【324023】2024八年级数学下册 重点突围专题05 一元二次方程的应用(传播、增长率、数字、营销
专题05一元二次方程的应用(传播、增长率、数字、营销问题)
【典型例题】
1.(甘肃玉门·九年级期末)某商场一种商品的进价为每件30元,售价为每件40元.每天可以销售48件,为尽快减少库存,商场决定降价促销.
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元,求两次下降的百分率;
(2)经调查,若该商品每降价0.5元,每天可多销售4件,那么每天要想获得512元的利润,每件应降价多少元?
【答案】(1)两次下降的百分率为10%
(2)每天要想获得512元的利润,每件应降价2元
【解析】
【分析】
(1)设每次降价的百分率为x,(1﹣x)2为两次降价后的百分率,40元降至32.4元就是方程的等量条件,列出方程求解即可;
(2)设每天要想获得512元的利润,每件商品应降价y元,由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可.
(1)
解:设每次降价的百分率为x.
40×(1﹣x)2=32.4
x=10%或190%(190%不符合题意,舍去)
答:该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元,两次下降的百分率为10%;
(2)
解:设每天要想获得512元的利润,且更有利于减少库存,则每件商品应降价y元,
由题意,得
解得:
答:要使商场每月销售这种商品的利润达到512元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价2元.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用,关键是根据题意找到等式两边的平衡条件,这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系,列出方程,解答即可.
【专题训练】
选择题
1.(河北·保定市第十七中学九年级阶段练习)有x支球队参加篮球比赛,共比赛了21场,每两队之间都比赛一场,则下列方程中符合题意的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先列出x支篮球队,每个球队都要与别的球队之间都比赛一场,则共可以比赛
场,再由两个队之间的比赛只能算作一场即可得到答案.
【详解】
解:由题意得:
;
即
故选C.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用,熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键.
2.(陕西·西北工业大学附属中学九年级期末)在某次冠状病毒感染中,有3只动物被感染,后来经过两轮感染后共有363只动物被感染.若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物,则下面所列方程正确的是( )
A.3x(x+1)=363 B.3+3x+3x2=363
C.3(1+x)2=363 D.3+3(1+x)+3(1+x)2=363
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知经过一轮感染后3只动物染给了
只动物,此时共有
只动物被感染.再经过一轮感染后,这
只动物又染给了
只动物,此时共有
只动物被感染,再根据等量关系,列出等式,整理即可.
【详解】
设每轮感染中平均一只动物会感染x只动物,
则根据题意可列方程:
.
故选C.
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用.根据题意找出等量关系,列出等式是解答本题的关键.
3.(河北保定·九年级期末)某公司今年10月的营业额为2500万元,按计划第四季度的总营业额要达到9100万元,求该公司11,12两个月营业额的月均增长率,设该公司11,12两个月营业额的月均增长率为x,则根据题意可列的方程为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设该公司11,12两个月营业额的月均增长率为x,根据第四季度的总营业额要达到9100万元,列方程即可得到结论.
【详解】
解:设该公司11,12两个月营业额的月均增长率为x,
由题意得
,
故选A.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用.解题的关键在于根据题意列正确的方程.
4.(广东韶关·九年级期末)某网店销售一批运动装,平均每天可销售20套,每套盈利45元;为扩大销售量,增加盈利,采取降价措施,一套运动服每降价1元,平均每天可多卖4套,若网店要获利2100元,设每套运动装降价
元,则列方程正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设每套运动装降价x元,则每天的销售量为(20+4x)件,根据总利润=每件的利润×销售数量,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.
【详解】
解:根据题意得每套运动装降价x元,则每天的销售量为(20+4x)件,
依题意,得:(45-x)(20+4x)=2100.
故选:A.
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 1
二、填空题
5.(吉林吉林·九年级期末)已知3人患流感,经过两轮传染后,患流感总人数为108人,则平均每人每轮感染_____个人.
【答案】5
【解析】
【分析】
设1个人传染x人,第一轮共传染(x+1)人,第二轮共传染(x+1)2人,由此列方程解答,再进一步求问题的答案.
【详解】
解:设每个人传染x人,根据题意列方程得,
3(x+1)2=108,
解得:x1=5,x2=
8(不合题意,舍去),
故答案为:5.
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用,解答此题的关键是找出题目中蕴含的数量关系:1个人传染x人,n轮共传染(x+1)n人.
6.(黑龙江密山·九年级期末)凌源市“百合节”观赏人数逐年增加,据有关部门统计,2018年约为5万人次,2020年约为6.8万人次,设观赏人数年均增长率为x,则可列方程 _____.
