专题05一元二次方程的应用（传播、增长率、数字、营销问题）

【典型例题】

1．（甘肃玉门·九年级期末）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．

(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；

(2)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？

【答案】(1)两次下降的百分率为10%

(2)每天要想获得512元的利润，每件应降价2元

【解析】

【分析】

（1）设每次降价的百分率为x，（1﹣x）²为两次降价后的百分率，40元降至32.4元就是方程的等量条件，列出方程求解即可；

（2）设每天要想获得512元的利润，每件商品应降价y元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．

(1)

解：设每次降价的百分率为x．

40×（1﹣x）²＝32.4

x＝10%或190%（190%不符合题意，舍去）

答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率为10%；

(2)

解：设每天要想获得512元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，

由题意，得

解得：

答：要使商场每月销售这种商品的利润达到512元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2元．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．

【专题训练】

1. 选择题

1．（河北·保定市第十七中学九年级阶段练习）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了21场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

先列出x支篮球队，每个球队都要与别的球队之间都比赛一场，则共可以比赛 场，再由两个队之间的比赛只能算作一场即可得到答案．

【详解】

解：由题意得： ；

即

故选C．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．

2．（陕西·西北工业大学附属中学九年级期末）在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下面所列方程正确的是（　　）

A．3x（x+1）＝363 B．3+3x+3x²＝363

C．3（1+x）²＝363 D．3+3（1+x）+3（1+x）²＝363

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意可知经过一轮感染后3只动物染给了 只动物，此时共有 只动物被感染．再经过一轮感染后，这 只动物又染给了 只动物，此时共有 只动物被感染，再根据等量关系，列出等式，整理即可．

【详解】

设每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，

则根据题意可列方程： ．

故选C．

【点睛】

本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解答本题的关键．

3．（河北保定·九年级期末）某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11，12两个月营业额的月均增长率，设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x，根据第四季度的总营业额要达到9100万元，列方程即可得到结论．

【详解】

解：设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x，

由题意得 ，

故选A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列正确的方程．

4．（广东韶关·九年级期末）某网店销售一批运动装，平均每天可销售20套，每套盈利45元；为扩大销售量，增加盈利，采取降价措施，一套运动服每降价1元，平均每天可多卖4套，若网店要获利2100元，设每套运动装降价 元，则列方程正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

设每套运动装降价x元，则每天的销售量为（20+4x）件，根据总利润=每件的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】

解：根据题意得每套运动装降价x元，则每天的销售量为（20+4x）件，

依题意，得：（45-x）（20+4x）=2100．

故选：A．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．       1

二、填空题

5．（吉林吉林·九年级期末）已知3人患流感，经过两轮传染后，患流感总人数为108人，则平均每人每轮感染_____个人．

【答案】5

【解析】

【分析】

设1个人传染x人，第一轮共传染（x+1）人，第二轮共传染（x+1）²人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案．

【详解】

解：设每个人传染x人，根据题意列方程得，

3（x+1）²=108，

解得：x₁=5，x₂= 8（不合题意，舍去），

故答案为：5．

【点睛】

此题考查了一元二次方程的应用，解答此题的关键是找出题目中蕴含的数量关系：1个人传染x人，n轮共传染（x+1）n人．

6．（黑龙江密山·九年级期末）凌源市“百合节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2018年约为5万人次，2020年约为6.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则可列方程 _____．

【答案】

【解析】

【分析】

设观赏人数年均增长率为x，根据“2018年约为5万人次，2020年约为6.8万人次，”列出方程，即可求解．

【详解】

解：设观赏人数年均增长率为x，根据题意得：

．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．

7．（安徽·休宁县洪里初级中学九年级期中）某商品进价为3元，当售价为x元时可销售商品（x＋3）个，此时获利160元，则该商品售价为____________元．

【答案】13

【解析】

【分析】

由题意直接根据“获利是160元”，即销售商品的个数×每件的盈利=获利，可列出方程，解方程即可求解．

【详解】

解：根据题意得（x-3）（x+3）=160

解方程得x=13或x=-13（负值舍去）

所以该商品的售价为13元．

故答案为：13．

【点睛】

本题考查一元二次方程的实际应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．

8．（上海市浦东模范中学八年级期末）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是___．

【答案】84

【解析】

【分析】

等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数解即可．

【详解】

设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为：

x²+（x﹣4）²＝10x+（x﹣4）﹣4

解得：x₁＝8，x₂＝1.5（舍），

∴x﹣4＝4，

∴10x+（x﹣4）＝84．

答：这个两位数为84．

故答案为：84

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．

三、解答题

9．（湖北·荆州市荆南中学九年级期中）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手．   

（1）若参加聚会的人数为6，则共握手次，若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手次；       

（2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数？

【答案】（1）15； ；（2）参加聚会的有9人．

【解析】

【分析】

（1）根据每一人与其它五人握手，可得6×5次，其中每两人重复一次握手，共有 ，根据握手次数=参会人数×（参会人数-1）÷2，即可求出结论；

（2）设有x人参加聚会，由（1）的结论结合共握手36次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论

