专题03一元二次方程定义及解法

【典型例题】

1．（江西南昌·九年级期末）解方程：

(1) ；(2) ．

【答案】(1) ，

(2) ，

【解析】

【分析】

（1）根据因式分解法解一元二次方程；

（2）根据公式法解一元二次方程．

(1)

解：原方程可化为

即 或 ，

∴ ， ；

(2)

解：∵ ， ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ， ．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

2．（广西玉林·九年级期末）已知关于x的方程mx²－（m＋2）x＋2＝0（m≠0）．

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程的两个根都是正整数，求整数m的值．

【答案】(1)见解析

(2)1或2

【解析】

【分析】

（1）根据一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式解答即可；

（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x₁＝1，x₂＝ ，由已知可得出 为不等于1的整数，结合m为整数即可求出m值．

(1)

由题意可知：m≠0，

∵Δ＝（m+2）²﹣8m

＝m²+4m+4﹣8m

＝m²﹣4m+4

＝（m﹣2）²，

∴Δ≥0，

故不论m为何值时，方程总有两个实数根；

(2)

解：由已知，得（x-1）（mx-2）=0，

∴x-1=0或mx-2=0，

∴ ， ，

当m为整数1或2时，x₂为正整数，

即方程的两个实数根都是正整数，

∴整数m的值为1或2

【点睛】

本题考查一元二次方程的根与其判别式的关系、解一元二次方程，熟知一元二次方程的根与其判别式的关系是解答的关键．

【专题训练】

1. 选择题

1．（江苏太仓·九年级期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）

A．y＝2x﹣1 B．x²＝6 C．5xy﹣1＝1 D．2（x+1）＝2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

【详解】

解：A．含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；

B．x²＝6是一元二次方程，故本选项符合题意；

C．含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；

D．是一元一次方程，故本选项不合题意；

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．

2．（江苏邳州·九年级期中）一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A．0、1、1 B．0、－1、1 C．1、－1、1 D．2、－1、1

【答案】C

【解析】

【分析】

根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．一元二次方程的一般形式是： （ 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax²叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

【详解】

一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是

故选C

【点睛】

本题考查了一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．

3．（广东禅城·九年级期末）一元二次方程x²﹣8x＋5＝0配方后可化为（）

A．（x﹣4）＝19 B．（x＋4）＝﹣19 C．（x﹣4）²＝11 D．（x＋4）²＝16

【答案】C

【解析】

【分析】

利用配方法求解即可．

【详解】

解：∵

∴

∴

故选C．

【点睛】

本题考查了配方法．解题的关键在于熟练使用配方法．

4．（安徽庐江·九年级期末）关于x的方程（a﹣1）x²﹣3x+2＝0是一元二次方程，则（　　）

A．a≠1 B．a＝1 C．a＞1 D．a≥1

【答案】A

【解析】

【分析】

根据一元二次方程的一般形式 知，二次项系数不为零即可求得a的取值范围．

【详解】

由题意知：

∴

故选：A

【点睛】

本题考查了一元二次方程的一般形式，特别注意二次项系数不为零．

5．（广东禅城·九年级期末）若一元二次方程x²＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（）

A．2 B．±2 C．±4 D．±2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据一元二次方程根的判别式与根的关系：当△=0时，方程有两个相等的实数根解答即可．

【详解】

解：∵一元二次方程x²＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，

∴△=m²－4×4=0，

解得：m=±4，

故选：C．

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式与根的关系，解答的关键是熟知一元二次方程根的判别式与根的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当当△＜0时，方程无实数根．

二、填空题

6．（广东惠城·九年级期末）方程x²＝3x的根是_____．

【答案】0或3

【解析】

【分析】

本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．

【详解】

解：x²＝3x

x²﹣3x＝0

即x（x﹣3）＝0

∴x＝0或3

故答案为：0或3

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．

7．（山东天桥·九年级期末）如果x＝1是关于x的一元二次方程x²－3x＋m＝0的一个实数根，那么m＝________；

【答案】2

【解析】

【分析】

把x=1代入方程x²-3x+m=0得1-3+m=0，然后解关于m的方程．

【详解】

解：把x=1代入方程x²-3x+m=0得1-3+m=0，

解得m=2．

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

8．（广东揭西·九年级期末）已知一元二次方程（m－2） ＋3x－4＝0，那么m的值是_____．

【答案】

【解析】

【分析】

根据一元二次方程的定义进行计算即可．

【详解】

解：由题意可得：

且 ，

且 ，

，

故答案为： ．

【点睛】

本题考查了绝对值，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，即 ．

9．（广东·深圳市龙岗区百合外国语学校三模）已知a是一元二次方程2x²﹣3x﹣5＝0的根，则代数式2a﹣ 的值为___．

【答案】3

【解析】

【分析】

把 代入已知方程可求得 ，然后等式两边都除以a整理即可．

【详解】

解 a是一元二次方程2x²﹣3x﹣5＝0的根，

把x＝a代入2x²﹣3x﹣5＝0得2a²﹣3a﹣5＝0，

所以2a²﹣3a＝5，

∵a≠0，

∴等式两边都除以a得 即 ．

故答案为：3．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，理解一元二次方程的根的定义和掌握整体代入法是解题关键．

