第一章 三角形的证明
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．若一等腰三角形的顶角的度数为130°，则它的底角的度数为( B )
A．20° B．25° C．30° D．35°
2．用反证法证明命题“一个三角形中最多有一个钝角”时，应先假设( A )
A．三角形中至少有两个钝角 B．三角形中至少有一个钝角
C．三角形中至多有两个钝角 D．三角形中至多有一个钝角
3．如图，数学活动课上，为测量学校A与河对岸农场B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2 km，则可求得学校A与河对岸农场B之间的距离为( C )
A．4 km B．4 km C．4 km D．2 km
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4．(2022·天津)如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是( D )
A．(5，4) B．(3，4) C．(5，3) D．(4，3)
5．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ABC＝∠DEF＝90°，且CE＝BF，要根据“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DEF，则还需要添加一个条件是( B )
A．AB＝DEB．AC＝DFC．∠A＝∠DD．AB∥DE
6．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别在AB，AC上，且AD＝AE，连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C＝40°，则∠GAD的度数为( C )
A．40° B．45° C．55° D．70°
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7．如图，一艘轮船由海平面上的A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地，则A，C两地相距( A )
A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里
8．若一等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则此等腰三角形的顶角的度数是( C )
A．55° B．125° C．55°或125° D．无法确定
9．如图，在等边三角形ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中的等腰三角形共有( A )
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
10．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，A4…在射线ON上，点B1，B2，B3…在射线OM上，且△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为( B )
A．16 B．32 C．64 D．128
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二、填空题(每小题3分，共15分)
11．命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是__三个内角相等的三角形是等边三角形__，该逆命题是__真__命题(填“真”或“假”)命题．
12．如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC于点D，点E为AC边上的点，且AE＝AD，则∠ADE的度数为__75°__．
13．(2022·丹东)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线PQ与AC交于点D，则AD的长为__2__．
14．如图，点O为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠BOC＝120°，则∠BAC＝__60°__．
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15．(河南中考)小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1.第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在点A′处，如图②；第二步，将纸片沿CA′折叠，点D落在点D′处，如图③.当点D′恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段A′D′的长为___或_2－__．
三、解答题(共75分)
16．(8分)(2022·自贡)如图，△ABC是等边三角形，D，E在直线BC上，DB＝EC，求证：∠D＝∠E.
证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝∠ACE＝120°.又∵DB＝EC，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠D＝∠E
17．(9分)如图，有两条公路相交于点O，在∠AOB的内部有两个村庄C，D，现要修建一加油站P，使它到公路OA，OB的距离相等，且使PC＝PD，用尺规作图，作出加油站P的位置(保留作图痕迹，不写作法)．
解：作图略 【点拨】连接CD，作CD的垂直平分线MN，再作∠AOB的平分线OE，OE和MN的交点即为所求作的加油站P的位置
18．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A分别作AE⊥DE于点E，AF⊥DF于点F，且AE＝AF，求证：∠EDB＝∠FDC.
证明：连接AD，在Rt△AED与Rt△AFD中，∵∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，∴∠ADE＝∠ADF.又∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠ADB－∠ADE＝∠ADC－∠ADF，即∠EDB＝∠FDC
19．(10分)如图，一艘轮船自西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，航行7海里后到达B处，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，若小岛周围3.8海里内有暗礁，问该船一直向东航行有无触礁的危险？并说明原因．
解：有触礁的危险，理由如下：过点P作PD⊥AB于点D，∵在A处测得小岛P在北偏东75°方向，∴∠PAB＝15°.∵在B处测得小岛P在北偏东60°方向，∴∠PBD＝30°，∴∠APB＝∠PBD－∠PAB＝30°－15°＝15°＝∠PAB，∴AB＝PB＝7海里．又∵∠PBD＝30°，∴PD＝PB＝3.5海里＜3.8海里，∴该船继续向东航行有触礁的危险
20．(12分)如图，点D在等边△ABC的外部，E为BC边上的一点，AD＝CD，DE交AC于点F，AB∥DE.
(1)判断△CEF的形状，并说明理由；
(2)若BC＝10，CF＝4，求DE的长．
解：(1)△CEF是等边三角形，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC.又∵AB∥DE，∴∠CEF＝∠ABC，∠CFE＝∠CAB，∴∠CEF＝∠CFE＝∠ECF，∴△CEF是等边三角形
(2)连接BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC.又∵AD＝CD，∴BD是线段AC的垂直平分线，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵AB∥DE，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠BDE＝∠CBD，∴DE＝BE＝BC－CE＝BC－CF＝10－4＝6
21．(12分)如图，在△ABC中，点D，E在AB上，且CD，CE的垂直平分线AF，BG分别与CD，CE交于点F，G.
(1)若∠ACB＝90°，求∠ECD的度数；
(2)试猜想∠ACB与∠ECD之间的数量关系，并说明理由.
解：(1)∵AF，BG分别是CD，CE的垂直平分线，∴AD＝AC，BE＝BC，∴∠ADC＝∠ACD，∠BEC＝∠BCE.又∵∠ADC＋∠ACD＋∠CAD＝180°，∴2∠ADC＋∠CAD＝180°.同理可得2∠BEC＋∠CBE＝180°，∴2∠ADC＋2∠BEC＋∠CAD＋∠CBE＝360°.又∵∠CAD＋∠CBE＋∠ACB＝180°，∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠CBE＝90°，∴2∠ADC＋2∠BEC＋90°＝360°，∴∠ADC＋∠BEC＝135°，∴∠ECD＝180°－(∠ADC＋∠BEC)＝45°
(2)∠ACB＋∠ECD＝90°，理由如下：∵∠CAD＋∠CBE＝180°－∠ACB，∴2∠ADC＋2∠BEC＋180°－∠ACB＝360°，∴∠ADC＋∠BEC＝90°＋∠ACB，∴∠ECD＝180°－(∠ADC＋∠BEC)＝180°－(90°＋∠ACB)＝90°－∠ACB，∴∠ACB＋∠ECD＝90°
22．(14分)如图，在等边△ABC中，点E，D分别是边AC和直线BC上的一定点和一动点，以DE为一边作等边△DEF，连接CF.
【问题解决】如图①，若点D在边BC上，求证：CE＋CF＝CD；
【类比探究】如图②，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系，并说明理由.
解：【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，连接HE，∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°.又∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°＝∠CEH，即∠DEH＋∠HEF＝∠FEC＋∠HEF，∴∠DEH＝∠FEC，∴△DEH≌△FEC，∴DH＝CF，∴CE＋CF＝CH＋DH＝CD
【类比探究】CF＝CD＋CE，理由如下：在BC上截取CH＝CE，连接HE，∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝HC，∠CEH＝60°.又∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°＝∠CEH，∴∠DEF＋∠CED＝∠CEH＋∠CED，即∠CEF＝∠HED，∴△DEH≌△FEC，∴DH＝CF＝CH＋CD＝CE＋CD