【详解】

解：（1）若参加聚会的人数为 ，则共握手 （次）；

参加聚会的人数为 （ 为正整数），则共握手 次．

故答案为：15； ；

（2）设有 人参加聚会，根据题意得， ，

整理得 ，

因式分解得 ，

解得： ， （不合题意，舍去），

答：参加聚会的有9人．

【点睛】

本题考查了有理数的乘法，列代数式，一元二次次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含n的代数式表示出握手总数；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．

10．（浙江·九年级专题练习）卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果 人传播 人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者” 如果某镇有 人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有 人成为新冠肺炎病毒的携带者．

（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？请先写出结论，再说明理由；

（1）若不加以控制传染渠道，经过 轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？

【答案】（1）最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，见解析；（2）若不加以控制传染渠道，经过 轮传染，共有 人成为新冠肺炎病毒的携带者

【解析】

【分析】

最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，设每人每轮传染的人数为 人，则第一轮传染了 人，第二轮传染了 人，根据经过两轮传染后共有 人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得出关于 的一元二次方程，解之将其正值与 比较后即可得出结论；

利用经过 轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数 经过两轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数 经过两轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数 每人每轮传染的人数，即可求出结论．

【详解】

解： 最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，理由如下：

设每人每轮传染的人数为 人，则第一轮传染了 人，第二轮传染了 人，

依题意得： ，

解得： 不合题意，舍去 ．

，

最初的这名病毒携带者是“超级传播者”．

人 ．

答：若不加以控制传染渠道，经过 轮传染，共有 人成为新冠肺炎病毒的携带者．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

11．（湖南·长沙市第二十一中学八年级期末）在国家的宏观调控下，长沙市的商品房成交价由今年3月分的12100元 下降到5月分的10000元

(1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（精确到百分之一）

(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破8000元 ？请说明理由．

【答案】(1)

(2)否，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）设4、5两月平均每月降价的百分率是x，那么4月份的房价为12100（1-x），5月份的房价为12100（1-x）²，然后根据5月份的10000元/m²即可列出方程解决问题；

（2）根据（1）的结果可以计算出今年7月份商品房成交均价，然后和8000元/m²进行比较即可作出判断．

(1)

解：设百分率为x

， （舍）

答：4、5两月平均每月降价的百分率是 ．

(2)

否，理由如下：

∵ （元）＞8000元

∴预测到7月份该市的商品房成交均价不会跌破8000元

【点睛】

此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．

12．（浙江宁波·模拟预测）某花店于今年年初以每株5元的进价购进一批多肉植物进行出售，每株售价定为10元．已知1月的销售量为256株，2、3月销售量持续走高，3月的销售量达到400株．假设4月的销售量仍保持前两个月的平均月增长率．

(1)求销售量的平均月增长率和4月的销售量；

(2)4月，花店将多肉植物按原售价销售一半后，决定将剩余的一半采用降价的方式出售以回馈顾客．要使4月销售多肉植物所获的利润不低于3月销售多肉植物所获的利润，每株多肉植物最多降价多少元？

【答案】(1)销售量的平均月增长率为25%，4月的销售量是500株；

(2)每株多肉植物最多降价2元

【解析】

【分析】

（1）设销售量的平均月增长率为 ，根据3月的销售量达到400株列方程 ，即可解得答案；

（2）设每株多肉植物降价 元，3月份销售多肉植物所获的利润为 （元 ，可得 ，即可解得答案．

(1)

解：设销售量的平均月增长率为 ，则4月份销售量为 株，根据题意得：

，

解得 （负值已舍去），

，

答：销售量的平均月增长率为 ，4月的销售量是500株；

(2)

解：设每株多肉植物降价 元，

3月份销售多肉植物所获的利润为 （元 ，根据题意得：

，

解得 ，

答：每株多肉植物最多降价2元．

【点睛】

本题考查一元二次方程及一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系和不等关系列式解决问题．

13．（内蒙古包头·九年级期末）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，一月份售出32台，二、三月份这种台灯销售量连续增长，其中三月份售出50台．

(1)求二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率；

(2)从四月份起商场决定采取降价促销措施，调查发现，在三月份销量的基础上，如果这种台灯的售价每降价2元，那么月销售量增加4台．当每台降价多少元时，四月份销售这种台灯可获利348元？