10．（江苏太仓·九年级期末）已知关于x的方程x²﹣2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．

【答案】

【解析】

【分析】

根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）²﹣4×1×（k﹣1）＞0，然后解不等式即可．

【详解】

解：根据题意得Δ＝（﹣2）²﹣4×1×（k﹣1）＞0，

解得：k＜2．

故答案为：k＜2

【点睛】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b²−4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．

三、解答题

11．（福建长乐·九年级期末）解方程：

(1) ；(2) ．

【答案】(1)x₁=0，x₂=2；

(2) ，

【解析】

【分析】

（1）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；

（2）利用配方法求解即可．

(1)

解： ，

因式分解得：x(x-2)=0，

∴x=0或x-2=0，

解得x₁=0，x₂=2；

(2)

解：整理得：x²-2x=1，

配方得：x²-2x+1=1+1，即(x-1)²=2，

∴x-1= ，

解得x₁= ，x₂= ．

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

12．（山东崂山·九年级期末）解方程：

(1)4x(2x+1)＝3(2x+1)；(2)﹣3x²+4x+4＝0．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）因式分解法解一元二次方程即可；

（2）根据公式法解一元二次方程即可

(1)

(2)

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

13．（河南淇县·九年级期末）解下列方程：

(1) （配方法）(2) (适当方法）

【答案】(1)x₁=− ，x₂=−1

(2)x₁=3，x₂=6

【解析】

【分析】

（1）利用配方法求解即可；

（2）利用因式分解法求解即可．

(1)

解：移项得： ，

两边同时除以3得： ，

配方得： ，即 ，

开方得：x+ = 或x+ =− ，

解得：x₁=− ，x₂=−1；

(2)

解：移项得： ，

提公因式得： ，

∴x−3=0或2x−6−x=0，

∴x₁=3，x₂=6．

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

14．（江苏广陵·九年级期末）解方程：

(1) ．(2) ．

【答案】(1) ，

(2) ，

【解析】

【分析】

（1）用因式分解法解方程即可；

（2）用因式分解法解方程即可．

(1)

解： ，

，

，

， ．

(2)

解： ，

，

，

， ．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．

15．（江苏泗阳·九年级期中）解方程：

（1） （2） ．

【答案】（1） ， ；（2） ，

【解析】

【分析】

根据因式分解法解一元二次方程即可．

【详解】

（1）

解得

（2）

解得

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

16．（天津红桥·九年级期中）解下列关于x的方程．

(1)x²－5x＋1＝0；(2)（2x＋1）²－25＝0．

【答案】(1) ，

(2) ，

【解析】

【分析】

（1）利用公式法解方程即可得答案；

（2）利用直接开平方法解方程即可得答案．

(1)

x²－5x＋1＝0

∵ ， ， ．

∴ ．

∴方程有两个不等的实数根．

∴ ，即 ， ．

(2)

（2x＋1）²－25＝0

移项，得 ，

直接开平方得： ，

∴ ， ．

【点睛】

本题考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．

17．（湖南溆浦·九年级期末）解方程

(1) (2)

【答案】(1) ；

(2) ，

【解析】

【分析】

（1）原方程运用因式分解法求解即可；

（2）将方程整理为 ，再运用公式法求解即可．

(1)

解：

，

∴ ；

(2)

整理得，

这里

∴

∴

∴ ，

【点睛】

本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解答本题的关键．

18．（江苏宝应·九年级期中）解方程：

(1) ；(2) ．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据公式法解一元二次方程即可；

（2）根据因式分解法解一元二次方程即可．

(1)

(2)

解得

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

19．（江苏·南京市金陵汇文学校九年级期末）解下列一元二次方程：

(1) ；(2) ．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用因式分解法求解；

（2）利用直接开方法求解．

(1)

解： ，

，

解得： ；

(2)

解： ，

，

解得： ．

【点睛】

此题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握常见的解法：如公式法、因式分解法、配方法．

20．（广东省深圳市沙湾实验学校九年级期末）用适当的方法解下列方程：

(1)x²＋2x﹣5＝0；

(2) ；

(3)3x²﹣2＝4x；

(4)2x²﹣4x＋1＝0

【答案】(1)x₁=-1+ ，x₂=-1- ；

(2)x₁=x₂=- ；

(3)x₁= ，x₂= ；

(4)x₁=1+ ，x₂=1- ．

【解析】

【分析】

（1）利用配方法求解即可；

（2）利用因式分解法求解即可；

（3）利用公式法求解即可；

（4）利用配方法求解即可．

(1)

