

∴点M的坐标是（2，2），

把点M（2，2）代入y= 得k=2×2=4，

∴反比例函数解析式为y= ；

(2)

∵四边形ABCD是正方形，点A的坐标是（2，4），

∴点C的坐标是（6，0），

当x=6时，y= ；

∴点N的坐标是（6， ），

∵反比例函数y= 图象上的动点P（m，n）在正方形ABCD的内部（含边界），

∴n随m的增大而减少，且2≤m≤6，

∴当m=6时，n有最小值 ，

∴△POC面积的最小值为 =2．

【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y= （k为常数，k≠0），然后把一个已知点的坐标代入求出k得到反比例函数解析式．也考查了反比例函数的性质和正方形的性质．

2．（河南·淅川县基础教育教学研究室一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为正方形，D为边BC上一点， ．反比例函数 的图象经过点B，反比例函数 的图象经过点D，与AB交于点E，连接OD，OE，DE．

(1)求k的值．

(2)求 的面积．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据反比例函数 的几何意义求出点 的坐标，在求出点 ，代入 求出k；

（2）求出点E坐标，用 进行计算；

(1)

反比例函数 图象过点 ，

，

，

，

， ，

反比例函数 图象过点 ，

；

(2)

设 ，

点E在 图象上，

，

即 ，

．

【点睛】

本题考查反比例函数的几何意义，反比例函数 图象上任意一点做x轴、y轴的垂线，组成的长方形的面积等于 ，灵活运用几何意义是解题关键．

3．（山东济南·一模）如图，四边形AOBC是的正方形，D为BC中点，以O为坐标原点，OA，OB所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，A点坐标（0，4），过点D的反比例函数y＝ (k≠0)的图象与边AC交于E点，F是线段OB上的一动点．

备用图

(1)求k的值并直接写出点E的坐标；

(2)若AD平分∠CAF，求出F点的坐标；

(3)若△AFD的面积为S₁，△AFO的面积为S₂．若S₁：S₂=3：2，判断四边形AEFO的形状．并说明理由．

【答案】(1)k＝8，E（2，4）

(2)（3，0）

(3)四边形AOFE是矩形，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）求出点D坐标，进而可得k的值，然后根据反比例函数图象上点的坐标特点求出点E的坐标；

（2）延长AD交x轴于G点，证明△BDG ≌△CDA（AAS），求出OG＝8，然后设OF＝m，则AF＝FG＝8－m，在Rt△OAF中根据勾股定理列方程求出m即可；

（3）设△AFG的面积的为s₃，可得s₃＝2s₁，进而可得s₃：s₂＝3：1，则FG：FO＝3：1，求出FO，根据矩形的判定定理可得结论．

(1)

解：∵A点坐标（0，4），

∴C点坐标（4，4），

∵D为BC中点，

∴D点坐标（4，2），

∴k＝4×2＝8，

∴反比例函数解析式为y＝ ，

当y＝ 时，x＝2，

∴E（2，4）；

(2)

解：延长AD交x轴于G点，如图1，

∵AC∥OB，

∴∠DAC＝∠BGD，

又∵CD＝BD，∠C＝∠DBG＝90°，

∴△BDG ≌△CDA（AAS），

∴BG＝AC＝4，

∴OG＝OB＋BG＝8，

∵DA平分∠CAF，

∴∠CAD＝∠GAF，

∴∠GAF＝∠DGB，

∴AF＝FG，

设OF＝m，则AF＝FG＝8－m，

∵OA²＋OF²＝AF²，

∴4²＋m²＝（8－m）²，

∴m＝3   

∴F点的坐标为（3，0）；

(3)

解：四边形AEFO是矩形．

理由：如图1，设△AFG的面积的为s₃，

∵AD＝DG，

∴s₃＝2s₁，

∵S₁：S₂＝3：2，

∴s₃：s₂＝3：1，

∴FG：FO＝3：1，

∵OG＝8，

∴FO＝ OG＝2，

∵AE＝2，

∴FO＝AE，

又∵FO∥AE，

∴四边形AEFO是平行四边形，

∵∠AOF＝90°，

∴四边形AEFO是矩形．

【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定以及矩形的判定等知识，通过作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．