中考素养提升专练(二)

1．【注重传统文化】数学兴趣小组同学从“中国结”的图案(图①)中发现，用相同的菱形纵向排列放置，可得到更多的菱形．如图②，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是B

A.用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形

B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形

C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形

D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形

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2．【注重数学应用】某小区打算在一块长80 m，宽7.5 m的矩形空地的一侧，设置一排如图所示的平行四边形倾斜式停车位若干个(按此方案规划车位，相邻车位间隔线的宽度忽略不计).已知规划的倾斜式停车位每个车位长6 m，宽2.5 m，如果这块矩形空地用于行走的道路宽度不小于4.5 m，那么最多可以设置停车位C

A．16 个 B．15 个 C．14 个 D．13 个

3．【注重传统文化】(随州中考)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有__①③__(填序号).

①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的.

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4．【方程思想】把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②，图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为__12__．

5．【规律探究类】(荆州中考)如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁；第二次，顺次连接四边形A₁B₁C₁D₁各边的中点，得到四边形A₂B₂C₂D₂；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形A_nB_nC_nD_n的面积是____．

6．【尺规作图与计算】如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O.

(1)尺规作图：作∠ADC的角平分线DE，交BC于点E，不写作法，保留作图痕迹，标明字母；

(2)设AC与DE交于点F，若∠BDE＝15°，求∠DFC的度数．

解：(1)如图，DE为所作

(2)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，OD＝OC，∵DE平分∠ADC，∴∠EDC＝45°，∵∠BDE＝15°，∴∠ODC＝∠BDE＋∠EDC＝15°＋45°＝60°，∴∠OCD＝∠ODC＝60°，∴∠DFC＝180°－∠FDC－∠FCD＝180°－45°－60°＝75°

7．【新定义问题】我们知道菱形与正方形的形状有差异，可以将菱形与正方形的接近程度称为菱形的“接近度”．如图，已知菱形ABCD的边长为5，设菱形ABCD的对角线BD，AC的长分别为m，n(m≥n).若我们将菱形的“接近度”定义为，即“接近度” ＝.

(1)当菱形的“接近度” ＝__1__时，菱形就是正方形；

(2)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，求此菱形的“接近度”；

(3)若菱形ABCD的“接近度”是2，求此时菱形ABCD的面积．

解：(2)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴该菱形ABCD的“接近度”等于

(3)若菱形ABCD的“接近度”是2，∵菱形ABCD的边长为5，∴菱形ABCD的对角线BD，AC的长分别为4，2，此时菱形ABCD的面积＝×4×2＝4

8．【注重综合实践】如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为点F.

特例探究：

(1)如图①，当点F恰好落在BC边上时，判断四边形ABFE的形状，并说明理由；

拓展延伸：

(2)如图②，当点F在矩形ABCD内部时，延长BF交DC边于点G.

①试探究线段BG，AB，DG之间的数量关系，并说明理由；

②当G点分CD边的比为1∶3时，试探究矩形ABCD的边长AD和AB之间的数量关系，并说明理由．

解：(1)四边形ABFE是正方形，理由如下：∵△BFE是由△BAE沿BE折叠而来的，∴∠BFE＝∠BAE＝90°，AB＝BF，AE＝EF，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABFE是矩形，又∵AB＝BF，∴矩形ABFE是正方形

(2)①BG＝AB＋DG，理由如下：连接EG，由图形的翻折可知，BF＝AB，EF＝AE，∠BFE＝∠BAE＝90°，∴∠EFG＝∠EDG＝90°，∵点E是AD的中点，∴AE＝ED，∴EF＝ED，又∵EG＝EG，∴Rt△EFG≌Rt△EDG(HL)，∴DG＝FG，∴BG＝BF＋FG，即BG＝AB＋DG

②AD＝AB或AD＝AB，理由如下：当CG∶DG＝1∶3时，设CG＝m，则DG＝3m，∴AB＝CD＝BF＝4m，BG＝4m＋3m＝7m，在Rt△BCG中，AD＝BC＝＝＝4m＝4m×，∴AD＝AB；当DG∶CG＝1∶3时，设DG＝n，则CG＝3n，∴AB＝CD＝BF＝4n，BG＝4n＋n＝5n，在Rt△BCG中，AD＝BC＝＝＝4n，∴AD＝AB，综上，当G点分CD边的比为1∶3时，矩形ABCD的边长AD和AB之间的数量关系为AD＝AB或AD＝AB