第五章检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列关于x的方程是分式方程的是( C )
A．＝ B．－3＝ C．＝3 D．x＝1
2．下列各式是最简分式的是( A )
A． B． C． D．
3．小明计算了四个分式，其中有一个结果忘记了约分，是下面中的( D )
A． B． C． D．
4．(2022·无锡)分式方程＝的解是( D )
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3
5．能使分式的值为零的所有x的值是( B )
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝1或x＝－1 D．x＝2或x＝1
6．下列各式从左到右的变形中正确的是( A )
A．＝ B．＝
C．－＝ D．＝
7．若(＋)·w＝1，则w＝( D )
A．a＋2 B．－a＋2 C．a－2 D．－a－2
8．(2022·宜宾)某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务．问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成x套桌凳，则所列方程正确的是( C )
A．－＝3 B．－＝3
C．－＝3 D．－＝3
9．已知＋＝3，则代数式的值为( D )
A．3 B．－2 C．－ D．－
10．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x＋(x＞0)的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2(x＋)；当矩形成为正方形时，就有x＝(x＞0)，解得x＝1，这时矩形的周长2(x＋)＝4最小，因此x＋(x＞0)的最小值是2.模仿张华的推导，你求得式子(x＞0)的最小值是( C )
A．2 B．1 C．6 D．10
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．已知分式，当x＝2时，分式无意义，则a＝__6__．
12．当a＝时，代数式－2的值为__1__．
13．(2022·济南)代数式与代数式的值相等，则x＝__7__．
14．我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来a天用水b吨，现在这些水可多用4天，现在每天比原来少用水____吨．
15．(宿迁中考)为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是__120棵__．
16．(2022·黑龙江)已知关于x的分式方程－＝1的解是正数，则m的取值范围是__m＞4且m≠5___．
三、解答题(共72分)
17．(8分) 计算：
(1)(2022·朝阳)÷＋；
解：原式＝·＋＝＋＝＝＝x
(2)(重庆中考)(a－1－)÷.
解：原式＝·＝·＝
18．(8分)解分式方程：
(1)＝－1；
解：无解
(2)－＝.
解：去分母得6x－3－4x－2＝x＋1，解得x＝6，经检验，x＝6是分式方程的解，∴原分式方程的解为x＝6
19．(6分)老师在黑板上书写了一个代数式的正确演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式如下：(
－)÷＝，求所捂部分化简后的结果．
解：设所捂部分为A，则A＝·＋＝＋＝
20．(6分)(2022·郴州)先化简，再求值：÷(＋)，其中a＝＋1，b＝－1.
解：原式＝÷＝·＝ab，当a＝＋1，b＝－1时，原式＝(＋1)(－1)＝5－1＝4
21．(7分)小明解方程－＝1的过程如下：
解：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝1.①
去括号，得1－x－2＝1.②
合并同类项，得－x－1＝1.③
移项，得－x＝2.④
解得x＝－2.⑤
∴原方程的解为x＝－2.⑥
请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．
解：小明的解法有三处错误：步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥前缺少“检验”步骤．正确解法是：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝x.去括号，得1－x＋2＝x.移项，得－x－x＝－2－1.合并同类项，得－2x＝－3.两边同除以－2，得x＝.经检验，x＝是原方程的解．所以原方程的解是x＝
22．(7分)(2022·自贡)学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．
解：设张老师骑车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x千米/小时，由题意，得－2＝，解得x＝15，经检验，x＝15是原分式方程的解．答：张老师骑车的速度是15千米/小时
23．(8分)先化简：(－)÷，然后解答下列问题：
(1)当x＝3时，求代数式的值；
(2)原代数式的值能等于－1吗？为什么？
解：原式＝[－]·＝(－)·＝·＝
(1)当x＝3时，原式＝2
(2)原代数式的值不能等于－1，理由：如果＝－1，那么x＋1＝－x＋1，∴x＝0.当x＝0时，除式＝0.∴原代数式的值不能等于－1
24．(10分)阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程＋＝1的解为正数，求a的取值范围？
经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：
小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x＝a－2.由题意可得a－2＞0，所以a＞2，问题解决．
小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行．
老师说：小强所说完全正确．
请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明：__小明没有考虑分式的分母不为0(或分式必须有意义)这个条件__．
完成下列问题：
(1)已知关于x的方程＝1的解为负数，求m的取值范围；
(2)若关于x的分式方程＋＝－1无解．直接写出n的取值范围．
解：(1)解关于x的分式方程，得x＝，∵方程有解，且解为负数，∴解得m＜且m≠－
(2)分式方程去分母，得3－2x＋nx－2＝－x＋3，即(n－1)x＝2，由分式方程无解，得到x－3＝0，即x＝3，代入整式方程得n＝；当n－1＝0时，整式方程无解，此时n＝1，综上，n＝1或n＝
25. (12分)(2022·呼和浩特)今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．
(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元，由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
解：(1)设去年每吨土豆的平均价格是x元，则今年第一次采购每吨土豆的平均价格为(x＋200)元，第二次采购每吨土豆的平均价格为(x－200)元，由题意，得×2＝，解得x＝2200，经检验，x＝2200是原分式方程的解，且符合题意，答：去年每吨土豆的平均价格是2200元
(2)由(1)得：今年采购的土豆数量为：×3＝375(吨)，设应将m吨土豆加工成薯片，则应将(375－m)吨加工成淀粉，由题意，得解得150≤m≤175，设总利润为y元，则y＝700m＋400(375－m)＝300m＋150000，∵300＞0，∴y随m的增大而增大，∴当m＝175时，ymax＝300×175＋150000＝202500，答：为获得最大利润，应将175吨土豆加工成薯片，最大利润是202500元