【324024】2024八年级数学下册 重点突围专题06 一元二次方程的应用（与图形有关、动态几何、工

专题06一元二次方程的应用（与图形有关、动态几何、工程、、行程、图表信息问题）

【典型例题】

1．（湖北梁子湖·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点都停止运动．设运动时间为t s（t＞0）．

（1）线段BQ＝cm，PB＝cm；（用含t的代数式表示）

（2）当t为何值时，PQ的长为4 cm？

（3）是否存在t，使得五边形APQCD的面积等于99cm²？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（10−2t）；4t；（2）t＝1秒（3）t＝ 秒或t＝ 秒

【解析】

【分析】

（1）根据P、Q两点的运动速度可得BQ、PB的长度；

（2）根据勾股定理可得PB²＋BQ²＝QP²，代入相应数据解方程即可；

（3）根据题意可得△PBQ的面积为长方形ABCD的面积减去五边形APQCD的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可．

【详解】

解：（1）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，

∴AP＝2tcm，

∵AB＝10cm，

∴PB＝（10−2t）cm，

∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，

∴BQ＝4tcm；

故答案为：（10−2t）；4t；

（2）由题意得：（10−2t）²＋（4t）²＝（4 ）²，

解得：t₁＝t₂＝1；

当t＝1秒时，PQ的长度等于4 cm；

（3）存当t＝ 秒或t＝ 秒时，使得五边形APQCD的面积等于99cm²．理由如下：

长方形ABCD的面积是：10×12＝120（cm²），

使得五边形APQCD的面积等于99cm²，则△PBQ的面积为120−99＝21（cm²），

（10−2t）×4t＝21，

解得：t₁＝ ，t₂＝ ．

即当t＝ 秒或t＝ 秒时，使得五边形APQCD的面积等于99cm²．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，关键是表示出BQ、PB的长度．

【专题训练】

1. 选择题

1．（福建省福州第十六中学九年级期中）如图，在长100m，宽80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为 ．设道路的宽为xm，则x满足的方程是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用平行的性质，使绿化面积在一个矩形中．

【详解】

解：A道路有重合部分减去两次还要补上一次等式才能成立；

B移动道路到边缘后剩余矩形的长和宽为（100-x）和（80-x）等式关系不成立；

C忽略了重合道路的面积等式不成立；

D移动道路到边缘后剩余矩形的长和宽为（100-x）和（80-x）就是绿化面积，等式成立符合题意．

故答案选：D

【点睛】

本题考查一元二次方程的实际应用，通过平移道路使绿化面积变为一个矩形是解题关键．

2．（黑龙江克东·九年级期末）如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（       ）

A．2s或 s B．1s或 s C． s D．2s或 s

【答案】D

【解析】

【分析】

设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．

【详解】

解：设当P、Q两点从出发开始到xs时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，

根据题意得：（16-2x-3x）²+8²=10²，

解得：x₁=2，x₂= ，

答：当P、Q两点从出发开始到2s或 s时，点P和点Q的距离是10cm．

故选：D．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键．

3．（河南·中考真题）如图1，矩形 中，点 为 的中点，点 沿 从点 运动到点 ，设 ， 两点间的距离为 ， ，图2是点 运动时 随 变化的关系图象，则 的长为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及 ，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值．

【详解】

解：由图2可知，当P点位于B点时， ，即 ，

当P点位于E点时， ，即 ，则 ，

∵ ,

∴ ,

即 ,

∵

∴ ,

∵点 为 的中点，

∴ ,

故选：C．

【点睛】

本题考查了学生对函数图像的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图像中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法．

二、填空题

4．（重庆綦江·九年级期末）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃 靠墙处不用篱笆 ，中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为19米 恰好用完 ，围成的大长方形花圃的面积为 平方米，设垂直于墙的一段篱笆长为 米，可列出方程为______．

【答案】x(19-3x)=24

【解析】

【分析】

若设垂直于墙的一段篱笆长为 米，则平行于墙的一段篱笆长为 米，根据围成的大长方形花圃的面积为 平方米，即可得出关于 的一元二次方程，此题得解．

【详解】

解：若设垂直于墙的一段篱笆长为 米，则平行于墙的一段篱笆长为 米，

依题意得： ．

故答案为： ．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

5．（广东·坪山中学九年级阶段练习）如图，在 中， ， ， ，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当 ____s时， 的面积为16cm²

【答案】1或4##4或1

【解析】

【分析】

若运动的时间为ts，则CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面积计算公式列出方程，解方程即可求解．

【详解】

解：若运动的时间为ts，则CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，

依题意得： （20-4t）×2t=16，

整理得：t²-5t+4=0，

解得： ，

答：当t=1或4s时，△CPQ的面积为16cm²．

故答案为：1或4．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

6．（全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm²时，运动时间为__s．

【答案】2．

【解析】

【分析】

设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB=（12-2x）cm，CQ=（6-x）cm，利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm²，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【详解】

