中考素养提升专练(三)

1．【新定义问题】(潍坊中考)记实数x₁，x₂，…，x_n中的最小数为min{x₁，x₂，…，，例如min{－1，1，2}＝－1，则函数y＝min{2x－1，x，4－x}的图象大致为B

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2．【数学建模思想】缂丝，是中国传统丝绸艺术品中的精华．缂丝织造技艺主要是使用古老的木机(如图①)及若干竹制的梭子和拨子，经过“通经断纬”的织造方法，将五彩的蚕丝线缂织成一幅色彩丰富的织物．缂丝工匠现要完成一件织品，工作一段时间后，记录了工作时间和织品长度的数据变化，并从函数角度进行了如下实验探究：

【数据观察】记录的工作时间x(小时)和织品长度y(厘米)的数据变化如下表：

工作时间x/小时	0	2	4	6	8
织品长度y/厘米	3	3.6	4.2	4.8	5.4

【探索发现】

(1)建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示记录的工作时间x，纵轴表示织品长度y，描出以表格中的数据为坐标的各点；

(2)观察图②中各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，请说明理由．

【结论应用】

(1)若记录的工作时间达到5小时，求织品的长度；

(2)如果每天工作10小时，要完成长为240厘米的织品，共需要多少天？

解：【探索发现】(1)描出以表格中的数据为坐标的各点，如图②所示

(2)上述各点在同一条直线上，设这条直线所对应的函数解析式为y＝kx＋b，将(0，3)，(2，3.6)分别代入，得解得∴这条直线所对应的函数解析式为y＝0.3x＋3

【结论应用】

(1)当x＝5时，y＝0.3x＋3＝0.3×5＋3＝4.5，∴织品的长度是4.5厘米

(2)当y＝0.3x＋3＝240时，解得x＝790，∴要完成长为240厘米的织品，需要790÷10＝79(天)

3．【新函数性质探究】某校数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数y₁＝的图象和性质进行了探究，探究过程如下：

(1)在自变量x的取值范围内，x与y₁的几组对应值如下表，其中m＝__1__；

x	0	1	2	3	4	…
y1	2	1	0	m	2	…

(2)在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象，并回答以下问题：

当0≤x<2时，y₁随x的增大而__减小__；当x__>2__时，y₁随x的增大而增大．

(3)已知函数y₂的图象与函数y₁的图象关于y轴对称，请在图中画出函数y₂的图象；

(4)若直线y₃＝x＋a与函数y₁，y₂的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．

解： (2)(3)如图所示

(4)解析：y₁＝的图象关于y轴翻折后y₂＝直线y₃与直线y＝x＋2及直线y＝x－2平行，当直线y₃经过(2，0)时，0＝2＋a，解得a＝－2，当直线y₃经过(0，2)时，2＝a，∴－2＜a＜2时，符合题意．当直线y₃经过(－2，0)时，0＝－2＋a，解得a＝2，∴a＞2时符合题意，故答案为：a＞－2且a≠2

4．【新定义阅读题】(兰州中考)在平面直角坐标系中，P(a，b)是第一象限内的一点，给出如下定义：k₁＝和k₂＝两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数” k.

(1)求点P(6，2)的“倾斜系数” k的值；

(2)①若点P(a，b)的“倾斜系数” k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；

②若点P(a，b)的“倾斜系数” k＝2，且a＋b＝3，求OP的长；

(3)如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P(a，b)是正方形ABCD上的任意一点，且点P的“倾斜系数” k<，请直接写出a的取值范围．

解：(1)由题意知k＝＝3，即点P(6，2)的“倾斜系数” k的值为3

(2)①∵点P(a，b)的“倾斜系数” k＝2，∴＝2或＝2，即a＝2b或b＝2a，∴a和b的数量关系为a＝2b或b＝2a

②由①知a＝2b或b＝2a，∵a＋b＝3，∴或∴OP＝＝＝

(3)由题意知满足条件的点P在直线y＝x和直线y＝x之间，

①当点P与点D重合，且k＝时，点P在直线y＝x上，a有最小临界值，连接OD，延长DA交x轴于点E，此时＝，b＝a＋2，∴＝，解得a＝＋1，∴此时点B的坐标为(＋1＋2，＋1)，即(＋3，＋1)，且k＝＝，∴若点P的“倾斜系数”k＜，则a>＋1；

②当点P与点B重合，且k＝时，点P在直线y＝x上，a有最小临界值，连接OB，延长CB交x轴于F，此时＝，a＝b＋2，∴＝，解得a＝＋3，∴此时点D的坐标为(＋3－2，＋3)，即(＋1，＋3)，且k＝＝，∴若点P的“倾斜系数”k＜，则a>＋3.

综上所述，若点P的“倾斜系数” k<，则a>＋1