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【324031】2024八年级数学下册 重点突围专题13 反比例函数的定义、图像与性质(含解析)(新版

时间:2025-01-15 21:32:11 作者: 字数:27560字
简介:


专题13反比例函数的定义、图像与性质

【考点一】反比例函数的定义

例题:(黑龙江·鸡西市第一中学校九年级期末)已知函数Shape1 是关于Shape2 的反比例函数,则实数Shape3 的值是________

【答案】2

【解析】

【分析】

根据反比函数的定义得出Shape4 Shape5 ,计算即可得出结论.

【详解】

解:∵函数Shape6 是关于Shape7 的反比例函数,

Shape8 Shape9

m2或﹣2,且Shape10

m2

故答案为:2

【点睛】

本题考查了反比例函数的定义,判断一个函数是否是反比例函数,首先看看两个变量是否具有反比例关系,然后根据反比例函数的意义去判断,其形式为Shape11 k为常数,k≠0)或Shape12 k为常数,k≠0).

【变式训练】

1.(四川省隆昌市第一中学八年级阶段练习)若Shape13 是反比例函数,则m的值为___________

【答案】-1

【解析】

【分析】

根据反比例函数的定义得到m−1≠0|m|1,然后解不等式和方程即可求出满足条件的m的值.

【详解】

解:根据题意得m−1≠0|m|1

解得m=−1

故答案为:-1

【点睛】

本题考查了反比例函数:函数yShape14 k0)称为yx的反比例函数.

2.(甘肃·古浪县第六中学九年级阶段练习)已知反比例函数Shape15 ,则m=_____,函数的表达式是_____

【答案】     ﹣1     yShape16

【解析】

【分析】

根据反比例函数的定义.即yShape17 k≠0),只需令m2﹣2=﹣1m﹣1≠0即可.

【详解】

解:依题意有m2﹣2=﹣1且(m﹣1)≠0,所以m=﹣1函数的表达式是yShape18

故答案为:﹣1yShape19

【点睛】

本题考查了反比例函数的定义,重点是将一般式Shape20 k≠0)转化为ykx1k≠0)的形式.

3.(甘肃·平川区四中九年级阶段练习)若y=(4﹣2aShape21 是反比例函数,则a的值是________

【答案】-2

【解析】

【分析】

根据反比例函数的定义直接解答即可.

【详解】

解:∵若y=(4﹣2aShape22 是反比例函数,

a2-5=-1

解得,a2=4

a=±2

4﹣2a≠0

a≠2

a=-2

故答案为-2

【点睛】

本题考查了反比例函数的定义,直接开平方法解方程,解题的关键是掌握y=kShape23 k≠0)是反比例函数.

4.(湖南岳阳·九年级期末)函数y=(m+1Shape24 y关于x的反比例函数,则m_____

【答案】2

【解析】

【分析】

根据反比例函数的一般形式得到Shape25 m+1≠0,由此来求m的值即可.

【详解】

解:∵函数y=(m+1Shape26 y关于x的反比例函数,

Shape27 m+1≠0

解得:Shape28

故答案为:2

【点睛】

本题考查了反比例函数的定义,反比例函数的一般形式是Shape29 k≠0).

5.(全国·九年级专题练习)函数①Shape30 ;②Shape31 ;③Shape32 Shape33 ;⑤Shape34 ;⑥Shape35 ;⑦Shape36 和⑧Shape37 中,是y关于x的反比例函数的有:__________(填序号).

【答案】②③⑧

【解析】

【分析】

根据反比例函数的定义:形如Shape38 的函数,由此可直接进行求解.

【详解】

解:由题意得:

函数①Shape39 ;②Shape40 ;③Shape41 Shape42 ;⑤Shape43 ;⑥Shape44 ;⑦Shape45 和⑧Shape46 中,是y关于x的反比例函数的有②③⑧;

故答案为②③⑧.

【点睛】

本题主要考查反比例函数的概念,熟练掌握反比例函数的概念是解题的关键.

6.(广西贺州·九年级期末)当m取何值时,Shape47 是关于x的反比例函数?

【答案】-1

【解析】

【分析】

根据反比例函数的定义即可求解.

