单元测试(一)　三角形的证明

(时间：100分钟　　满分：120分)

　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．已知一个等腰三角形一底角的度数为80°，则这个等腰三角形顶角的度数为( A )

A．20° B．70° C．80° D．100°

2．用反证法证明“若a＞b＞0，则a²＞b²”时，应假设( B )

A．a²＜b² B．a²≤b² C．a²＞b² D．a²≥b²

3．如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是( A )

A．HL B．SAS C．ASA D．SSS

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4．(2023·眉山)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为( C )

A．70° B．100° C．110° D．140°

5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是( C )

A．2 B．4 C．6 D．8

6．如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB，与∠1互余的角有( C )

A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD

7．(2023·贵州)5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为120°，腰长为12 m，则底边上的高是( B )

A．4 m B．6 m C．10 m D．12 m

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8．已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足＋(2a＋3b－13)²＝0，则此等腰三角形的周长为( D )

A．8 B．6或8 C．7 D．7或8

9．(2023·宁夏)将一副直角三角板和一把宽度为2 cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是( B )

A．2－ B．2－2 C．2 D．2

10．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB＋CD.四个结论中成立的是( A )

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③

二、填空题(每小题3分，共15分)

11．“等边对等角”的逆命题是__等角对等边__．

12．如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是____.

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13．(2023·锦州)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE.若CE＝CA，∠ACE＝40°，则∠B的度数为__35°__．

14．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝5，BE平分∠ABD，AE∥BD交BE于点E.则△ABE的周长是__15__．

15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝4.若点P在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠PCB＝30°，则CP的长为__2或或2__．

三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)

16．(8分)(2023·吉林)如图，点C在线段BD上，△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E.求证：AC＝DC.

证明：在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC(ASA)，∴AC＝DC

17．(9分)如图，在△ABE中，AB＝AE，C，D是BE边上两点且AC＝AD，求证：BC＝DE.

证明：∵AB＝AE，∴∠B＝∠E.∵AC＝AD.∴∠ACD＝∠ADC.∴∠BAC＝∠EAD.在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED(SAS).∴BC＝DE

18．(9分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E.求证：AE＝2CE.

证明：连接BE，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°－∠A＝60°.∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE.∴∠ABE＝∠A＝30°.∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°.在Rt△BCE中，∵∠CBE＝30°，∴BE＝2CE.∴AE＝2CE

19．(9分)如图，两条公路OA和OB相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要在∠AOB内部修建一个货站P，使货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论)

解：如图所示：

20．(9分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝2，AD是△ABC的角平分线．

(1)求AC的长；

(2)求点D到AB的距离．

解：(1)∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝2，∴AC＝

(2)∵AD是△ABC的角平分线，∴D到AC，AB的距离相等．又∵AC＝，∠CAB＝60°，∴∠CAD＝30°，∴CD＝1.∴点D到AB的距离为1

21．(10分)(2023·聊城)如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C.

(1)求证：∠EAD＝∠EDA；

(2)若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．

解：(1)∵∠B＝∠AED＝∠C，∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AED＋∠CED，∴∠BAE＝∠CED，在△ABE和△ECD中，∴△ABE≌△ECD(AAS)，∴AE＝ED，∴∠EAD＝∠EDA　(2)∵∠AED＝∠C＝60°，AE＝ED，∴△AED为等边三角形，∴AE＝AD＝ED＝4，过A点作AF⊥ED于F，

∴EF＝ED＝2，∴AF＝＝＝2，∴S_△AED＝ED·AF＝×4×2＝4

22．(10分)如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连接CD，BE.

(1)若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；

(2)写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．

解：(1)∵∠ABC＝80°，BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝(180°－80°)＝50°，∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠A＝40°，∴∠ACB＝180°－40°－80°＝60°，∵CE＝BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝60°，∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝20°

(2)∠BEC＋∠BDC＝110°，理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β，在△ABE中，α＝∠A＋∠ABE＝40°＋∠ABE，∵CE＝BC，∴∠CBE＝∠BEC＝α，∴∠ABC＝∠ABE＋∠CBE＝∠A＋2∠ABE＝40°＋2∠ABE，在△BDC中，BD＝BC，∴∠BDC＋∠BCD＋∠DBC＝2β＋40°＋2∠ABE＝180°，∴β＝70°－∠ABE，∴α＋β＝40°＋∠ABE＋70°－∠ABE＝110°，∴∠BEC＋∠BDC＝110°

23．(11分)如图1，已知点B(0，6)，点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形，

(1)求证：DE＝OB；

(2)如图2，当点D恰好落在BC上时．

①求OC的长及点E的坐标；

②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；

③如图3，点M是线段BC上的动点(点B，C除外).过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH＋MG的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH＋MG的值；若会变化，简要说明理由．

解：(1)∵△ODC和△EBC都是等边三角形，∴OC＝DC，BC＝CE，∠OCD＝∠BCE＝60°.∴∠OCD＋∠BCD＝∠BCE＋∠BCD，即∠ECD＝∠BCO.∴△DEC≌△OBC(SAS).∴DE＝OB

(2)①∵△ODC是等边三角形，∴∠OCB＝60°.∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝30°.设OC＝x，则BC＝2x，∴在Rt△OBC中，x²＋6²＝(2x)².解得x＝2.∴OC＝2，BC＝4.∵△EBC是等边三角形，∴BE＝BC＝4，∠CBE＝60°.∴∠OBE＝∠OBC＋∠CBE＝90°.∴E(4，6)

②存在．点P的坐标为(－2，0)或(6，0)

③不会变化，MH＋MG＝6