专题02二次根式分母有理化
【典型例题】
1．（山东中区·八年级期中）阅读下面式子：
．根据以上解法，试求：
为正整数）的值；
（2）
的值．
【答案】（1）
；（2）9
【解析】
【分析】
（1）由题意根据材料所给出的解法进行分析计算求解即可；
（2）根据题意直接依据材料所给出的解法得出规律进行计算即可.
【详解】
解：（1）
；
（2）
.
【点睛】
本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键.
【专题训练】
一、解答题
1．（上海徐汇·八年级期末）计算：
．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据二次根式的乘法、分母有理化和完全平方公式化简，再计算加减即可．
【详解】
解：原式=2
=3
．
【点睛】
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和法则．
2．（上海普陀·八年级期末）计算：
．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用二次根式的乘法法则运算，再分母有理化，然后化简后合并即可．
【详解】
解：原式
．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则．
3．（上海市莘光学校八年级期中）计算：
．
【答案】
【解析】
【分析】
先计算二次根式的乘法与除法，再去括号，合并同类二次根式即可.
【详解】
解：
【点睛】
本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的加减乘除运算的运算法则与混合运算的运算顺序”是解本题的关键.
4．（上海奉贤区阳光外国语学校八年级期中）计算：
．
【答案】
【解析】
【分析】
先分母有理化，同步进行二次根式的乘法运算，再合并同类二次根式即可.
【详解】
解：
【点睛】
本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的运算顺序与运算法则是解题的关键.
5．（江西乐平·八年级期中）阅读下列解题过程，并解答问题．
①
；
②
．
（1）直接写出结果
＝ ．
（2）化简：
；
（3）比较大小：
与
．
【答案】（1）
；（2）9；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据所举例子，分子、分母都乘以
，化简即可；
（2）根据（1）中结论计算即可；
（3）把所给代数式式的分母看做是1，然后把分子、分母都乘以分子的有理化因式化简后比较；
【详解】
解：（1）
=
=
=
；
（2）原式＝
，
＝
；
（3）
，
，
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．
6．（全国·八年级期中）阅读下列材料，然后回答问题
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如
这样的式子，我们可以将其分母有理化：
；
还可以用以下方法分母有理化：
．
(1)请用不同的方法分母有理化：
；
(2)化简：
．
【答案】(1)
，见解析
(2)1
【解析】
【分析】
（1）法一：原式
；法二：
，进行求解即可；
（2）：原式
化简求解即可．
(1)
解：法一：
；
法二：
；
(2)
解：原式
．
【点睛】
本题考查了二次根式的分母有理化，二次根式的加法运算，平方差公式等知识．解题的关键在于正确的将分式中的分母有理化．
7．（湖南双峰·八年级期末）在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如
这样的式子，其实我们还需要将其进一步化简：
。以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
也可以用如下方法化简：
(1)请用两种不同的方法化简
；
(2)化简：
．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据所提供的的两种方法计算即可；
（2）根据题干提供的方法变形计算即可；
(1)
法一：
；
法二：
；
(2)
原式=
.
【点睛】
本题考查的是分母有理化，关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
8．（湖南怀化·八年级期末）阅读并解答问题：
……
上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：
(1)将
的分母有理化；
(2)已知
，
，求
的值；
(3)计算
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据所给“分母有理化”的规律即可求解；
（2）根据所给“分母有理化”的规律分别求出a和b的值，再相加即可．
（3）根据所给“分母有理化”去分母，再进行加减混合计算即可．
(1)
解：
．
(2)
解：
，
，
∴
．
(3)
解：
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，利用平方差公式分母有理化，读懂题干，掌握分母有理化的方法和规律，注意分母中被开方数差1与被开方数差2的不同结果是解答本题的关键．
9．（湖南岳阳·八年级期末）王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题．
（1）小青编的题，观察下列等式：
直接写出以下算式的结果：
______；
（n为正整数）＝______；
（2）小明编的题，由二次根式的乘法可知：
，
，
再根据平方根的定义可得
，
，
直接写出以下算式的结果：
______，
______，
______：
（3）王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：
【答案】（1）
，
（n为正整数）；（2）
，
，
；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题干提供的方法进行分母有理化即可；
（2）分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简即可；
（3）先把括号内每一项分母有理化，再合并同类二次根式，同步化简
，最后利用平方差公式计算即可.
【详解】
解：（1）
，
故答案为：
，
（n为正整数）
（2）
故答案为：
，
，
（3）
【点睛】
本题考查的是分母有理化，二次根式的化简，掌握“分母有理化，二次根式的化简”是解本题的关键.
10．（广东·道明外国语学校八年级期中）观察下列等式：
①
②
③
······
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：
．
（2）
．（n为正整数）
（3）利用上面所揭示的规律计算：
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据平方差公式分母有理化即可；
（2）根据平方差公式分母有理化即可；
（3）对每一个式子分母有理化，再进行合并计算即可；
【详解】
（1）
；
故答案是：
；
（2）
；
故答案是：
；
（3）
，
，
；
【点睛】
本题主要考查了二次根式分母有理化，平方差公式，准确计算是解题的关键．