【详解】

Shape48 是关于x的反比例函数,

Shape49

解得Shape50

Shape51

故答案为:-1

【点睛】

本题考查了反比例函数的定义,关键要注意x的指数为-1,系数不等于0要同时成立.


考点二反比例函数的图像与性质

例题:(湖南张家界·九年级期末)关于反比例函数Shape52 的图象,下列说法正确的是(       

A.点Shape53 在它的图象上 B.它的图象经过原点

C.它的图象在第一、三象限 D.当Shape54 时,yx的增大而增大

【答案】C

【解析】

【分析】

反比例函数Shape55 ,图象分布于一、三象限,在每个象限内,yx的增大而减小,据此解答即可.

【详解】

解:A.当Shape56 时,Shape57 ,即点Shape58 不在它的图象上,故A错误;

B.反比例函数Shape59 不经过原点,故B错误;

C.反比例函数Shape60 ,图象分布于一、三象限,故C正确;

D.当Shape61 时,yx的增大而减小,故D错误,

故选:C

【点睛】

本题考查反比例函数的图象与性质,是基础考点,掌握相关知识是解题关键.

【变式训练】

1.(四川达州·九年级期末)对于反比例函数Shape62 ,下列说法不正确的是(       

A.图象必经过Shape63 B.在每一个象限内Shape64 Shape65 的增大而增大

C.图象在第二四象限内 D.若Shape66 时,则Shape67

【答案】D

【解析】

【分析】

根据反比例函数的性质依次判断.

【详解】

解:当x=-1时,y=2,故A正确;

k=-2<0,∴在每个象限内,y随着x的增大而增大,故B正确;

k=-2<0,∴图象的两个分支分别在第二象限、第四象限内,故C正确;

x=1y=-2,∵y随着x的增大而增大,∴Shape68 时,-2<y<0,故D不正确;

故选:D

【点睛】

此题考查了反比例函数的性质,熟记反比例函数的性质是解题的关键.

2.(湖南永州·九年级期末)已知反比例函数Shape69 ,下列结论错误的是(       

A.图象在第二、四象限内 B.在每个象限内,yx的增大而增大

C.当Shape70 时,Shape71 D.当Shape72 时,Shape73

【答案】C

【解析】

【分析】

根据Shape74 确定比例系数的符号,再利用反比例函数的性质即可找出错误的结论.

【详解】

解:Shape75

Shape76 反比例函数的图象在第二、四象限内,在每个象限内,yx的增大而增大,当Shape77 时,Shape78

Shape79 Shape80 时,Shape81 ,当Shape82 时,不能判断Shape83 ,故C错误,

故选:C

【点睛】

本题考查反比例函数的性质,解题的关键是根据Shape84 确定比例系数的符号.

3.(黑龙江·哈尔滨市第十七中学校模拟预测)函数Shape85 的图象yx增大而减小,那么k的取值范围是_________

【答案】Shape86

【解析】

【分析】

根据反比例函数的性质可知yx增大而减小,则k>0,进一步列式求解即可.

【详解】

解:∵函数Shape87 的值yx增大而减少,

3-2k>0

解得Shape88

故答案为Shape89

【点睛】

本题主要考查反比例函数的性质;用到的知识点为:反比例函数中的比例系数大于0,图象的两个分支在一、三象限,在每个象限内,yx的增大而减小.

4.(四川成都·二模)已知点Shape90 Shape91 在反比例函数Shape92 Shape93 为常数)的图象上,且Shape94 ,则Shape95 的取值范围是________

【答案】Shape96

【解析】

【分析】

根据反比例函数的增减性进行判断即可.

【详解】

Shape97 Shape98 在反比例函数Shape99 Shape100 为常数)的图象上

Shape101

Shape102 在每个象限内,yx的增大而减小

Shape103

Shape104

Shape105

解得Shape106

故答案为:Shape107

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质,熟练掌握知识点是解题的关键.

5.(陕西·武功县教育局教育教学研究室二模)已知点Shape108 Shape109 Shape110 都在反比例函数Shape111 k为常数,且Shape112 )的图象上,则Shape113 Shape114 Shape115 之间的大小关系是______.(用“<”连接)

【答案】Shape116

【解析】

【分析】

先根据函数解析式中的比例系数(Shape117 )确定函数图象所在的象限,再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答.

