第一章检测题

(时间：120分钟　　满分：120分)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．(2022·郑州期末)反证法是从反面思考问题的证明方法．乐乐想运用反证法证明下面这个命题：已知△ABC，AB＝AC.求证：∠C＜90°，第一步他应先假设( C )成立．

A．∠C＜90° B．AB≠AC

C．∠C≥90° D．AB≠AC且∠C≥90°

2．(2022·绍兴)如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝( C )

A．30° B．45° C．60° D．75°

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)　　sup7(
)　　sup7(
)　　sup7(
)

3．(福建中考)如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( A )

A．15° B．30° C．45° D．60°

4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为E，若BC＝3，则AD的长为( C )

A． B．2 C．2 D．4

5．(雅安中考)如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝60°，AD＝1，BC＝2，则四边形ABCD的面积是( A )

A． B．3 C．2 D．4

6．已知三角形三内角之间有∠A＝∠B＝∠C，它的最长边为10，则此三角形的面积为( D )

A．20 B．10 C．5 D．

7．(2022·黔西南州)在△ABC中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N.作直线MN交AC于点D，交BC于点E，连接AE.则下列结论不一定正确的是( A )

A．AB＝AE B．AD＝CD

C．AE＝CE D．∠ADE＝∠CDE

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)　　 sup7(
)　　 sup7(
)　　 sup7(
)

8．已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是( C )

A．3 B．4 C．8 D．9

9．(2022·湖州)在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2.若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是( C )

A．4 B．6 C．2 D．3

10．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E在同一条直线上，连接BD，BE.下列四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE＋∠DBC＝45°；④BE²＝2(AD²＋AB²).其中结论正确的个数是( C )

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．(2022·云南)已知△ABC是等腰三角形．若顶角∠A＝40°，则△ABC的底角的度数是__70°___．

12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝4，则点D到AB的距离为__4__．

13．如图，已知点B，C，F，E在同一条直线上，∠1＝∠2，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是__AC＝DF(答案不唯一)__．(只需写出一个)

sup7(
)　　 sup7(
)　　 sup7(
)　　 sup7(
)

14．如图，AB＝AC＝8 cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，则BE＝__4__cm.

15．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边上的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是____.

16．(葫芦岛中考)如图，∠MON＝30°，点B₁在边OM上，且OB₁＝2，过点B₁作B₁A₁⊥OM交ON于点A₁，以A₁B₁为边在A₁B₁右侧作等边三角形A₁B₁C₁；过点C₁作OM的垂线分别交OM，ON于点B₂，A₂，以A₂B₂为边在A₂B₂的右侧作等边三角形A₂B₂C₂；过点C₂作OM的垂线分别交OM，ON于点B₃，A₃，以A₃B₃为边在A₃B₃的右侧作等边三角形A₃B₃C₃……按此规律进行下去，则△A_nA_n＋1C_n的面积为()^2n－2×．(用含正整数n的代数式表示)

点拨：由题意得△A₁A₂C₁是等边三角形，边长为，△A₂A₃C₂是等边三角形，边长为×，△A₃A₄C₃是等边三角形，边长为××＝()²×，△A₄A₅C₄是等边三角形，边长为×××＝()³×，…，△A_nA_n＋1C_n的边长为()^n－1×，∴△A_nA_n＋1C_n的面积为×[()^n－1×]²＝()^2n－2×

三、解答题(共72分)

17．(6分)如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.

证明：过点A作AP⊥BC于P.∵AB＝AC，∴BP＝PC，∴AD＝AE，∴DP＝PE，∴BP－DP＝PC－PE，∴BD＝CE

18．(7分)如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB和BC于点D，E，且AE平分∠BAC.

(1)求∠C的度数；

(2)若CE＝1，求AB的长．

解：(1)∵DE是线段AB的垂直平分线，∠B＝30°，∴∠BAE＝∠B＝30°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAE＝30°，即∠BAC＝60°，∴∠C＝180°－∠BAC－∠B＝180°－60°－30°＝90°　(2)∵∠C＝90°，∠EAC＝30°，CE＝1，∴AC＝，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AB＝2

19．(7分)(2022·襄阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．

(1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；

(2)求证：AD＝AE.

解：(1)如图，EC即为所求：

(2)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD(ASA)，∴AD＝AE

20．(7分)如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.

(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；

(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.

解：(1)∠ABE＝∠ACD.理由：在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ACD

(2)连接AF.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，∵AB＝AC，∴点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即过点A，F的直线垂直平分线段BC

21．(7分)如图，在△ABC中，∠A＝60°，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC.

