第四章检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2022·龙胜期中)4a2b3与2ab4c的公因式为( C )
A．ab B．2ab C．2ab3 D．2abc
2．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是( C )
A．(3－x)(3＋x)＝9－x2 B．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1)
C．m4－n4＝(m2＋n2)(m＋n)(m－n) D．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z
3．下列各式中，能用公式法分解因式的有( B )
①－x2－y2；②－a2b2＋1；③a2＋ab＋b2；④－x2＋2xy－y2；⑤－mn＋m2n2.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．(安徽中考)下列分解因式正确的是( C )
A．－x2＋4x＝－x(x＋4) B．x2＋xy＋x＝x(x＋y)
C．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2 D．x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2)
5．一次数学课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题．你认为小明做得不够完整的一题是( B )
A．4x2－4x＋1＝(2x－1)2 B．x3－x＝x(x2－1)
C．x2y－xy2＝xy(x－y) D．x2－y2＝(x＋y)(x－y)
6．对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9都能( A )
A．被8整除 B．被m整除
C．被(m－1)整除 D．被(2m－1)整除
7．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x－y，a－b，2，x2－y2，a，x＋y，分别对应下列六个字：华，我、爱、美、游、中，现将2a(x2－y2)－2b(x2－y2)因式分解，结果呈现的密码信息可能是( D )
A．我爱游 B．我游中华 C．中华美 D．爱我中华
8．(2022·台湾)多项式39x2＋5x－14可因式分解成(3x＋a)(bx＋c)，其中a，b，c均为整数，求a＋2c之值为何？( A )
A．－12 B．－3 C．3 D．12
9．不论x，y为什么实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值( A )
A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数
10．若三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2b－a2c＋b2c－b3＝0，则这个三角形是( A )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．三角形的形状不确定
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．(潍坊中考)因式分解：(x＋2)x－x－2＝__(x＋2)(x－1)__．
12．(菏泽中考)若a＋b＝2，ab＝－3，则代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值为__－12__．
13．若多项式(3x＋2)(2x－5)＋(5－2x)(2x－1)可分解为(2x＋m)(x＋n)，其中m，n均为整数，则mn的值为__－15__．
14．计算：1.222×9－1.332×4＝__6.32__．
15．已知代数式a2＋2a＋2，当a＝__－1__时，它有最小值，最小值为__1__．
16．从边长为a的正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形，如图甲，然后拼成一个平行四边形，如图乙，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的为__a2－b2＝(a＋b)(a－b)__．
三、解答题(共72分)
17．(12分)将下列各式分解因式：
(1)a3－2a2b＋ab2; (2)4a(x－y)－2b(y－x)；
(3)(a＋b)3－4(a＋b); (4)(y2－1)2＋6(1－y2)＋9.
解：原式＝(a＋b)[(a＋b)2－4]
＝(a＋b)(a＋b＋2)(a＋b－2)
18．(6分)下列三个多项式：x3＋2x2－x，x3＋4x2＋x，x3－2x2，请选择你喜欢的两个多项式进行加法运算，再将结果因式分解．
解：x3＋2x2－x＋x3＋4x2＋x＝x3＋6x2＝x2(x＋6)(答案不唯一)
19．(6分)甲、乙两同学分解因式x2＋mx＋n，甲看错了n，分解结果为(x＋2)(x＋4)；乙看错了m，分解结果为(x＋1)(x＋9)，请分析一下m，n的值及正确的分解过程．
解：∵(x＋2)(x＋4)＝x2＋6x＋8，甲看错了n的值，∴m＝6，又∵(x＋1)(x＋9)＝x2＋10x＋9，乙看错了m的值，∴n＝9，∴原式为x2＋6x＋9＝(x＋3)2
20．(8分)利用因式分解计算：
(1)(1－)(1－)(1－)…(1－)；
解：原式＝(1－)(1＋)(1－)(1＋)(1－)(1＋)…(1－)(1＋)＝×××××…××＝×＝
(2)1－22＋32－42＋52－62＋…＋992－1002＋1012.