【详解】

解:∵比例函数Shape118 中,k为常数,且Shape119

Shape120

此函数图象在二、四象限,

Shape121 Shape122 Shape123 都在此反比例函数图像上,

AB在第四象限,

函数图象在第四象限内yx的增大而增大,

Shape124

Shape125

C在第二象限,

Shape126

Shape127 Shape128 Shape129 的大小关系是Shape130

故答案为:Shape131

【点睛】

本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征,解题关键是根据反比例函数的增减性解题.

6.(浙江杭州·一模)已知反比例函数的表达式为Shape132 Shape133 Shape134 是反比例函数图象上两点,若Shape135 时,Shape136 ,则Shape137 的取值范围是________

【答案】Shape138 ##m-0.5

【解析】

【分析】

根据反比例函数的性质,可以得到关于m的不等式,从而可以求得m的取值范围.

【详解】

解:∵点A(x1,y1)B(x2,y2)为反比例函数Shape139 图象上两点,当Shape140 时,Shape141

该反比例函数的图象的两个分支分别在第一、第三象限

1+2m>0

解得Shape142

m的取值范围是Shape143

故答案为:Shape144

【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,利用反比例函数的性质解答.

7.(天津红桥·九年级期末)已知反比例函数Shape145 为常数,Shape146 )的图象经过Shape147 两点.

(1)求该反比例函数的解析式和Shape148 的值;

(2)Shape149 时,求Shape150 的取值范围;

(3)Shape151 为直线Shape152 上的一个动点,当Shape153 最小时,求点Shape154 的坐标.

【答案】(1Shape155 ;(2)当Shape156 时,Shape157 的取值范围是Shape158 ;(3)点Shape159 的坐标为Shape160

【解析】

【分析】

(1)把点A坐标直接代入可求k值,得出函数解析式,再把自变量-6代入解析式可得出n的值

(2)根据k的值可确定函数经过的象限,在一、三象限,在每个象限内Shape161 Shape162 的增大而减小,当x=-1时,y=-3,从而可求出y的取值范围

(3)作点A关于y=x的对称点Shape163 ,连接Shape164 ,线段Shape165 ,由Shape166 B的坐标求出直线Shape167 的解析式,最后根据两直线解析式求出点M的坐标.

【详解】

解:(Ⅰ)把Shape168 代入Shape169 Shape170

Shape171 反比例函数解析式为Shape172

Shape173 代入Shape174 Shape175 ,解得Shape176

(2)Shape177

Shape178 图象在一、三象限,在每个象限内Shape179 Shape180 的增大而减小,

Shape181 代入Shape182 Shape183

Shape184 Shape185 时,Shape186 的取值范围是Shape187

(3)Shape188 点关于直线Shape189 的对称点为Shape190 ,则Shape191 ,连接Shape192 ,交直线Shape193 于点Shape194

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此时,Shape195

Shape196 Shape197 的最小值,

设直线Shape198 的解析式为Shape199

Shape200 ,解得Shape201

Shape202 直线Shape203 的解析式为Shape204

Shape205 ,解得Shape206

Shape207 Shape208 的坐标为Shape209

【点睛】

本题是一道关于反比例函数的综合题目,考查的知识点有反比例函数的性质,解二元一次方程组,利用点对称求最短距离等,综合性较强.


考点三求反比例函数的解析式

例题:(全国·九年级专题练习)已知Shape210 Shape211 Shape212 成正比例,Shape213 Shape214 成反比例,当Shape215 时,Shape216 ;当Shape217 时,Shape218

1)求Shape219 Shape220 之间的函数关系式;

2)当Shape221 时,求Shape222 的值.

【答案】(1Shape223 ;(2Shape224

【解析】

【分析】

1)设Shape225 ,则有Shape226 ,然后把当Shape227 时,Shape228 ;当Shape229 时,Shape230 代入求解即可;

2)由(1)可直接把x=3代入求解.

【详解】

解:(1)设Shape231 ,由Shape232 可得:Shape233

Shape234 Shape235 Shape236 Shape237 代入得:

Shape238 ,解得:Shape239

yx的函数解析式为:Shape240

2)由(1)可把x=3代入得:

Shape241

【点睛】

本题主要考查反比例函数的定义及函数解析式,熟练掌握反比例函数的定义及求函数解析式的方法是解题的关键.

