专题04一元二次方程根与系数的关系

【典型例题】

1．（广东汕尾·九年级期末）关于x 的方程x²﹣2（k﹣1）x+k²＝0有两个实数根x₁，x₂．

(1)求k 的取值范围；

(2)请问是否存在实数k，使得x₁+x₂＝1﹣x₁x₂成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，

【解析】

【分析】

（1）根据关于x 的方程x²﹣2（k﹣1）x+k²＝0有两个实数根，≥0，代入计算求出k的取值范围．

（2）根据根与系数的关系， ， ，根据题意列出等式，求出k的值，根据k的值是否在取值范围内做出判断．

(1)

解：∵关于x 的方程x²﹣2（k﹣1）x+k²＝0有两个实数根

根据题意得 ，

解得 ．

(2)

解：存在．

根据根与系数关系 ， ，

∵x₁+x₂＝1﹣x₁x₂，

∴ ，

解得 ，

∵ ．

∴存在实数k=-3，使得x₁+x₂＝1﹣x₁x₂．

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解一元二次方程，要注意根据k的取值范围来进取舍．

【专题训练】

1. 选择题

1．（广东新兴·九年级期末）若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 ， 的值分别是（）

A．1和6 B．5和 C． 和6 D．5和6

【答案】D

【解析】

【分析】

根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．

【详解】

解：∵ ， 是一元二次方程 的两个根，

∴x₁+x₂=5，x₁x₂=6，

故选：D．

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=- ，x₁•x₂= ．

2．（湖南龙山·九年级期末）方程 的两个根是 ， ，根据求根公式，则 和 分别为（）

A． ， B． ， C． D． ，

【答案】B

【解析】

【分析】

根据 的两个根是 ， ，则 计算选择即可．

【详解】

∵方程 的两个根是 ， ，

∴ ,

故选B．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．

3．（广东惠城·九年级期末）已知m，n是方程x²+2x﹣5＝0的两个实数根，则下列选项错误的是（　　）

A．m+n＝﹣2 B．mn＝﹣5 C．m²+2m﹣5＝0 D．m²+2n﹣5＝0

【答案】D

【解析】

【分析】

利用根与系数的关系及一元二次方程的解的定义求出答案即可判断．

【详解】

解：∵m、n是方程x²+2x﹣5＝0的两个实数根，

∴mn＝﹣5，m+n＝﹣2，m²+2m﹣5＝0，n²+2n﹣5＝0，

∴选项A、B、C正确，选项D错误；

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根与系数的关系，本题属于基础题型．

4．（天津·耀华中学九年级期中）若α，β是方程x²+2x﹣2021＝0的两个实数根，则α²+3α+β的值为（　　）

A．2021 B．2019 C．﹣2021 D．4042

【答案】B

【解析】

【分析】

根据一元二次方程的根与系数关系α+β= 解答即可．

【详解】

解：∵α，β是方程x²+2x﹣2021＝0的两个实数根，

∴α+β=－2，α²+2α﹣2021＝0，即α²+2α=2021，

∴α²+3α+β=α²+2α+α+β=2021－2=2019，

故选：B．

【点睛】

本题考查代数式求值、一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数关系，熟记一元二次方程的根与系数关系α+β= 是解答的关键．

5．（广东·深圳市龙岗区布吉中学九年级阶段练习）关于x的一元二次方程x²＋2mx＋m²＋m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（　　）

A．m＝－2 B．m＝-3 C．m＝3或m＝－2 D．m＝－3或m＝2

【答案】A

【解析】

【分析】

设x₁，x₂是x²+2mx+m²+m＝0的两个实数根，由根与系数的关系得x₁+x₂＝﹣2m，x₁•x₂＝m²+m，再由x₁²+x₂²＝（x₁+x₂）²﹣2x₁•x₂代入即可；

【详解】

解：设x₁，x₂是x²+2mx+m²+m＝0的两个实数根，

∴Δ＝﹣4m≥0，

∴m≤0，

∴x₁+x₂＝﹣2m，x₁•x₂＝m²+m，

∵两个实数根的平方和为12，

∴x₁²+x₂²＝（x₁+x₂）²﹣2x₁•x₂＝4m²﹣2m²﹣2m＝2m²﹣2m＝12，

∴m＝3或m＝﹣2，

∴m＝﹣2．

故选：A．

【点睛】

本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是牢记根与系数的关系，灵活运用完全平方公式．

6．（贵州毕节·九年级期末）已知 是关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，则m的值为（）

A． 或1 B． 或3 C． D．3

【答案】D

【解析】

【分析】

根据一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，可得 ，且 ，从而得到 ，再由 ，可得 ，即可求解．