【答案】
【解析】
【分析】
设观赏人数年均增长率为x,根据“2018年约为5万人次,2020年约为6.8万人次,”列出方程,即可求解.
【详解】
解:设观赏人数年均增长率为x,根据题意得:
.
故答案为:
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用,明确题意,准确得到等量关系是解题的关键.
7.(安徽·休宁县洪里初级中学九年级期中)某商品进价为3元,当售价为x元时可销售商品(x+3)个,此时获利160元,则该商品售价为____________元.
【答案】13
【解析】
【分析】
由题意直接根据“获利是160元”,即销售商品的个数×每件的盈利=获利,可列出方程,解方程即可求解.
【详解】
解:根据题意得(x-3)(x+3)=160
解方程得x=13或x=-13(负值舍去)
所以该商品的售价为13元.
故答案为:13.
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用,找到关键描述语,找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键.
8.(上海市浦东模范中学八年级期末)已知一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4,则这个两位数是___.
【答案】84
【解析】
【分析】
等量关系为:个位上的数字与十位上的数字的平方和=这个两位数﹣4,把相关数值代入求得整数解即可.
【详解】
设十位上的数字为x,则个位上的数字为(x﹣4).可列方程为:
x2+(x﹣4)2=10x+(x﹣4)﹣4
解得:x1=8,x2=1.5(舍),
∴x﹣4=4,
∴10x+(x﹣4)=84.
答:这个两位数为84.
故答案为:84
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用,根据题意列出方程是解题的关键.
三、解答题
9.(湖北·荆州市荆南中学九年级期中)在一次聚会上,规定每两个人见面必须握1次手.
(1)若参加聚会的人数为6,则共握手次,若参加聚会的人数为n(n为正整数),则共握手次;
(2)若参加聚会的人共握手36次,请求出参加聚会的人数?
【答案】(1)15;
;(2)参加聚会的有9人.
【解析】
【分析】
(1)根据每一人与其它五人握手,可得6×5次,其中每两人重复一次握手,共有
,根据握手次数=参会人数×(参会人数-1)÷2,即可求出结论;
(2)设有x人参加聚会,由(1)的结论结合共握手36次,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论
【详解】
解:(1)若参加聚会的人数为
,则共握手
(次);
参加聚会的人数为
(
为正整数),则共握手
次.
故答案为:15;
;
(2)设有
人参加聚会,根据题意得,
,
整理得
,
因式分解得
,
解得:
,
(不合题意,舍去),
答:参加聚会的有9人.
【点睛】
本题考查了有理数的乘法,列代数式,一元二次次方程的应用,解题的关键是:(1)根据各数量之间的关系,列式计算;(2)根据各数量之间的关系,用含n的代数式表示出握手总数;(3)找准等量关系,正确列出一元二次方程.
10.(浙江·九年级专题练习)卫生部疾病控制专家经过调研提出,如果
人传播
人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎,那么这个传播者就可以称为“超级传播者”
如果某镇有
人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者,假设每轮传染的人数相同,经过两轮传染后共有
人成为新冠肺炎病毒的携带者.
(1)经过计算,判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗?请先写出结论,再说明理由;
(1)若不加以控制传染渠道,经过
轮传染,共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者?
【答案】(1)最初的这名病毒携带者是“超级传播者”,见解析;(2)若不加以控制传染渠道,经过
轮传染,共有
人成为新冠肺炎病毒的携带者
【解析】
【分析】
最初的这名病毒携带者是“超级传播者”,设每人每轮传染的人数为
人,则第一轮传染了
人,第二轮传染了
人,根据经过两轮传染后共有
人成为新冠肺炎病毒的携带者,即可得出关于
的一元二次方程,解之将其正值与
比较后即可得出结论;
利用经过
轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数
经过两轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数
经过两轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数
每人每轮传染的人数,即可求出结论.
【详解】
解:
最初的这名病毒携带者是“超级传播者”,理由如下:
设每人每轮传染的人数为
人,则第一轮传染了
人,第二轮传染了
人,
依题意得:
,
解得:
不合题意,舍去
.
,
最初的这名病毒携带者是“超级传播者”.
人
.
答:若不加以控制传染渠道,经过
轮传染,共有
人成为新冠肺炎病毒的携带者.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
11.(湖南·长沙市第二十一中学八年级期末)在国家的宏观调控下,长沙市的商品房成交价由今年3月分的12100元
下降到5月分的10000元
(1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少?(精确到百分之一)
(2)如果房价继续回落,按此降价的百分率,你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破8000元
?请说明理由.
