【324016】2024八年级数学下册 中考素养提升专练(三)(新版)新人教版
中考素养提升专练(三)
1.【新定义问题】(潍坊中考)记实数x1,x2,…,xn中的最小数为min{x1,x2,…,,例如min{-1,1,2}=-1,则函数y=min{2x-1,x,4-x}的图象大致为B
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2.【数学建模思想】缂丝,是中国传统丝绸艺术品中的精华.缂丝织造技艺主要是使用古老的木机(如图①)及若干竹制的梭子和拨子,经过“通经断纬”的织造方法,将五彩的蚕丝线缂织成一幅色彩丰富的织物.缂丝工匠现要完成一件织品,工作一段时间后,记录了工作时间和织品长度的数据变化,并从函数角度进行了如下实验探究:
【数据观察】记录的工作时间x(小时)和织品长度y(厘米)的数据变化如下表:
工作时间x/小时 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
织品长度y/厘米 |
3 |
3.6 |
4.2 |
4.8 |
5.4 |
【探索发现】
(1)建立平面直角坐标系,如图②,横轴表示记录的工作时间x,纵轴表示织品长度y,描出以表格中的数据为坐标的各点;
(2)观察图②中各点的分布规律,判断它们是否在同一条直线上,如果在同一条直线上,求出这条直线所对应的函数解析式;如果不在同一条直线上,请说明理由.
【结论应用】
(1)若记录的工作时间达到5小时,求织品的长度;
(2)如果每天工作10小时,要完成长为240厘米的织品,共需要多少天?
解:【探索发现】(1)描出以表格中的数据为坐标的各点,如图②所示
(2)上述各点在同一条直线上,设这条直线所对应的函数解析式为y=kx+b,将(0,3),(2,3.6)分别代入,得解得∴这条直线所对应的函数解析式为y=0.3x+3
【结论应用】
(1)当x=5时,y=0.3x+3=0.3×5+3=4.5,∴织品的长度是4.5厘米
(2)当y=0.3x+3=240时,解得x=790,∴要完成长为240厘米的织品,需要790÷10=79(天)
3.【新函数性质探究】某校数学兴趣小组根据学习函数的经验,对函数y1=的图象和性质进行了探究,探究过程如下:
(1)在自变量x的取值范围内,x与y1的几组对应值如下表,其中m=__1__;
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
y1 |
2 |
1 |
0 |
m |
2 |
… |
(2)在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象,并回答以下问题:
当0≤x<2时,y1随x的增大而__减小__;当x__>2__时,y1随x的增大而增大.
(3)已知函数y2的图象与函数y1的图象关于y轴对称,请在图中画出函数y2的图象;
(4)若直线y3=x+a与函数y1,y2的图象有且只有一个交点,求a的取值范围.
解: (2)(3)如图所示
(4)解析:y1=的图象关于y轴翻折后y2=直线y3与直线y=x+2及直线y=x-2平行,当直线y3经过(2,0)时,0=2+a,解得a=-2,当直线y3经过(0,2)时,2=a,∴-2<a<2时,符合题意.当直线y3经过(-2,0)时,0=-2+a,解得a=2,∴a>2时符合题意,故答案为:a>-2且a≠2
4.【新定义阅读题】(兰州中考)在平面直角坐标系中,P(a,b)是第一象限内的一点,给出如下定义:k1=和k2=两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数” k.
(1)求点P(6,2)的“倾斜系数” k的值;
(2)①若点P(a,b)的“倾斜系数” k=2,请写出a和b的数量关系,并说明理由;
②若点P(a,b)的“倾斜系数” k=2,且a+b=3,求OP的长;
(3)如图,边长为2的正方形ABCD沿直线AC:y=x运动,P(a,b)是正方形ABCD上的任意一点,且点P的“倾斜系数” k<,请直接写出a的取值范围.
解:(1)由题意知k==3,即点P(6,2)的“倾斜系数” k的值为3
(2)①∵点P(a,b)的“倾斜系数” k=2,∴=2或=2,即a=2b或b=2a,∴a和b的数量关系为a=2b或b=2a
②由①知a=2b或b=2a,∵a+b=3,∴或∴OP===
(3)由题意知满足条件的点P在直线y=x和直线y=x之间,
①当点P与点D重合,且k=时,点P在直线y=x上,a有最小临界值,连接OD,延长DA交x轴于点E,此时=,b=a+2,∴=,解得a=+1,∴此时点B的坐标为(+1+2,+1),即(+3,+1),且k==,∴若点P的“倾斜系数”k<,则a>+1;
②当点P与点B重合,且k=时,点P在直线y=x上,a有最小临界值,连接OB,延长CB交x轴于F,此时=,a=b+2,∴=,解得a=+3,∴此时点D的坐标为(+3-2,+3),即(+1,+3),且k==,∴若点P的“倾斜系数”k<,则a>+3.
综上所述,若点P的“倾斜系数” k<,则a>+1
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