【变式训练】

1.(上海同济大学附属存志学校八年级期中)已知yy1+y2y1x﹣2成反比例,y22x+3成正比例,当x1时,y5;当x3时,yShape242 ,求yx的函数关系式.

【答案】y=Shape243 +Shape244

【解析】

【分析】

根据反比例函数与正比例函数定义可设y1=Shape245 y2=Shape246 ,则y=Shape247 +Shape248 ,再把两组对应值分别代入得到ab的方程组,解方程组求出ab即可得到yx的函数关系式;

【详解】

解:设y1=Shape249 y2=Shape250 ,则y=Shape251 +Shape252

x=1y=5x=3y=Shape253 分别代入得Shape254

解得Shape255

所以yx的函数关系式为y=Shape256 +Shape257 =Shape258 +Shape259 =Shape260 +Shape261

y=Shape262 +Shape263

【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式:设出含有待定系数的反比例函数解析式y=Shape264 k为常数,k≠0);把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式,得到待定系数的方程;解方程,求出待定系数;写出解析式.

2.(江苏·八年级专题练习)已知Shape265 Shape266 Shape267 成反比例,Shape268 Shape269 成正比例,并且当Shape270 时,Shape271 ;当Shape272 时,Shape273 .求:y关于x的函数解析式.

【答案】Shape274

【解析】

【分析】

首先根据题意,分别表示出y1xy2x的函数关系式,再进一步表示出yx的函数关系式;然后根据已知条件,得到方程组,即可求解.

【详解】

Shape275 =Shape276 Shape277 =Shape278 x+2),

Shape279

y=Shape280 +Shape281 x+2),

Shape282 时,Shape283 Shape284 时,Shape285 ,得

Shape286 ,解得Shape287

y关于x的函数解析式是Shape288

【点睛】

此题考查正比例函数的定义,反比例函数的定义,求函数解析式,熟记正比例函数及反比例函数的定义,设出函数解析式进行计算是解题的关键.

3.(江西上饶·二模)如图,在RtOAC中,点PAC边上,点QOA的中点,反比例函数Shape289 恰好经过PQ两点.

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(1)若点A坐标为(64),则k______,点P坐标为______

(2)Shape290 ,求反比例函数Shape291 的解析式.

【答案】(1)P61);

(2)Shape292

【解析】

【分析】

1)根据A64),O00),点QOA的中点,可知Q32),结合点Q在反比例函数的图象上,可得k=3×2=6,由P点在反比例函数的图象上,且P与点A横坐标相同,可求出点P纵坐标,进而可知P点坐标;

2)设点坐标为(2a2a),根据QOA的中点,点O坐标为(00),可得Q点坐标为(ab),结合点在反比例函数Shape293 的图象上,可知k=ab,由点的横坐标为2a,可得的纵坐标为Shape294 ,故点PShape295 ,结合三角形的面积可列等式,进而可求出Shape296 ,则Shape297 ,由此可知反比例函数的解析式.

(1)

解:∵A64),O00),点QOA的中点,

Q32),

Q点在反比例函数的图象上,

k=3×2=6

P在反比例函数的图象上,且PA点横坐标相同,

P纵坐标为:Shape298

故点P坐标为:(61);

(2)

解:设A点坐标为(2a2b),

QOA的中点,O点坐标为(00),

Q点坐标为(ab

Q在反比例函数Shape299 的图象上,

k=ab

由题意可知AC轴,点PAC上,

P点的横坐标为2a,且P在反比例函数图象上,

P的纵坐标为Shape300

PShape301

Shape302

Shape303

Shape304

反比例函数的解析式为Shape305

【点睛】

本题考查反比例函数的解析,图象,以及k的几何意义,平面直角坐标系中得三角形面积的求法,平面直角坐标系中的两点之间的距离,能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键.

4.(湖南省汉寿县教育研究室一模)如图,在平面直角坐标Shape306 中,直线Shape307 轴,垂足为Shape308 ,反比例函数Shape309 的图象与直线Shape310 交于点Shape311 Shape312 的面积为Shape313

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(1)求反比例函数的表达式;

(2)Shape314 轴正半轴上取一点Shape315 ,使Shape316 ,求直线Shape317 的函数表达式.