设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，

依题意，得： （12﹣2x）（6﹣x）＝16，

整理，得：x²﹣12x+20＝0，

解得：x₁＝2，x₂＝10（不合题意，舍去）．

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

三、解答题

7．（辽宁营口·九年级期末）如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为551m²，求道路的宽．

【答案】

【解析】

【分析】

设道路的宽为 ，根据题意，列出方程，即可求解．

【详解】

解：设道路的宽为 ，根据题意得：

，

解得： ， （不合题意，舍去），

答：道路的宽为 ．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．

8．（天津·九年级期中）如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃一边AB的长为xm，如要围成面积为63m²的花圃，那么AB的长是多少？

【答案】

【解析】

【分析】

设 的长为 m，则平行于墙的一边长为： m，该花圃的面积为： ，令该面积等于63，求出符合题意的 的值，即是所求 的长．

【详解】

解：设该花圃的一边 的长为 m，则与 相邻的边的长为 m，

由题意得： ，

即： ，

解得： ，

当 m时，平行于墙的一边长为： ，不合题意舍去；

当 m时，平行于墙的一边长为： ，符合题意，

所以， 的长是 ．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解．

9．（辽宁千山·九年级阶段练习）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏 ，且中间共留两个1米的小门，设栅栏 长为x米．

（1）若矩形围栏 面积为210平方米，求栅栏 的长；

（2）矩形围栏 面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由．

【答案】（1）栅栏 的长为10米；（2）矩形围栏 面积不可能达到240平方米．

【解析】

【分析】

（1）先表示出AB的长，再根据矩形围栏ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；

（2）根据矩形围栏ABCD面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ=-31＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米．

【详解】

解：（1）依题意，得： ，

整理，得： ，

解得： ．

当 时， ，不合题意，舍去，

当 时， ，符合题意，

答：栅栏 的长为10米；

（2）不可能，理由如下：

依题意，得： ，

整理得： ，

∵ ，

∴方程没有实数根，

∴矩形围栏 面积不可能达到240平方米．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．

10．（重庆实验外国语学校九年级期末）为了改善生态环境，重庆市政府决定对某公园进行绿化，该绿化工程需要完成26000平方米的绿化任务．某施工队在按计划施工7天后，将每天的工作量增加为原来的1．5倍，结果再花4天刚好完成该项绿化工程．

(1)该绿化工程原计划每天完成多少平方米的绿化任务？

(2)如图，在绿化工程中，要修建一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃，该花圃一面利用墙（墙的最大可用长度为16米），其余部分由篱笆围成．为了出入方便，在建造花圃时，在长边上用其他材料建造了宽为1米的两个小门，其余部分刚好用完长为28米的篱笆．若此时花画的面积为72平方米，求此时花圃的长和宽．

【答案】(1)该绿化项目原计划每天完成2000平方米

(2)花圃的长为6米，宽为12米．

【解析】

【分析】

（1）直接利用每天的工作量增加为原来的1.5倍，再用4天完成了该项绿化工程，进而得出方程求出答案；

（2）设花圃的宽AB为x米，它的面积为72米²，进而列出方程求出答案即可．

(1)

解：设该项绿化工程原计划每天完成x米²，

根据题意得： ＝4，

解得：x＝2000，

经检验，x＝2000是原方程的解，

答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；

(2)

解：设花圃的宽AB为x米，则BC＝28+2﹣3x＝30﹣3x，

根据题意，得（30﹣3x）x＝72，

解得：x₁＝4，x₂＝6．

∵当x＝4时，30﹣3x＝18＞16，

∴不符合题意，舍去．

∴宽为6米，长为12米．

答：花圃的长为6米，宽为12米．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方的应用以及分式方程的应用，正确找到等量关系，列出方程是解题关键．

11．（江西宜春·九年级期末）如图，在矩形ABCD中， ， ，点P从点A出发沿边AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，当点P运动到点B后，运动停止，设运动时间为x（s）．

(1) ______cm， ______cm（用含x的式子表示）；

(2)若 时，求x的值；

(3)当x为何值时， 将成为以 为斜边的直角三角形．

【答案】(1) ，

(2) 或

(3)当 为 或 时， 是以 为斜边的直角三角形

【解析】

【分析】

（1）直接根据P、Q点运动方向和运动速度表示出答案；

（2）在 中，根据勾股定理即可求出答案；

（3）表示出 、 和 ，由勾股定理即可求出答案．

(1)

由题可得： ， ，

∴ ， ，

故答案为： ， ；

(2)

在 中， ，即 ，

解得： 或 ；

(3)

， ， ，

∵ 是以 为斜边的直角三角形，

∴ ，

解得： 或 ，

∴当 为 或 时， 是以 为斜边的直角三角形．

【点睛】

本题考查勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，正确表示出三角形各边的长度是解题的关键．

12．（广东·高州市镇江第一中学九年级期中）已知：如图所示，在 中， ， ， ．点 从点 开始沿 边向点 以1cm/s的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以2cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动．

