专题04一元二次方程根与系数的关系
1．（广东汕尾·九年级期末）关于x 的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
(1)求k 的取值范围；
(2)请问是否存在实数k，使得x1+x2＝1﹣x1x2成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）根据关于x 的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根，≥0，代入计算求出k的取值范围．
（2）根据根与系数的关系，
，
，根据题意列出等式，求出k的值，根据k的值是否在取值范围内做出判断．
(1)
解：∵关于x 的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根
根据题意得
，
解得
．
(2)
解：存在．
根据根与系数关系
，
，
∵x1+x2＝1﹣x1x2，
∴
，
解得
，
∵
．
∴存在实数k=-3，使得x1+x2＝1﹣x1x2．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解一元二次方程，要注意根据k的取值范围来进取舍．
【专题训练】
选择题
1．（广东新兴·九年级期末）若
，
是一元二次方程
的两个根，则
，
的值分别是（）
A．1和6 B．5和
C．
和6 D．5和6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】
解：∵
，
是一元二次方程
的两个根，
∴x1+x2=5，x1x2=6，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-
，x1•x2=
．
2．（湖南龙山·九年级期末）方程
的两个根是
，
，根据求根公式，则
和
分别为（）
A．
，
B．
，
C．
D．
，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据
的两个根是
，
，则
计算选择即可．
【详解】
∵方程
的两个根是
，
，
∴
,
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．
3．（广东惠城·九年级期末）已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则下列选项错误的是（ ）
A．m+n＝﹣2 B．mn＝﹣5 C．m2+2m﹣5＝0 D．m2+2n﹣5＝0
【答案】D
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系及一元二次方程的解的定义求出答案即可判断．
【详解】
解：∵m、n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣5，m+n＝﹣2，m2+2m﹣5＝0，n2+2n﹣5＝0，
∴选项A、B、C正确，选项D错误；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根与系数的关系，本题属于基础题型．
4．（天津·耀华中学九年级期中）若α，β是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）
A．2021 B．2019 C．﹣2021 D．4042
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的根与系数关系α+β=
解答即可．
【详解】
解：∵α，β是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，
∴α+β=－2，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α=2021，
∴α2+3α+β=α2+2α+α+β=2021－2=2019，
故选：B．
【点睛】
本题考查代数式求值、一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数关系，熟记一元二次方程的根与系数关系α+β=
是解答的关键．
5．（广东·深圳市龙岗区布吉中学九年级阶段练习）关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（ ）
A．m＝－2 B．m＝-3 C．m＝3或m＝－2 D．m＝－3或m＝2
【答案】A
【解析】
【分析】
设x1，x2是x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根，由根与系数的关系得x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2+m，再由x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2代入即可；
【详解】
解：设x1，x2是x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根，
∴Δ＝﹣4m≥0，
∴m≤0，
∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2+m，
∵两个实数根的平方和为12，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝4m2﹣2m2﹣2m＝2m2﹣2m＝12，
∴m＝3或m＝﹣2，
∴m＝﹣2．
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是牢记根与系数的关系，灵活运用完全平方公式．
6．（贵州毕节·九年级期末）已知
是关于x的一元二次方程
的两个不相等的实数根，且满足
，则m的值为（）
A．
或1 B．
或3 C．
D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，可得
，且
，从而得到
，再由
，可得
，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：
，且
，
∴
，
解得：
，
∵
，
∴
，即
，
解得：
或
，
∴m的值为3．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键．
二、填空题
7．（广东禅城·九年级期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则x的值＝_____．
【答案】
或
【解析】
【分析】
设一元二次方程
的另一个解为
，根据根与系数的关系可得，
，即可求解．
【详解】
解：设一元二次方程
的另一个解为
，
根据根与系数的关系可得，
，解得
，
则x的值为
或
，
故答案为：
或
【点睛】
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
8．（江苏·射阳县第六中学九年级期末）已知
是方程
的两个实数根，则x1x2＝____．
【答案】-2
【解析】
【分析】
直接利用根与系数的关系得到x1x2的值．
【详解】
解：∵x1、x2为一元二次方程x2-3x-2=0的两根，
∴x1x2=-2，
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-
，x1•x2=
．
9．（成都市龙泉驿区四川师范大学东区上东学校九年级期末）设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为 _____．
【答案】-2020
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系求出a+b，ab的值，原式化简后代入计算即可求出值．
【详解】
解：∵a、b是方程x2+x-2022=0的两个实数根，
∴a+b=-1，ab=-2022，
则原式=ab-a-b+1=ab-（a+b）+1=-2022+1+1=-2020．
故答案为：-2020．
【点睛】
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
10．（广东·兴宁市实验学校九年级期末）若m、n是方程x²－3x－1=0的解，则m²－4m－n的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程根的定义得到
，则
可变形为
，再根据根与系数的关系得到
，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：
