中考素养提升专练(一)

类型一　二次根式

1．【规律探究】将一组数，，3，2，，…，，3按下面的方式进行排列：

， 　， 　3, 　2， 　，

3， ， 2， 3， ，

…

按这样的方式进行下去，将所在的位置记为(1，5)，2所在的位置记为(2，3)，那么：

(1)所在的位置应记为 __(2，5)__；

(2)在(4，1)的位置上的数是 __4__，6所在的位置应记为 __(5，4)__；

(3)这组数中最大的有理数所在的位置应记为 __(6，2)__．

2．【数学文化】著名数学家斐波那契曾研究一列数，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列的一列数称为数列)，这个数列的第n个数为[()ⁿ－()ⁿ](n为正整数)，例如这个数列的第8个数可以表示为[()⁸－()⁸].根据以上材料，完成下列计算：

(1)求这个数列的第1个数；

(2)求这个数列的第2个数．

解：(1)第1个数为(－)＝×＝1

(2)第2个数为[()²－()²]＝(＋)(－)＝×1×＝1.

类型二　勾股定理

3．【勾股树问题】如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC∶BC＝4∶3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边长之比为4∶3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积之和为D

A．225　　　B．250　　　C．275　　　D．300

4．【赵爽弦图】如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S₁、S₂、S₃.若S₁＋S₂＋S₃＝60，则S₂的值是C

A．12 B．15 C．20 D．30

5．【阅读理解】勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图①)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．

【实践操作】

(1)请叙述勾股定理；

(2)验证勾股定理，请利用图②中的数据来验证该定理；

【探索发现】(1)如图③，④，⑤，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，则这三个图形中面积关系满足S₁＋S₂＝S₃的有 ________个；

(2)如图⑥所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S₁、S₂，直角三角形的面积为S₃，请判断S₁，S₂，S₃之间的关系，并说明理由．

解：【实践操作】(1)如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²＋b²＝c²(或：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方)

(2)证明：在图②中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和．即c²＋ab·4＝(b＋a)²，化简，得a²＋b²＝c²

【探索发现】(1)3　(2)结论：S₁＋S₂＝S₃，理由如下：∵S₁＋S₂＝π()²＋π()²＋S₃－π()²，∴S₁＋S₂＝π(a²＋b²－c²)＋S₃.又∵a²＋b²＝c²，∴S₁＋S₂＝S₃

6．【新定义问题】我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形的三边长分别是5，6和8，因为6²＋8²＝4×5²＝100，所以这个三角形是常态三角形．

(1)若△ABC的三边长分别是3，2和4，则此三角形 ________常态三角形(填“是”或“不是” )；

(2)若Rt△ABC是常态三角形，求此三角形的三边长之比(将三边按从小到大排列)；

(3)如图，在Rt△ABC中，BC＝4，AD＝DB＝DC，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积．

解：(1)是

(2)设Rt△ABC的两直角边长为a，b，且a≤b，斜边长为c，则a²＋b²＝c².又∵Rt△ABC是常态三角形，∴b²＋c²＝4a²，∴b²＋a²＋b²＝4a²，∴2b²＝3a²，∴b＝a，∴c＝＝＝a，∴a∶b∶c＝a∶a∶a＝∶∶，∴此三角形的三边长之比为∶∶

(3)∵AD＝BD＝CD，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝(∠A＋∠ACD＋∠B＋∠BCD)＝×180°＝90°.∵△BCD是常态三角形，∴①当CD²＋BD²＝4BC²时，即CD²＋BD²＝4×4²，∴BD＝CD＝4，∴AB＝8，∴AC＝＝＝4，∴此时S_△ABC＝AC·BC＝×4×4＝8；②当CD²＋BC²＝4BD²时，即CD²＋4²＝4BD²，∴BD＝CD＝，∴AB＝，∴AC＝＝＝，∴此时S_△ABC＝AC·BC＝××4＝.综上所述，△ABC的面积为8或