【答案】(1)Shape318

(2)Shape319

【解析】

【分析】

1)根据反比例函数比例系数的几何意义可得Shape320 ,从而得到Shape321 ,即可求解;

2)先求出Shape322 ,可得B的坐标为(50),再利用待定系数法,即可求解.

(1)

解:由题意可得:Shape323 =6

又∵A点的坐标为(m3),

Shape324 ,解得:Shape325

A点的坐标为(43             

Shape326 ,解得:Shape327

Shape328 反比例函数的解析式为Shape329

(2)

解:Shape330      

Shape331 Shape332

B的坐标为(50),

设直线AB的解析式为Shape333

Shape334 Shape335

Shape336 Shape337 ,解得Shape338

直线AB的解析式为Shape339

【点睛】

本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义,求一次函数解析式,熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质是解题的关键.

5.(广东·石龙三中一模)如图,反比例函数Shape340 的图象经过矩形Shape341 对角线的交点M,分别与Shape342 Shape343 相交于点DE

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(1)若点Shape344 ,求k的值;

(2)若四边形Shape345 的面积为6,求反比例函数Shape346 的解析式.

【答案】(1)8

(2)Shape347

【解析】

【分析】

1)根据矩形的性质,Shape348 ,根据反比例函数Shape349 的图象经过矩形Shape350 对角线的交点M,求得点Shape351 的坐标,然后待定系数法求解析式即可;

2)过点Shape352 ,分别作Shape353 轴的垂线Shape354 ,垂足分别为Shape355 ,则四边形Shape356 是矩形,根据中位线的性质以及Shape357 的几何意义,可得S矩形ABCO4S矩形ONMG4|k|,结合已知条件即可求解

(1)

Shape358 Shape359 ,四边形Shape360 是矩形,Shape361 为矩形对角线交点,

Shape362

Shape363 反比例函数Shape364 的图象经过矩形Shape365 对角线的交点M

Shape366

(2)

如图,过点Shape367 ,分别作Shape368 轴的垂线Shape369 ,垂足分别为Shape370 ,则四边形Shape371 是矩形

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由题意得:EMD位于反比例函数图象上,则SOCEShape372 SOADShape373

过点MMGy轴于点G,作MNx轴于点N,则S矩形ONMG|k|

又∵M为矩形ABCO对角线的交点,

Shape374

S矩形ABCO4S矩形ONMG4|k|

由于函数图象在第一象限,k0,则Shape375 +Shape376 +6=4k

k2

Shape377 Shape378

【点睛】

本题考查了矩形的性质,反比例函数与几何图形,Shape379 的几何意义,掌握反比例函数Shape380 的几何意义是解题的关键.


类型四反比例函数中K值的几何意义

例题:(山东日照·九年级期末)如图,在平而直角坐标系xoy中,点O是矩形ABCD的中心,边Shape381 轴,交y轴于点EMAE的中点,双曲线Shape382 过点M,若图中阴影部分的面积之和是6,则Shape383 ___________

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【答案】Shape384

【解析】

【分析】

Aab),则MShape385 b),根据矩形ABCD和双曲线Shape386 都关于原点对称,则可得阴影部分的面积=四边形AEOF的面积=6,即-ab=6,即可求k的值.

【详解】

解:设Aab),则MShape387 b),

如图,

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矩形ABCD和双曲线Shape388 都关于原点对称,

阴影部分的面积=四边形AEOF的面积=6

Shape389 ,即Shape390

MShape391 b)在双曲线Shape392 上,

Shape393

故答案为:Shape394

【点睛】

本题考查了矩形的性质,反比例函数的图象与性质以及反比例函数图象上点的坐标特征,判断出图中阴影部分的面积等于矩形AEOF的面积是解题的关键.

【变式训练】

1.(甘肃省白银市毕业会考综合练习数学试题)如图,点A是反比例函数Shape395 图象上的一点,过点AShape396 轴,垂足为点CAC交反比例函数Shape397 的图象于点B,点Px轴上的动点,则Shape398 的面积为______

 <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a>

【答案】3

【解析】

【分析】

利用ACy轴,根据三角形的面积公式以及反比例函数数比例系数k的几何意义进行计算即可.