(1)若∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；

(2)若∠ACP＝m°，∠ABP＝n°，请直接写出m，n满足的关系式：__m＋3n＝120__．

解：(1)∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB.∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝∠ABP，∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，∵∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴∠PBC＋∠PCB＋∠ABP＝180°－60°－24°，∴3∠ABP＝96°，∴∠ABP＝32°

22．(8分)如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A，C之间选择一点B(A，B，C三点在同一直线上).用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40 m.

(1)求点B到AD的距离；

(2)求塔高CD.(结果用根号表示)

解：(1)过点B作BE⊥AD，垂足为E，∴∠AEB＝90°，又∵∠A＝30°，∴BE＝AB＝×40＝20(m)

(2)在Rt△ABE中，AE＝＝20，∵∠A＋∠ADB＝∠DBC＝75°，∴∠ADB＝75°－∠A＝45°，∵BE⊥AD，∴∠BED＝90°，∴∠DBE＝∠ADB＝45°，∴DE＝BE＝20，∴AD＝AE＋DE＝20＋20，∵CD⊥AC，∴∠C＝90°，又∵∠A＝30°，∴CD＝AD＝(20＋20)＝(10＋10) m

23．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，过点C作CD⊥AB于点D，∠CAB的平分线交CD于点E，交BC于点F，过点F作FG⊥AB于点G，CE＝.

(1)求ED的长；

(2)求证：CF＝CE.

解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝＝＝10，∵CD⊥AB，∴S_△ABC＝AC·BC＝AB·CD，∴CD＝＝＝，∵CE＝，∴ED＝CD－CE＝－＝

(2)∵FG⊥AB，∴∠BGF＝∠AGF＝∠ACF＝90°，∵AF是∠CAB的平分线，∴GF＝CF，在Rt△AGF和Rt△ACF中，∴Rt△AGF≌Rt△ACF(HL)，∴AG＝AC＝8，∴BG＝AB－AG＝10－8＝2，设CF＝x，则GF＝x，BF＝BC－CF＝6－x，在Rt△BGF中，由勾股定理得BF²＝BG²＋GF²，即(6－x)²＝2²＋x²，解得x＝，∴CF＝，∴CF＝CE

24．(10分)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，点P为∠ABC，∠ACB的角平分线的交点．

(1)∠BPC的度数是__130°__；

(2)请问点P是否在∠BAC的角平分线上？请说明理由；

(3)求证：AB＝PC.

解：

(2)点P在∠BAC的角平分线上，理由如下：过点P分别作边AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，∵PB，PC分别是∠ABC，∠ACB 的角平分线，∴PD＝PE , PE＝PF，∴PD＝PF，∴点P在∠BAC的角平分线上

(3)连接AP并延长，在AP延长线上取PG＝PC，连接GC，∵AP，CP分别为∠BAC，∠ACB的平分线，∴∠PAC＝40°，∠ACP＝20°，∴∠GPC＝∠PAC＋∠ACP＝60°，∴△PGC为等边三角形，∴∠G＝60°＝∠ABC，PC＝CG，在△ABC和△CGA中，∴△ABC≌△CGA(AAS)，∴AB＝CG，又∵PC＝CG，故AB＝PC

25. (12分)如图1，已知点B(0，6)，点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形．

(1)求证：DE＝BO；

(2)如图2，当点D恰好落在BC上时．

①求OC的长及点E的坐标；

②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；

③如图3，点M是线段BC上的动点(点B，C除外)，过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH＋MG的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH＋MG的值；若会变化，简要说明理由．

解：(1)∵△ODC和△EBC都是等边三角形，∴OC＝DC，BC＝CE，∠OCD＝∠BCE＝60°，∴∠BCE＋∠BCD＝∠OCD＋∠BCD，即∠ECD＝∠BCO，∴△DEC≌△OBC(SAS)，∴DE＝BO

(2)①∵△ODC是等边三角形，∴∠OCB＝60°.∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝30°.设OC＝x，则BC＝2x，在Rt△BOC中，由勾股定理，得x²＋6²＝(2x)²，解得x＝2，∴OC＝2，BC＝4.∵△EBC是等边三角形，∴BE＝BC＝4.又∵∠OBE＝∠OBC＋∠CBE＝90°，∴E(4，6)

②若点P在C点左侧，则CP＝CE＝4，OP＝4－2＝2，点P的坐标为(－2，0)；若点P在C点右侧，CP＝CE＝4，则OP＝2＋4＝6，点P的坐标为(6，0)，若CP＝EP，∵∠DCO＝60°，∠BCE＝60°，∴∠ECP＝60°，∴△ECP为等边三角形，∴CP＝EP＝CE＝4，则OP＝2＋4＝6，点P的坐标为(6，0)，综上，点P坐标为(－2，0)或(6，0)

③不会变化，MH＋MG＝6