【答案】(1)
(2)否,理由见解析
【解析】
【分析】
(1)设4、5两月平均每月降价的百分率是x,那么4月份的房价为12100(1-x),5月份的房价为12100(1-x)2,然后根据5月份的10000元/m2即可列出方程解决问题;
(2)根据(1)的结果可以计算出今年7月份商品房成交均价,然后和8000元/m2进行比较即可作出判断.
(1)
解:设百分率为x
,
(舍)
答:4、5两月平均每月降价的百分率是
.
(2)
否,理由如下:
∵
(元)>8000元
∴预测到7月份该市的商品房成交均价不会跌破8000元
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用,和实际生活结合比较紧密,正确理解题意,找到关键的数量关系,然后列出方程是解题的关键.
12.(浙江宁波·模拟预测)某花店于今年年初以每株5元的进价购进一批多肉植物进行出售,每株售价定为10元.已知1月的销售量为256株,2、3月销售量持续走高,3月的销售量达到400株.假设4月的销售量仍保持前两个月的平均月增长率.
(1)求销售量的平均月增长率和4月的销售量;
(2)4月,花店将多肉植物按原售价销售一半后,决定将剩余的一半采用降价的方式出售以回馈顾客.要使4月销售多肉植物所获的利润不低于3月销售多肉植物所获的利润,每株多肉植物最多降价多少元?
【答案】(1)销售量的平均月增长率为25%,4月的销售量是500株;
(2)每株多肉植物最多降价2元
【解析】
【分析】
(1)设销售量的平均月增长率为
,根据3月的销售量达到400株列方程
,即可解得答案;
(2)设每株多肉植物降价
元,3月份销售多肉植物所获的利润为
(元
,可得
,即可解得答案.
(1)
解:设销售量的平均月增长率为
,则4月份销售量为
株,根据题意得:
,
解得
(负值已舍去),
,
答:销售量的平均月增长率为
,4月的销售量是500株;
(2)
解:设每株多肉植物降价
元,
3月份销售多肉植物所获的利润为
(元
,根据题意得:
,
解得
,
答:每株多肉植物最多降价2元.
【点睛】
本题考查一元二次方程及一次不等式的应用,解题的关键是读懂题意,找出等量关系和不等关系列式解决问题.
13.(内蒙古包头·九年级期末)某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,一月份售出32台,二、三月份这种台灯销售量连续增长,其中三月份售出50台.
(1)求二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率;
(2)从四月份起商场决定采取降价促销措施,调查发现,在三月份销量的基础上,如果这种台灯的售价每降价2元,那么月销售量增加4台.当每台降价多少元时,四月份销售这种台灯可获利348元?
【答案】(1)二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为25%
(2)当每台降价4元时,四月份销售这种台灯可获利348元
【解析】
【分析】
(1)设二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为x,即可得出关于x的一元二次方程,求解即可;
(2)设每台降价y元,则四月份可售出
台,即可得出关于y的一元二次方程,求解即可.
(1)
设二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为x,
依题意,得:
,
解得:
,
(不合题意,舍去).
答:二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为25%.
(2)
设每台降价y元,则四月份可售出
台,
依题意,得:
,
解得:
,
(不合题意,舍去).
答:当每台降价4元时,四月份销售这种台灯可获利348元.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
14.(陕西秦都·九年级期末)解读诗词
通过列方程算出周瑜去世时的年龄
:大江东去浪淘尽,千古风流数人物,而立之年督东吴,早逝英年两位数,十位恰小个位三,个位平方与寿符,哪位学子算得快,多少年华属周瑜?诗词大意:周瑜三十岁当东吴都督,去世时的年龄是两位数,十位数字比个位数字小三,个位数字的平方等于他去世时的年龄.
【答案】周瑜去世时的年龄为
岁
【解析】
【分析】
设周瑜去世时的年龄的个位数字为
,则十位数字为
根据题意建立方程
求出其值即可.
【详解】
解:设周瑜去世时的年龄的个位数字为
,则十位数字为
,依题意得:
,
解得
,
,
当
时,
,(不合题意,舍去),
当
时,
(符合题意),
答:周瑜去世时的年龄为
岁.
【点睛】
本题是一道数字问题的应用题,考查了列一元二次方程解实际问题的运用,在解答中根据题意设未知数,列出正确的方程是解题的关键.
15.(重庆·西南大学附中九年级开学考试)某零食店销售牛轧糖、雪花酥2种糖果,如果用800元可购买5千克牛轧糖和4千克雪花酥,用1000元可购买10千克牛轧糖和2千克雪花酥.
(1)求牛轧糖、雪花酥每千克的价格分别为多少元?