【详解】

解:如图,连接OAOBPC

 <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a>

ACy

Shape399

Shape400

SPAB=SAPC- SBPC=3

故答案为:3

【点睛】

本题考查反比例函数k的几何意义,熟练掌握反比例函数k的几何意义是关键.

2.(浙江·温州外国语学校一模)如图,在直角坐标系中,Shape401 的直角边OAx轴上,Shape402 Shape403 Shape404 .已知反比例函数Shape405 k为常数)在第一象限的图象与线段OB交于点Shape406 ,与线段AB交于点E,则点E的坐标为______

 <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a>

【答案】(6Shape407

【解析】

【分析】

先由点坐标求得直线OB的解析式,再求得点D坐标,进而求得反比例函数的解析式,进而得到答案.

【详解】

解:由已知得点B的坐标(64

OB所在直线解析式为Shape408

DOB

Shape409

D坐标为(4Shape410

把点D坐标代入反比例函数,得:Shape411 ,解得Shape412

反比例函数解析式为Shape413

设点E的坐标为(6n),代入反比例函数,得:Shape414

E的坐标为(6Shape415

【点睛】

本题考查反比例函数、一次函数、平面直角坐标系内的点坐标,通过点坐标求得反比例函数的解析式是解题的关键.

3.(辽宁锦州·一模)如图,Shape416 是反比例函数Shape417 图象上的两点,过点Shape418 Shape419 轴,垂足为Shape420 ,交Shape421 于点D,且Shape422 Shape423 的中点,若Shape424 的面积为6,则Shape425 的值为____________

 <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a>

【答案】-8

【解析】

【分析】

Shape426 DOB的中点,根据中点坐标公式得出点Shape427 ,将点Shape428 代入函数解析式后求出Shape429 ,再由Shape430 轴可知点Shape431 与点Shape432 纵坐标相同得出点Shape433 ,再根据Shape434 的面积为6,可分成Shape435 Shape436 的面积和,列出关系式求出Shape437 的值.

【详解】

解:设Shape438 Shape439

DOB的中点,

根据中点坐标公式,

Shape440

将点Shape441 代入函数解析式Shape442

Shape443

ACy轴,

可知点Shape444 与点Shape445 纵坐标相同,Shape446 在反比例函数Shape447 上,

Shape448

Shape449

Shape450 Shape451 上的高为Shape452 Shape453

Shape454 的面积为6

Shape455

             Shape456 =6

-3ab+-3ab=12

Shape457

Shape458

故答案为Shape459

【点睛】

本题主要考查反比例函数的图像及性质、中点坐标公式等知识点,重点要掌握反比例函数系数Shape460 的几何意义,以及利用待定系数法求反比例函数的解析式,本题易错点在于Shape461 的正负,计算过程中要注意.



考点五反比例函数的与一次函数图像共存问题

例题:(浙江台州·九年级期末)函数Shape462 与函数Shape463 (Shape464 为常数,Shape465 )在同一平面直角坐标系内的图象可能是 (        ).

A <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> B <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> C <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> D <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a>

【答案】C

【解析】

【分析】

因为Shape466 的符号不明确,所以应分两种情况讨论.

【详解】

解:当Shape467 时,函数Shape468 与函数Shape469 同在第一、三象限,故选项C符号题意;

Shape470 时,函数Shape471 与函数Shape472 同在第二、四象限,无此选项,故选项ABD不合题意,

故选:C

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象与性质及一次函数图象和性质,熟练掌握函数的性质是解题的关键.

【变式训练】

1.(福建龙岩·一模)已知一次函数y=kx+b,反比例函数Shape473 ,下列能同时正确描述这两种函数大致图象的是(       ).

A <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> B <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> C <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> D <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a>

【答案】C

【解析】

【分析】

根据对kb的正负性对一次函数、反比例函数图象进行判断即可的结果;

【详解】

解:当k>0b>0时,一次函数过一、二、三象限,kb>0反比例函数过一、三象限;

k>0b<0时,一次函数过一、三、四象限,kb<0反比例函数过二、四象限;

k<0b>0时,一次函数过一、二、四象限,kb<0反比例函数过二、四象限;

k<0b<0时,一次函数过二、三、四象限,kb>0反比例函数过一、三象限;

故选:C

【点睛】

本题主要考查一次函数、反比例函数,掌握函数图象与系数的关系是解题的关键.