(1)如果 ， 分别从 ， 同时出发，那么几秒后， 的面积等于 ？

(2)如果 ， 分别从 ， 同时出发，那么几秒后， 的长度等于5cm？

(3)在（1）中， 的面积能否等于 ？说明理由．

【答案】(1)1秒

(2)2秒

(3)不能，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）设 秒后，则： ， ； ，根据三角形面积公式进行计算即可；

（2）在 中，根据勾股定理求解即可；

（3）根据三角形面积公式列出一元二次方程，利用判别式，求解即可．

(1)

设 秒后，则： ， ； ．

，即 ，

解得： 或4．（ 秒不合题意，舍去）

故：1秒后， 的面积等于 ．

(2)

，则 ，

即 ，

解得： （舍）或2．

故2秒后， 的长度为5cm．

(3)

令 ，即： ，

整理得： ．

由于 ，则方程没有实数根．

所以，在（1）中， 的面积不等于 ．

【点睛】

本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，分别用含 的式子表示出 是解题的关键．

13．（云南·云大附中九年级期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．

(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？

【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20%

(2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线

【解析】

【分析】

（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解；

（2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解．

(1)

解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x．

依题意，得： ，

解得： ， （不合题意，舍去）．

答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．

(2)

解：设增加x条生产线．

，

解得 ， （不符合题意，舍去），

答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可．

14．（湖北宜昌·中考真题）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的 和 ．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．

（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？

（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了 ，漫灌试验田的面积减少了 ．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了 ．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少 ，求 的值．

（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？

【答案】（1）漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨；（2）20；（3）节省水费大于两项投入之和

【解析】

【分析】

（1）根据题意，设漫灌方式每亩用水 吨，列出方程求解即可；

（2）由（1）结果，结合题意列出方程，求解方程；

（3）分别求出节省的水费，维修费，添加设备费，比较大小即可．

【详解】

（1）解：设漫灌方式每亩用水 吨，则

，

，

漫灌用水： ，

喷灌用水： ，

滴灌用水： ，

答：漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨．

（2）由题意得，

，

解得 （舍去）， ，所以 ．

（3）节省水费： 元，

维修投入： 元，

新增设备： 元，

，

答：节省水费大于两项投入之和．

【点睛】

本题考查一元一次方程，一元二次方程实际应用，解一元二次方程，掌握题中等量关系正确列式计算是解题关键．

15．（江苏·九年级专题练习）小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．

（1）求返回时A、B两地间的路程；

（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟．

【答案】（1）1800米；（2）52分钟．

【解析】

【分析】

（1）可设AB两地之间的距离为x米，根据两种步行方案的速度相等，列出方程即可求解；

（2）可设从A地到C地一共锻炼时间为y分钟，根据在整个锻炼过程中小明共消耗900卡路里热量，列出方程即可求解．

【详解】

解：（1）设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得：

，

解得x=1800．

答：A、B两地间的路程为1800米；   

（2）设小明从A地到B地共锻炼了y分钟，由题意得：

25×6+5×10+[10+（y﹣30）×1]（y﹣30）=904，

整理得y²﹣50y﹣104=0，

解得y₁=52，y₂=﹣2（舍去）．

答：小明从A地到C地共锻炼52分钟．

【点睛】

本题考查一元一次方程，一元二次方程．

16．（广东越秀·九年级期末）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．

（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？

（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：

月份	用水量（吨）	交水费总金额（元）
4	18	62
5	24	86

根据上表数据，求规定用水量a的值

【答案】（1） ；（2）10

【解析】

【分析】

（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解；

（2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解．

【详解】

解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，

元；

（2）若 ，有

，解得： ，即 ，不合题意，舍去，

∴ ，

根据题意得： ，

解得： （舍去），

答：规定用水量a的值为10吨．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．

17．（广西·来宾城南初级中学九年级阶段练习）2020年新冠疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同，试回答下列问题：

（1）求每天增长的百分率；

（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减小50万个/天．

①现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？

②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．

【答案】（1）20%；（2）①4条；②不能，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天，根据题意列方程，即可得到结论；

②设应该增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天，根据每天生产口罩6500万个，即可得出关于a的一元二次方程，根据判别式的值可得出结论．

【详解】

解：（1）设每天增长的百分率为x，

依题意，得：500（1+x）²=720，

解得：x₁=0.2=20%，x₂=-2.2（不合题意，舍去）．

答：每天增长的百分率为20%；

（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天，

依题意，得：（1+m）（1500-50m）=6500，

解得：m₁=4，m₂=25，

又∵在增加产能同时又要节省投入，

∴m=4．

答：应该增加4条生产线；

②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天，

依题意，得：（1+a）（1500-50a）=15000，

化简得：a²-29a+270=0，

∵△=（-29）²-4×1×270=-239＜0，方程无解．

∴不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．