【答案】(1)二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为25%

(2)当每台降价4元时，四月份销售这种台灯可获利348元

【解析】

【分析】

（1）设二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为x，即可得出关于x的一元二次方程，求解即可；

（2）设每台降价y元，则四月份可售出 台，即可得出关于y的一元二次方程，求解即可．

(1)

设二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为x，

依题意，得： ，

解得： ， （不合题意，舍去）．

答：二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为25%．

(2)

设每台降价y元，则四月份可售出 台，

依题意，得： ，

解得： ， （不合题意，舍去）．

答：当每台降价4元时，四月份销售这种台灯可获利348元．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

14．（陕西秦都·九年级期末）解读诗词 通过列方程算出周瑜去世时的年龄 ：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄．

【答案】周瑜去世时的年龄为 岁

【解析】

【分析】

设周瑜去世时的年龄的个位数字为 ，则十位数字为 根据题意建立方程 求出其值即可．

【详解】

解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为 ，则十位数字为 ，依题意得：

，

解得 ， ，

当 时， ，（不合题意，舍去），

当 时， （符合题意），

答：周瑜去世时的年龄为 岁．

【点睛】

本题是一道数字问题的应用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中根据题意设未知数，列出正确的方程是解题的关键．

15．（重庆·西南大学附中九年级开学考试）某零食店销售牛轧糖、雪花酥2种糖果，如果用800元可购买5千克牛轧糖和4千克雪花酥，用1000元可购买10千克牛轧糖和2千克雪花酥．

(1)求牛轧糖、雪花酥每千克的价格分别为多少元？

(2)已知该零食店在12月共售出牛轧糖50千克、雪花酥30千克．春节将近，1月份超市将牛轧糖每千克的售价提升 元，雪花酥的价格不变，结果与12月相比牛轧糖销量下降了 千克，雪花酥销量上升 千克，但牛轧糖的销量仍高于雪花酥，销售总额比12月多出250元，求 的值．

【答案】(1)每千克牛轧糖的价格为80元，每千克雪花酥的价格为100元；

(2)10．

【解析】

【分析】

（1）根据题意，设每千克牛轧糖为x元，每千克雪花酥为y元，然后列出二元一次方程组，解方程组即可；

（2）根据题意，由销售总额比12月多出250元，列出关于m的一元二次方程，解方程即可得到答案．

(1)

解：根据题意，设每千克牛轧糖为x元，每千克雪花酥为y元，则

，解得： ，

∴每千克牛轧糖的价格为80元，每千克雪花酥的价格为100元；

(2)

解：根据题意，

12月的销售总额为： （元），

∴ ，

解得： 或 ；

∵ ，

解得： ，

∴ ；

∴ 的值为10．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题．

16．（山东济阳·九年级期中）某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了增加销量，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．

(1)若降价3元，则平均每天销售数量为______件；

(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？

【答案】(1)36

(2)每件商品降价25元时，该商店每天销售利润为1200元．

【解析】

【分析】

（1）根据题意可得平均每天多卖出2×3=6（件），然后问题可求解；

（2）设每件应降价x元，用x来表示出商场所要求的每件盈利的数额量，然后根据盈利1200元来列出方程．

(1)

解：由题意得：30+3×2=36（件）；

故答案为36；

(2)

解：设每件应降价x元，由题意得：

，

解得： ，

当x=0时，能卖出30件；当x=25时，能卖出80件；

因为增加销量，减少库存，所以应降价25元；

答：每件商品降价25元时，该商店每天销售利润为1200元．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．

17．（成都市龙泉驿区四川师范大学东区上东学校九年级期末）某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元．

(1)若销售单价为每件45元，求每天的销售利润；

(2)要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？

【答案】(1)1050元

(2)50元

【解析】

【分析】

（1）根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可求出结论；

（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80-2（x-40）]件，根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【小题1】

解：（45-30）×[80-（45-40）×2]=1050（元）．

答：每天的销售利润为1050元．

【小题2】

设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80-2（x-40）]件，

依题意，得：（x-30）[80-2（x-40）]=1200，

整理，得：x²-110x+3000=0，

解得：x₁=50，x₂=60（不合题意，舍去）．

答：每件工艺品售价应为50元．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

18．（重庆荣昌·九年级期末）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一.深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2018年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2020年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次

(1)求东部华侨城景区2018至2020年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率．

(2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯.2020年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？

【答案】(1)年平均增长率为

(2)当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额

【解析】

【分析】

（1）设年平均增长率为x，根据东部华侨城景区在2018年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2020年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次.列出方程求解即可；

（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解，作出取舍即可．

(1)

设年平均增长率为 ，由题意得：

解得： ， （舍）

答：年平均增长率为20%；

(2)

设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：

整理得：

解得：

让顾客获得最大优惠，y=20

答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．

【点睛】

本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．