解：原式＝1＋32－22＋52－42＋…＋1012－1002＝1＋(3＋2)(3－2)＋(5＋4)(5－4)＋…＋(101＋100)(101－100)＝1＋(3＋2)＋(5＋4)＋…＋(101＋100)＝＝5151
21．(7分)先分解因式，再求值：
(1)已知x－y＝－，求(x2＋y2)2－4xy(x2＋y2)＋4x2y2的值；
解：原式＝(x－y)4，当x－y＝－时，原式＝
(2)已知x＋y＝1，xy＝－，求x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2的值．
解：原式＝－2xy(x＋y)，当x＋y＝1，xy＝－时，原式＝－2×(－)×1＝1
22．(7分)利用分解因式计算：
(1)一种光盘的外径D＝11.9厘米，内径d＝3.7厘米，求光盘的面积；(结果保留两位有效数字)
(2)正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米，求这两个正方形的边长．
解；(1)由题意得3.14×()2－3.14×()2＝3.14×[()2－()2]＝3.14×(×)＝3.14×(7.8×4.1)＝100.4172＝1.004172×102≈1.0×102(平方厘米)
(2)设正方形1的边长为x厘米，正方形2的边长为y厘米，由题意得解得∴正方形1的边长为32厘米，正方形2的边长为8厘米
23．(8分)阅读下列解题过程：
已知a，b，c为三角形的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4， (A)
∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2), (B)
则c2＝a2＋b2, (C)
∴△ABC为直角三角形. (D)
(1)上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号__C__；
(2)错误的原因__忽略了a2－b2＝0，即a＝b的可能__；
(3)请写出正确的解答过程．
解：(3)∵a2c2－b2c2＝a4－b4，∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，即c2(a2－b2)－(a2＋b2)(a2－b2)＝0，∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，∴a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0，即a＝b或c2＝a2＋b2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形
24．(8分)(2022·乐亭期末)如图①，在一个边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形，再将余下的部分拼成如图②所示的长方形．
(1)比较两图中阴影部分的面积，可以得到等式：__a2－b2＝(a＋b)(a－b)__(用字母a，b表示)；
(2)计算：(x－3)(x＋3)(x2＋9)；
(3)已知2m－n＝3，2m＋n＝4，求8m2－2n2的值．
解：(2)原式＝(x2－9)(x2＋9)＝x4－81
(3)原式＝2(2m－n)(2m＋n)＝2×3×4＝24
25. (10分)阅读材料：若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m，n的值．
解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－8n＋16)＝0，
∴(m－n)2＋(n－4)2＝0，又∵(m－n)2≥0，(n－4)2≥0，
∴解得
请解答下面的问题：
(1)已知x2－2xy＋2y2＋6y＋9＝0，求xy－x2的值；
(2)已知△ABC的三边长a，b，c都是互不相等的正整数，且满足a2＋b2－4a－18b＋85＝0，求△ABC的最长边c的值；
(3)已知a2＋b2＝12，ab＋c2－16c＋70＝0，求a＋b＋c的值．
解：(1)∵x2－2xy＋2y2＋6y＋9＝0，∴(x－y)2＋(y＋3)2＝0，解得y＝－3，故x＝y＝－3，xy－x2＝－3×(－3)－(－3)2＝9－9＝0
(2)∵a2＋b2－4a－18b＋85＝0，∴(a－2)2＋(b－9)2＝0，解得a＝2，b＝9，∴7＜c＜11，∵△ABC的三边长a，b，c都是互不相等的正整数，∴△ABC的最长边c的值为10
(3)∵a2＋b2＝12，∴(a＋b)2－2ab＝12，∴ab＝(a＋b)2－6，∵ab＋c2－16c＋70＝0，∴(a＋b)2－6＋(c－8)2＋6＝0，则(a＋b)2＋(c－8)2＝0，则c＝8，a＋b＝0，∴a＋b＋c＝8