【324020】2024八年级数学下册 重点突围专题02 二次根式分母有理化（含解析）（新版）浙教版

专题02二次根式分母有理化

【典型例题】

1．（山东中区·八年级期中）阅读下面式子： ．根据以上解法，试求：

（1） （ 为正整数）的值；

（2） 的值．

【答案】（1） ；（2）9

【解析】

【分析】

（1）由题意根据材料所给出的解法进行分析计算求解即可；

（2）根据题意直接依据材料所给出的解法得出规律进行计算即可.

【详解】

解：（1） ；

（2）

.

【点睛】

本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键.

【专题训练】

一、解答题

1．（上海徐汇·八年级期末）计算： ．

【答案】

【解析】

【分析】

先根据二次根式的乘法、分母有理化和完全平方公式化简，再计算加减即可．

【详解】

解：原式=2

=3 ．

【点睛】

本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和法则．

2．（上海普陀·八年级期末）计算： ．

【答案】

【解析】

【分析】

先利用二次根式的乘法法则运算，再分母有理化，然后化简后合并即可．

【详解】

解：原式

．

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则．

3．（上海市莘光学校八年级期中）计算： ．

【答案】

【解析】

【分析】

先计算二次根式的乘法与除法，再去括号，合并同类二次根式即可.

【详解】

解：

【点睛】

本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的加减乘除运算的运算法则与混合运算的运算顺序”是解本题的关键.

4．（上海奉贤区阳光外国语学校八年级期中）计算： ．

【答案】

【解析】

【分析】

先分母有理化，同步进行二次根式的乘法运算，再合并同类二次根式即可.

【详解】

解：

【点睛】

本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的运算顺序与运算法则是解题的关键.

5．（江西乐平·八年级期中）阅读下列解题过程，并解答问题．

① ；

② ．

（1）直接写出结果 ＝　　．

（2）化简： ；

（3）比较大小： 与 ．

【答案】（1） ；（2）9；（3）

【解析】

【分析】

（1）根据所举例子，分子、分母都乘以 ，化简即可；

（2）根据（1）中结论计算即可；

（3）把所给代数式式的分母看做是1，然后把分子、分母都乘以分子的有理化因式化简后比较；

【详解】

解：（1） = = = ；

（2）原式＝ ，

＝ ；

（3） ，

，

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．

6．（全国·八年级期中）阅读下列材料，然后回答问题

在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 这样的式子，我们可以将其分母有理化： ；

还可以用以下方法分母有理化： ．

(1)请用不同的方法分母有理化： ；

(2)化简： ．

【答案】(1) ，见解析

(2)1

【解析】

【分析】

（1）法一：原式 ；法二： ，进行求解即可；

（2）：原式 化简求解即可．

(1)

解：法一：

；

法二：

；

(2)

解：原式

．

【点睛】

本题考查了二次根式的分母有理化，二次根式的加法运算，平方差公式等知识．解题的关键在于正确的将分式中的分母有理化．

7．（湖南双峰·八年级期末）在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如 这样的式子，其实我们还需要将其进一步化简： 。以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

也可以用如下方法化简：

(1)请用两种不同的方法化简 ；

(2)化简： ．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据所提供的的两种方法计算即可；

（2）根据题干提供的方法变形计算即可；

(1)

法一： ；

法二： ；

(2)

原式=

.

【点睛】

本题考查的是分母有理化，关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．

8．（湖南怀化·八年级期末）阅读并解答问题：

……

上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：

(1)将 的分母有理化；

(2)已知 ， ，求 的值；

(3)计算

【答案】(1)

(2)

(3)

【解析】

【分析】

（1）根据所给“分母有理化”的规律即可求解；

（2）根据所给“分母有理化”的规律分别求出a和b的值，再相加即可．

（3）根据所给“分母有理化”去分母，再进行加减混合计算即可．

(1)

解： ．

(2)

解： ， ，

∴ ．

(3)

解： ，

，

，

，

．

【点睛】

本题考查二次根式的混合运算，利用平方差公式分母有理化，读懂题干，掌握分母有理化的方法和规律，注意分母中被开方数差1与被开方数差2的不同结果是解答本题的关键．

9．（湖南岳阳·八年级期末）王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题．

（1）小青编的题，观察下列等式：

直接写出以下算式的结果：

______； （n为正整数）＝______；

（2）小明编的题，由二次根式的乘法可知：

， ，

再根据平方根的定义可得

， ，

直接写出以下算式的结果：

______， ______， ______：

（3）王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：

【答案】（1） ， （n为正整数）；（2） ， ， ；（3）

【解析】

【分析】

（1）根据题干提供的方法进行分母有理化即可；

（2）分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简即可；

（3）先把括号内每一项分母有理化，再合并同类二次根式，同步化简 ，最后利用平方差公式计算即可.

【详解】

解：（1） ，

故答案为： ， （n为正整数）

（2）

故答案为： ， ，

（3）

【点睛】

本题考查的是分母有理化，二次根式的化简，掌握“分母有理化，二次根式的化简”是解本题的关键.

10．（广东·道明外国语学校八年级期中）观察下列等式：

①

②

③

······

回答下列问题：

（1）利用你观察到的规律，化简： ．

（2） ．（n为正整数）

（3）利用上面所揭示的规律计算：

【答案】（1） ；（2） ；（3）

【解析】

【分析】

（1）根据平方差公式分母有理化即可；

（2）根据平方差公式分母有理化即可；

（3）对每一个式子分母有理化，再进行合并计算即可；

【详解】

（1） ；

故答案是： ；

（2） ；

故答案是： ；

（3） ，

，

；

【点睛】

本题主要考查了二次根式分母有理化，平方差公式，准确计算是解题的关键．