2.(贵州毕节·九年级期末)在同一直角坐标系中,函数y=axay=Shape474 (a≠0)的图象大致是(       

A <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> B <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> C <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> D <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a>

【答案】D

【解析】

【分析】

分别根据a0a0讨论直线和双曲线在坐标系中的位置即可得.

【详解】

解:当a0时,直线y=axa经过第一、三、四象限,双曲线y=Shape475 经过第一、三象限,观察图象,没有符合的选项;

a0时,直线y=axa经过第一、二、四象限,双曲线y=Shape476 经过第二、四象限,观察图象,选项D符合题意;

故选:D

【点睛】

本题主要考查反比例函数和一次函数的图象与性质,熟练掌握根据待定系数判断图象在坐标系中的位置是解题的关键.

3.(山东德州·九年级期末)已知Shape477 ,则函数Shape478 Shape479 的图象大致是(     

A <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> B <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> C <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> D <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a>

【答案】D

【解析】

【分析】

根据一次函数的性质和反比例函数的性质判断即可;

【详解】

解:∵Shape480 ,∴Shape481 过一、二、四象限,

Shape482 ,∴Shape483 在一、三象限,

D.符合题意;

故选:D

【点睛】

本题考查了一次函数的性质:在y=kx+bk≠0)中,当k0时,yx的增大而减小,b0时直线经过第一、二、四象限;反比例函数的性质:比例系数大于0时,函数的两个分支分布在一、三象限,在每个象限内,y都随x的增大而减小;掌握相关性质是解题关键.

4.(安徽淮南·九年级阶段练习)函数Shape484 Shape485 在同一坐标系内的图象可以是(       

A <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> B <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> C <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> D <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a>

【答案】D

【解析】

【分析】

根据一次函数和反比例函数的图象和性质,即可求解.

【详解】

解:A、当a0时,Shape486 的图象经过第一、三、四象限,反比函数位于第一、三象限,故本选项错误,不符合题意;

B、当a0时,Shape487 的图象经过第一、三、四象限,反比函数位于第一、三象限,故本选项错误,不符合题意;

C、对于Shape488 中,10,则Shape489 的图象一定经过第一、三象限,故本选项错误,不符合题意;

D、当a0时,Shape490 的图象经过第一、三、四象限,反比函数位于第一、三象限,故本选项正确,符合题意;

故选:D

【点睛】

本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质,熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质,并利用数形结合思想解答是解题的关键.

5.(山东济南·一模)函数Shape491 与函数y=Shape492 kx+k在同一坐标系中的图象可能是(     

A <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> B <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> C <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> D <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a>

【答案】C

【解析】

【分析】

根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可.

【详解】

解:A、由反比例函数的图象在一、三象限可知,k0

一次函数y=−kxk的图象经过一、二、四象限,故本选项错误;

B、由反比例函数的图象在二、四象限可知,k0

一次函数y=−kxk的图象经过一、三、四象限,故本选项错误;

C、由反比例函数的图象在二、四象限可知,k0

一次函数y=−kxk的图象经过一、三、四象限,故本选项正确;

D、由反比例函数的图象在一、三象限可知,k0

一次函数y=−kxk的图象经过一、二、四象限,故本选项错误.

故选:C

【点睛】

本题考查的是反比例函数及一次函数图象,解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号,再根据一次函数的性质进行解答.

6.(吉林·东北师大附中八年级阶段练习)已知Shape493 ,则函数Shape494 Shape495 的图象大致为(       

A <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> B <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> C <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a> D <a href="/tags/36/" title="重点" class="c1" target="_blank">重点</a> <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/282/" title="专题" class="c1" target="_blank">专题</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/411/" title="反比例" class="c1" target="_blank">反比例</a> <a href="/tags/885/" title="函数" class="c1" target="_blank">函数</a>

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用反比例函数以及一次函数图象的性质分别分析得出答案.

【详解】

解:∵k1<0<k2,函数Shape496 Shape497 在同一坐标系中,

反比例函数的图象分布在一、三象限,一次函数的图象经过二、三、四象限,且过(0,−3)点,

只有选项D符合题意,

故选:D

【点睛】

此题主要考查了反比例函数图象以及一次函数图象,正确掌握各函数图象分布规律是解题关键.


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