解：x²+2x-5=0，

移项得：x²+2x=5，

配方得：x²+2x+1=5+1，即（x+1）²=6，

∴x+1=± ，

∴x₁=-1+ ，x₂=-1- ；

(2)

解：x²+x+ =0，

（x+ ）²=0，

∴x+ =0，

∴x₁=x₂=- ；

(3)

解：3x²-2=4x，

3x²-4x-2=0，

∵a=3，b=-4，c=-2，

∴Δ=（-4）²-4×3×（-2）=40＞0，

∴x= ，

∴x₁= ，x₂= ；

(4)

解：2x²-4x+1=0，

x²-2x=- ，

x²-2x+1=- +1，即（x-1）²= ，

∴x-1=± ，

∴x₁=1+ ，x₂=1- ．

【点睛】

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

21．（广东·深圳市龙岗区布吉中学九年级阶段练习）解下列方程：

(1)（x－1）²＝4；

(2)x²＋3x－4＝0；

(3)（4x－3）（1－x）＝0；

(4)（x－1）²＝2（x－1）．

【答案】(1)x₁＝3，x₂＝－1

(2)x₁＝－4，x₂＝1

(3)x₁＝ ，x₂＝1

(4)x₁＝3，x₂＝1

【解析】

【分析】

（1）方程利用平方根定义开方即可求出解；

（2）方程利用因式分解法求出解即可；

（3）方程利用因式分解法求出解即可；

（4）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．

(1)

解：开平方得：x﹣1=±2，

解得：x₁=3，x₂=﹣1；

(2)

解：分解因式得：（x+4）（x﹣1）=0，

可得x+4=0或x﹣1=0，

解得：x₁=﹣4，x₂=1；

(3)

解：由原方程可知4x﹣3＝0或1﹣x＝0，

解得：x₁＝ ，x₂＝1；

(4)

解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣1﹣2）＝0，

解得：x₁＝3，x₂＝1．

【点睛】

此题考查了开平方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

22．（广东澄海·九年级期末）已知关于x的一元二次方程 ．

(1)若方程的一个根为 ，求m的值；

(2)若方程没有实数根，求m的取值范围．

【答案】(1)3

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据一元二次方程的根的定义把 代入 中进行求解即可；

（2）根据一元二次方程根的判别式求解即可．

(1)

解：把 代入

得： ，

解得： ；

(2)

解：∵方程 没有实数根，

∴ ，

解得： ．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，熟知相关知识是解题的关键．

23．（广东江城·九年级期末）已知关于x的方程x²﹣3x﹣m+3＝0总有两个不相等的实数根．

(1)求m的取值范围；

(2)若它的一个实数根是2，求m的值．

【答案】(1)

(2)1

【解析】

【分析】

（1）根据题意得出△＞0，代入求出即可；

（2）将方程的实数根2代入方程后求出m的值即可．

(1)

根据题意得Δ＝3²﹣4×（﹣m+3）＝4m﹣3＞0，

解得m＞ ；

(2)

∵方程的一个实数根是2，

∴可把x＝2代入原方程，得2²﹣3×2﹣m+3＝0，

解得m＝1．所以m的值为1．

【点睛】

本题考查了根的判别式和一元二次方程的解，解题的关键是：牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”

24．（内蒙古准格尔旗·九年级期末）已知关于x的方程 ．

(1)当k_________时，方程 是一元二次方程；

(2)若方程有两个实数根，求k的取值范围；

【答案】(1)≠1

(2)k≤5且k≠1

【解析】

【分析】

（1）根据一元二次方程的定义，进行判断即可，

（2）根据一元二次方程根的判别式大于或等于0求解即可

(1)

解：∵方程 是一元二次方程

∴k≠1

故答案为：≠1

(2)

解：∵方程 有两个实数根，

∴ ，且

解得 且

【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，理解定义以及一元二次方程根的判别式是解题的关键，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

25．（山东沂南·九年级期中）已知关于x的一元二次方程 ．

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)0能是方程的一个根吗？若能，求出它的另一个根；若不能，请说明理由．

【答案】(1)见解析

(2)能， 或

【解析】

【分析】

（1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解；

（2）把x=0代入方程，直接进行求解．

(1)

证明：∵ ，

∴方程有两个不相等的实数根；

(2)

解：当 时，有 ，

解得 或 ，

当 时，方程为 ，

∴ ， ；

当 时，方程为 ，

∴ ， ，

∴0能是方程的一个根，另一根为 或 ．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解法及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法及根的判别式是解题的关键．