是方程
的解，
，
，
，
、
是方程
的解，
，
．
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握若
，
是一元二次方程
的两根时，
，
．
11．（广东揭西·九年级期末）若一元二次方程
的两根分别为m与n，则
_____．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据根与系数的关系得
，mn=
2，再把原式变形为
，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵一元二次方程
的两根分别为m与n，
根据根与系数的关系得
，mn=
2，
所以原式=
．
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=
，x1x2=
．
12．（河南淇县·九年级期末）如果α、β是一元二次方程x2+3x-2=0的两个根，则
=_________．
【答案】2026
【解析】
【分析】
因为α，β是一元二次方程x2+3x-2=0的两个根，所以a2+3a-2=0即a2+3a=2，a+β=-3，整体代入即可解决问题．
【详解】
解：∵α，β是一元二次方程x2+3x-2=0的两个根，
∴α2+3α-2=0即α2+3α=2，a+β=-3，
∵α2+2α-β+2021=（α2+3α）-（α+β）+2021=2-（-3）+2021=2026，
∴α2+2α-β+2021=2026，
故答案为：2026．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则有x1+x2=-
，x1x2=
．
三、解答题
13．（广东海珠·九年级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
【答案】(1)m≤
(2)-1
【解析】
【分析】
（1）利用判别式得到Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=2m-4，（x1-3）（x2-3）=m2-1变形得到x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，代入得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【小题1】
解：根据题意得Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，
解得m≤
；
【小题2】
根据题意得x1+x2=1，x1x2=2m-4，
∵（x1-3）（x2-3）=m2-1，
∴x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，
∴2m-4-3×1+9=m2-1，
∴m2-2m-3=0，
解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）．
故m的值是-1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=
，x1•x2=
．也考查了根的判别式．
14．（江西乐平·九年级期末）已知关于x的方程
有两个实数根
和
．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若
，
满足
，求实数m的值
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出关于
的一元一次不等式，解不等式即可得出
的取值范围；
（2）根据根与系数的关系找出
，
，结合
即可得出关于
的一元二次方程，解方程即可得出
的值，结合（1）的结论即可得出
的值．
(1)
解：
关于
的方程
有两个实数根
和
．
△
，
．
(2)
解：
，
，
，
，即
，
解得：
或
，
，
．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是根据方程解的情况结合根的判别式得出关于
的不等式．
15．（江西九江·九年级期末）已知关于x的一元二次方程x2−(2m−2)x+(m2−2m)=0．
(1)请说明该方程实数根的个数情况；
(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且(x1+1)⋅(x2+1)=8，求m的值．
【答案】(1)方程有两个不相等的实数根
(2)m=3或-3
【解析】
【分析】
（1）根据根的判别式先求出Δ的值，再判断即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=2m-2，x1•x2=m2-2m，代入计算即可求出答案．
(1)
解：∵a=1，b=−(2m−2)，c= m2−2m，
∴
=
2-4(m2-2m)=4m2-8m+4-4m2+8m=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)
解：∵(x1+1)⋅(x2+1)=8，
整理得x1x2+(x1+x2)+1=8，
∵x1+x2=2m-2，x1x2=m2-2m，
∴m2-2m+2m-2+1=8，
∴m2=9，
∴m=3或m=-3．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法．
16．（广东·惠州市惠阳区第一中学九年级期中）已知关于x的一元二次方程
(1)求证：不论k为何实数，方程总有实数根；
(2)若方程的两实数根分别为
，
，且满足
，求k的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）列出一元二次方程根的判别式，通过配方，可得
，进而即可得到结论；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得
，
，结合
，可得关于k的方程，进而解方程即可求解．
(1)
∵
，
∵
，
∴
，
∴无论
取何值，该方程总有实数根；
(2)
根据题意得：
，
，
，
即
即
解得
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握
的根
满足
，
，是解题的关键．
17．（山东安丘·九年级期末）已知关于
的方程
有两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为x1、x2，且满足
求k的值．
【答案】(1)
(2)k=2
【解析】
【分析】
（1）由原方程有两个实数根，可得
再解不等式即可得到答案；
（2）先根据
结合一元二次方程根与系数的关系判断
再利用
，得到关于
的一元二次方程，再解方程即可并检验即可.
(1)
解：∵原方程有两个实数根，
∴
整理得：
解得：
(2)
解：∵
∴x1+x2=k+1>0，
∴x1>0，x2>0
∵
，
∴x1+x2=4x1x2﹣5
∴k+1=4（
k2+1）-5
∴k2﹣k-2=0
∴k=-1或k=2
∵k≥
∴k=2
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，利用根与系数的关系结合
的取值范围确定
是解本题的关键.
18．（广东南沙·九年级期末）已知关于x的方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0．
(1)若方程有两个实数根，求a的取值范围．
(2)若x＝2是方程的一个根，求另一个根．
(3)在（1）的条件下，试判断直线y＝（2a﹣3）x﹣a+5能否过点A（﹣1，3），并说明理由．
【答案】(1)
且
(2)
(3)能，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义，以及根的判别式进行判断即可
（2）根据方程的解的定义求得
，进而根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；
(1)
关于x的方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0有两个实数根，
则
，
a的取值范围为：
且
(2)
x＝2是方程的一个根，
解得
设另一根为
，则
另一个根为
(3)
若y＝（2a﹣3）x﹣a+5过点A（﹣1，3），
则
解得
且
y＝（2a﹣3）x﹣a+5能经过点A（﹣1，3），
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，根的判别式，一函数的性质是解题的关键．