(2)已知该零食店在12月共售出牛轧糖50千克、雪花酥30千克.春节将近,1月份超市将牛轧糖每千克的售价提升
元,雪花酥的价格不变,结果与12月相比牛轧糖销量下降了
千克,雪花酥销量上升
千克,但牛轧糖的销量仍高于雪花酥,销售总额比12月多出250元,求
的值.
【答案】(1)每千克牛轧糖的价格为80元,每千克雪花酥的价格为100元;
(2)10.
【解析】
【分析】
(1)根据题意,设每千克牛轧糖为x元,每千克雪花酥为y元,然后列出二元一次方程组,解方程组即可;
(2)根据题意,由销售总额比12月多出250元,列出关于m的一元二次方程,解方程即可得到答案.
(1)
解:根据题意,设每千克牛轧糖为x元,每千克雪花酥为y元,则
,解得:
,
∴每千克牛轧糖的价格为80元,每千克雪花酥的价格为100元;
(2)
解:根据题意,
12月的销售总额为:
(元),
∴
,
解得:
或
;
∵
,
解得:
,
∴
;
∴
的值为10.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用,二元一次方程组的应用,一元一次不等式的应用,解题的关键是熟练掌握题意,正确的列出方程,从而进行解题.
16.(山东济阳·九年级期中)某商场服装部销售一种名牌衬衫,平均每天可售出30件,每件盈利40元.为了增加销量,减少库存,商场决定降价销售,经调查,每件降价1元时,平均每天可多卖出2件.
(1)若降价3元,则平均每天销售数量为______件;
(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元?
【答案】(1)36
(2)每件商品降价25元时,该商店每天销售利润为1200元.
【解析】
【分析】
(1)根据题意可得平均每天多卖出2×3=6(件),然后问题可求解;
(2)设每件应降价x元,用x来表示出商场所要求的每件盈利的数额量,然后根据盈利1200元来列出方程.
(1)
解:由题意得:30+3×2=36(件);
故答案为36;
(2)
解:设每件应降价x元,由题意得:
,
解得:
,
当x=0时,能卖出30件;当x=25时,能卖出80件;
因为增加销量,减少库存,所以应降价25元;
答:每件商品降价25元时,该商店每天销售利润为1200元.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用,熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键.
17.(成都市龙泉驿区四川师范大学东区上东学校九年级期末)某商店销售一款工艺品,每件的成本是30元,为了合理定价,投放市场进行试销:据市场调查,销售单价是40元时,每天的销售量是80件,而销售单价每提高1元,每天就少售出2件,但要求销售单价不得超过55元.
(1)若销售单价为每件45元,求每天的销售利润;
(2)要使每天销售这种工艺品盈利1200元,那么每件工艺品售价应为多少元?
【答案】(1)1050元
(2)50元
【解析】
【分析】
(1)根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量,即可求出结论;
(2)设每件工艺品售价为x元,则每天的销售量是[80-2(x-40)]件,根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.
【小题1】
解:(45-30)×[80-(45-40)×2]=1050(元).
答:每天的销售利润为1050元.
【小题2】
设每件工艺品售价为x元,则每天的销售量是[80-2(x-40)]件,
依题意,得:(x-30)[80-2(x-40)]=1200,
整理,得:x2-110x+3000=0,
解得:x1=50,x2=60(不合题意,舍去).
答:每件工艺品售价应为50元.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
18.(重庆荣昌·九年级期末)因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好,深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一.深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2018年春节长假期间,共接待游客达20万人次,预计在2020年春节长假期间,将接待游客达28.8万人次
(1)求东部华侨城景区2018至2020年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率.
(2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶,每杯成本价为6元,根据销售经验,在旅游旺季,若每杯定价25元,则平均每天可销售300杯,若每杯价格降低1元,则平均每天可多销售30杯.2020年春节期间,店家决定进行降价促销活动,则当每杯售价定为多少元时,既能让顾客获得最大优惠,又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额?
【答案】(1)年平均增长率为
(2)当每杯售价定为20元时,既能让顾客获得最大优惠,又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额
【解析】
【分析】
(1)设年平均增长率为x,根据东部华侨城景区在2018年春节长假期间,共接待游客达20万人次,预计在2020年春节长假期间,将接待游客达28.8万人次.列出方程求解即可;
(2)设当每杯售价定为y元时,店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额,由题意得关于y的方程,解方程并对方程的解,作出取舍即可.
(1)
设年平均增长率为
,由题意得:
解得:
,
(舍)
答:年平均增长率为20%;
(2)
设当每杯售价定为y元时,店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额,由题意得:
整理得:
解得:
让顾客获得最大优惠,y=20
答:当每杯售价定为20元时,既能让顾客获得最大优惠,又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额.
【点睛】
本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用,理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键.
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