专题01二次根式定义、性质与运算
【典型例题】
(1)
(2)
【答案】(1)
；(2)2
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．
（2）根据二次根式的性质以及平方差公式即可求出答案．
(1)
解：原式
(2)
原式=13-9-2
=4-2
=2．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则．
【专题训练】
选择题
1．（广东普宁·八年级期末）若代数式
在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x≥2 D．x≤2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】
解：依题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2．（广东·广州市第二中学南沙天元学校八年级期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先将各项化简，再根据最简二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【详解】
解：
，因此选项A不符合题意；
，因此选项B不符合题意；
的被开方数13，是整数且不含有能开得尽方的因数，所以
是最简二次根式，因此选项C符合题意；
，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了最简二次根式．解题的关键熟练掌握二次根式的性质．
3．（贵州松桃·八年级期末）下列各式中正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质即可依次判断．
【详解】
A.
，故错误；
B.
，故错误；
C.
，正确；
D.
，故错误；
故选C．
【点睛】
此题主要考查二次根式的计算，解题的关键是熟知二次根式的性质．
4．（广东南海·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由二次根式的减法运算可判断A，由同类二次根式的含义可判断B，由二次根式的乘法运算可判断C，D，从而可得答案.
【详解】
解：A、
故A符合题意；
B、
不是同类二次根式，不能合并，故B不符合题意；
C、
故C不符合题意；
D、
故D不符合题意；
故选：A
【点睛】
本题考查的是同类二次根式的含义，二次根式的加减，二次根式的乘法，掌握“二次根式的加减运算与乘法运算的运算法则”是解本题的关键.
5．（江苏·沭阳县怀文中学八年级期末）若
成立，则x的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．任意实数
【答案】A
【解析】
【分析】
根据实数的性质及去绝对值的方法即可求解．
【详解】
∵
∴x-2≤0
∴
故选A．
【点睛】
此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知平方根的性质及去绝对值的方法．
6．（湖南南县·八年级期末）若式子
在实数范围内有意义，则
的取值范围是（）
A．
且
B．
C．
且
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件：分母不等于零、二次根式有意义的条件：被开方数是非负数解答即可．
【详解】
依题意，有
解得：
且
．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．掌握使分式有意义的条件即分母不等于零和二次根式有意义的条件即被开方数是非负数，是解答本题的关键．
二、填空题
7．（江苏吴中·八年级期中）计算：
______．
【答案】
##
【解析】
【分析】
先化简二次根式，同步计算二次根式的除法运算，再合并同类项即可.
【详解】
解：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的除法运算与加法运算是解本题的关键.
8．（北京·和平街第一中学八年级期中）使二次根式
有意义的x的取值范围是______________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件，列不等式求解即可．
【详解】
解：由题意得：3+2x≥0，解得：
．
故答案是
．
【点睛】
本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方式大于等于零．
9．（重庆市巴川中学校八年级期末）计算：
＝_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据负整数指数幂、去绝对值及二次根式化简的法则，计算即可得到答案．
【详解】
解：
＝﹣3＋3﹣
＋2
＝
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查实数计算，解题的关键是掌握负整数指数幂、去绝对值及二次根式化简的法则．
10．（全国·八年级课前预习）若式子
在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．
【答案】x≥0且x≠2
【解析】
略
11．（湖南双峰·八年级期末）若
表示
的整数部分，
表示它的小数部分，则
的值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】
先求出
的整数部分，小数部分，再代入，即可求解．
【详解】
解：∵
，
表示
的整数部分，
表示它的小数部分，
∴
，
∴
．
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，求出
的整数部分和小数部分是解题的关键．
12．（全国·八年级期中）如图，实数
，
在数轴上的位置，化简
__．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用数轴得出a<0，
，a-b<0，进而化简求出答案．
【详解】
解：由数轴可得：
，
，则
，
∴
．
故答案为：