【详解】

解：根据题意得： ，且 ，

∴ ，

解得： ，

∵ ，

∴ ，即 ，

解得： 或 ，

∴m的值为3．

故选：D

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键．

二、填空题

7．（广东禅城·九年级期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x²＋mx＋2＝0的一个解，则x的值＝_____．

【答案】 或

【解析】

【分析】

设一元二次方程 的另一个解为 ，根据根与系数的关系可得， ，即可求解．

【详解】

解：设一元二次方程 的另一个解为 ，

根据根与系数的关系可得， ，解得 ，

则x的值为 或 ，

故答案为： 或

【点睛】

此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．

8．（江苏·射阳县第六中学九年级期末）已知 是方程 的两个实数根，则x₁x₂＝____．

【答案】-2

【解析】

【分析】

直接利用根与系数的关系得到x₁x₂的值．

【详解】

解：∵x₁、x₂为一元二次方程x²-3x-2=0的两根，

∴x₁x₂=-2，

故答案为：-2．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=- ，x₁•x₂= ．

9．（成都市龙泉驿区四川师范大学东区上东学校九年级期末）设a，b是方程x²+x﹣2022＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为 _____．

【答案】-2020

【解析】

【分析】

利用根与系数的关系求出a+b，ab的值，原式化简后代入计算即可求出值．

【详解】

解：∵a、b是方程x²+x-2022=0的两个实数根，

∴a+b=-1，ab=-2022，

则原式=ab-a-b+1=ab-（a+b）+1=-2022+1+1=-2020．

故答案为：-2020．

【点睛】

此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．

10．（广东·兴宁市实验学校九年级期末）若m、n是方程x²－3x－1=0的解，则m²－4m－n的值是_______．

【答案】

【解析】

【分析】

先根据一元二次方程根的定义得到 ，则 可变形为 ，再根据根与系数的关系得到 ，然后利用整体代入的方法计算．

【详解】

解： 是方程 的解，

，

，

，

、 是方程 的解，

，

．

故答案为： ．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握若 ， 是一元二次方程 的两根时， ， ．

11．（广东揭西·九年级期末）若一元二次方程 的两根分别为m与n，则 _____．

【答案】

【解析】

【分析】

先根据根与系数的关系得 ，mn= 2，再把原式变形为 ，然后利用整体代入的方法计算．

【详解】

解：∵一元二次方程 的两根分别为m与n，

根据根与系数的关系得 ，mn= 2，

所以原式= ．

故答案为： ．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂= ，x₁x₂= ．

12．（河南淇县·九年级期末）如果α、β是一元二次方程x²+3x-2=0的两个根，则 =_________．

【答案】2026

【解析】

【分析】

因为α，β是一元二次方程x²+3x-2=0的两个根，所以a²+3a-2=0即a²+3a=2，a+β=-3，整体代入即可解决问题．

【详解】

解：∵α，β是一元二次方程x²+3x-2=0的两个根，

∴α²+3α-2=0即α²+3α=2，a+β=-3，

∵α²+2α-β+2021=（α²+3α）-（α+β）+2021=2-（-3）+2021=2026，

∴α²+2α-β+2021=2026，

故答案为：2026．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁，x₂，则有x₁+x₂=- ，x₁x₂= ．

三、解答题

13．（广东海珠·九年级期末）已知关于x的一元二次方程x²﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．

(1)求m的取值范围；

(2)若方程的两根满足（x₁﹣3）（x₂﹣3）＝m²﹣1，求m的值．

【答案】(1)m≤

(2)-1

【解析】

【分析】

（1）利用判别式得到Δ=（-1）²-4（2m-4）≥0，然后解不等式即可；

（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=1，x₁x₂=2m-4，（x₁-3）（x₂-3）=m²-1变形得到x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=m²-1，代入得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．

【小题1】

解：根据题意得Δ=（-1）²-4（2m-4）≥0，

解得m≤ ；

【小题2】

根据题意得x₁+x₂=1，x₁x₂=2m-4，

∵（x₁-3）（x₂-3）=m²-1，

∴x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=m²-1，

∴2m-4-3×1+9=m²-1，

∴m²-2m-3=0，

解得m₁=-1，m₂=3（不合题意，舍去）．

故m的值是-1．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂= ，x₁•x₂= ．也考查了根的判别式．

14．（江西乐平·九年级期末）已知关于x的方程 有两个实数根 和 ．

(1)求实数m的取值范围；

(2)若 ， 满足 ，求实数m的值

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出关于 的一元一次不等式，解不等式即可得出 的取值范围；

（2）根据根与系数的关系找出 ， ，结合 即可得出关于 的一元二次方程，解方程即可得出 的值，结合（1）的结论即可得出 的值．

(1)

解： 关于 的方程 有两个实数根 和 ．

△ ，

．

(2)

解： ， ， ，

，即 ，

解得： 或 ，

，

．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是根据方程解的情况结合根的判别式得出关于 的不等式．

15．（江西九江·九年级期末）已知关于x的一元二次方程x²−(2m−2)x+(m²−2m)=0．

(1)请说明该方程实数根的个数情况；

(2)如果方程的两个实数根为x₁，x₂，且(x₁+1)⋅(x₂+1)=8，求m的值．

【答案】(1)方程有两个不相等的实数根

(2)m=3或-3

【解析】

【分析】

（1）根据根的判别式先求出Δ的值，再判断即可；

（2）根据根与系数的关系得出x₁+x₂=2m-2，x₁•x₂=m²-2m，代入计算即可求出答案．

(1)

解：∵a=1，b=−(2m−2)，c= m²−2m，

∴ = ²-4(m²-2m)=4m²-8m+4-4m²+8m=4＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

(2)

解：∵(x₁+1)⋅(x₂+1)=8，

整理得x₁x₂+(x₁+x₂)+1=8，

∵x₁+x₂=2m-2，x₁x₂=m²-2m，

∴m²-2m+2m-2+1=8，

∴m²=9，

∴m=3或m=-3．

【点睛】

本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法．

16．（广东·惠州市惠阳区第一中学九年级期中）已知关于x的一元二次方程

(1)求证：不论k为何实数，方程总有实数根；

(2)若方程的两实数根分别为 ， ，且满足 ，求k的值．

【答案】(1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）列出一元二次方程根的判别式，通过配方，可得 ，进而即可得到结论；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得 ， ，结合 ，可得关于k的方程，进而解方程即可求解．

(1)

∵

，

∵ ，

∴ ，

∴无论 取何值，该方程总有实数根；

(2)

根据题意得： ， ，

，

即

即

解得

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握 的根 满足 ， ，是解题的关键．

17．（山东安丘·九年级期末）已知关于 的方程 有两个实数根．

(1)求k的取值范围；

(2)若方程的两实数根分别为x₁、x₂，且满足 求k的值．

【答案】(1)

(2)k=2

【解析】

【分析】

（1）由原方程有两个实数根，可得 再解不等式即可得到答案；

（2）先根据 结合一元二次方程根与系数的关系判断 再利用 ，得到关于 的一元二次方程，再解方程即可并检验即可.

(1)

解：∵原方程有两个实数根，

∴

整理得：

解得：

(2)

解：∵

∴x₁+x₂=k+1>0，

∴x₁>0，x₂>0

∵ ，

∴x₁+x₂=4x₁x₂﹣5

∴k+1=4（ k²+1）-5

∴k²﹣k-2=0

∴k=-1或k=2

∵k≥

∴k=2

【点睛】

本题考查的是一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，利用根与系数的关系结合 的取值范围确定 是解本题的关键.

18．（广东南沙·九年级期末）已知关于x的方程ax²﹣（2a+1）x+a﹣2＝0．

(1)若方程有两个实数根，求a的取值范围．

(2)若x＝2是方程的一个根，求另一个根．

(3)在（1）的条件下，试判断直线y＝（2a﹣3）x﹣a+5能否过点A（﹣1，3），并说明理由．

【答案】(1) 且

(2)

(3)能，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据一元二次方程的定义，以及根的判别式进行判断即可

（2）根据方程的解的定义求得 ，进而根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；

(1)

关于x的方程ax²﹣（2a+1）x+a﹣2＝0有两个实数根，

则 ，

a的取值范围为： 且

(2)

x＝2是方程的一个根，

解得

设另一根为 ，则

另一个根为

(3)

若y＝（2a﹣3）x﹣a+5过点A（﹣1，3），

则

解得

且

y＝（2a﹣3）x﹣a+5能经过点A（﹣1，3），

【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，根的判别式，一函数的性质是解题的关键．