．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各式的符号是解题关键．
三、解答题
13．（广东·广州市第二中学南沙天元学校八年级期末）计算
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先进行二次根式的乘法运算，然后把
化简即可；
（2）先根据完全平方公式计算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
(1)
解：原式
；
(2)
解：原式
．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘法法则和乘法公式．
14．（山东商河·八年级期末）计算下列各题：
(1)
(2)
【答案】(1)0
(2)-6
【解析】
【分析】
（1）先将二次根式化为最简二次根式，再相减即可．
（2）先去括号和化简，再相减即可．
(1)
解：
(2)
解：
【点睛】
此题考查了二次根式的混合运算问题，解题的关键是掌握二次根式的加减乘除运算法则．
15．（山东北区·八年级期末）计算：
(1)2
；
(2)（3
）（3
）+3
．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式的除法法则求解即可；
（2）利用平方差公式去括号，把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类项即可．
(1)
解：
；
(2)
．
【点睛】
本题主要考查二次根式的混合运算以及平方差公式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则．
16．（广东揭西·八年级期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先化简二次根式，再计算二次根式的加减即可；
（2）先算乘法和绝对值，再计算加减即可．
(1)
解：
；
(2)
解：
．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟记运算法则是解题关键．
17．（江苏玄武·八年级期末）计算：
(1)
；(2)
．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先化简，再合并同类二次根式；
（2）先化简括号内二次根式再合并，再利用二次根式乘法计算即可．
(1)
解：
；
(2)
解：
．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是解本题的关键．
18．（江苏吴中·八年级期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)-2；
(2)26-12
．
【解析】
【分析】
（1）直接根据实数的运算法则计算即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类二次根式即可．
(1)
解：
=3-3+（-2）
=-2；
(2)
解：
=9-12
+20-（5-2）
=29-12
-3
=26-12
．
【点睛】
本题考查的是二次根式的混合运算及实数的运算，掌握它们的运算法则是解决此题关键．
19．（广东龙岗·八年级期中）计算：
(1)
；(2)
．
【答案】(1)1
(2)
【解析】
【分析】
（1）先化简各二次根式，再计算乘法与除法运算，从而可得答案；
（2）利用乘法的分配律进行二次根式的乘法运算，同步计算二次根式的除法，再合并即可.
(1)
解：
．
(2)
解：
．
【点睛】
本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的加减乘除运算的运算法则与混合运算的运算顺序”是解本题的关键.
20．（江苏昆山·八年级期中）计算
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据求一个数的算术平方根，立方根，以及二次根式的性质求解即可；
（2）根据二次根式的乘除运算和加减运算进行计算即可；
（3）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可．
(1)
(2)
(3)
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，求一个数的立方根和算术平方根，正确的计算是解题的关键．
21．（广东·深圳市福田区第二实验学校八年级期中）计算：
(1)(
－
)×
；
(2)2
－6
＋
；
(3)
－
；
(4)(
－1)2－(1－
)(1＋
)．
【答案】(1)
(2)6
(3)
(4)4－2
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式的乘法进行计算即可；
（2）根据二次根式的性质化简，进而根据二次根式的加减进行计算即可；
（3）先根据二次根式的除法进行计算，再根据二次根式的加减进行计算；
（4）根据完全平方公式和平方差公式进行计算，最后根据实数的混合运算计算即可．
(1)
(
－
)×
；
(2)
2
－6
＋
；
(3)
－
(4)
(
－1)2－(1－
)(1＋
)．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
22．（天津市实验中学滨海学校八年级期中）计算
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
；（2）
；（3）22；（4）
【解析】
【分析】
（1）首先分别化简二次根式，再通过二次根式的加减运算性质计算，即可得到答案；
（2）结合乘法分配律，根据二次根式乘法和加减法的性质计算，即可得到答案；
（3）结合平方差公式，根据二次根式乘法的性质分析，即可得到答案；
（4）根据完全平方公式和二次根式乘法、加减法的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）
；
（2）
（3）
；
（4）
．
【点睛】
本题考查了二次根式、乘法公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式乘法和加减法运算的性质，从而完成求解．