分式与分式方程
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．若分式有意义，则x的取值范围是( A )
A．x≠5 B．x≠－5 C．x＞5 D．x＞－5
2．(2023·凉山州)分式的值为0，则x的值是( A )
A．0 B．－1 C．1 D．0或1
3．上复习课时，李老师叫小聪举出一些分式的例子，他举出了：，，，，，a＋，其中正确的个数为( B )
A．2 B．3 C．4 D．5
4．计算－的结果是( B )
A．m＋1 B．m－1 C．m－2 D．－m－2
5．(2023·哈尔滨)方程＝的解为( C )
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2
6．若关于x的分式方程＝＋2有增根，则m的值为( D )
A．2 B．3 C．4 D．5
7．若(＋)·w＝1，则w＝( C )
A．a＋2(a≠－2) B．－a＋2(a≠2) C．－a－2(a≠±2) D．a－2(a≠2)
8．(2023·宜昌)某校学生去距离学校12 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是( D )
A．0.2 km/min B．0.3 km/min C．0.4 km/min D．0.6 km/min
9．(2023·内江)用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是( D )
A．＝＋2 B．＝－2
C．＝＋2×60 D．＝－2×60
10．关于x的分式方程＋1＝的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是( B )
A．－5 B．－4 C．－3 D．－2
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．分式与的最简公分母是__6x2y2__．
12．(2023·宁夏)计算：＋＝____．
13．如果a－b＝5，那么代数式(－2)·的值是__5__．
14．如果解关于x的分式方程－＝1时出现增根，那么m的值为__－4__．
15．(2023·眉山)关于x的方程－3＝的解为非负数，则m的取值范围是__m≥－5且m≠－3__.
三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)
16．(8分)计算：
(1)(－)·；
解：原式＝3a－7
(2)(2023·大连)(＋)÷.
解：原式＝
17．(9分)解方程：
(1)＝；
解：去分母，得x＋3＝2x，
解得x＝3，
检验：当x＝3时，x(x＋3)≠0，
∴分式方程的解为x＝3
(2)－＝1.
解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得
(x＋1)2－4＝(x＋1)(x－1)，
解得x＝1.
检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0，
∴x＝1是增根，
∴原方程无解
18．(9分)小明解方程－＝1的过程如下：
解：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝1.①
去括号，得1－x－2＝1.②
合并同类项，得－x－1＝1.③
移项，得－x＝2.④
解得x＝－2.⑤
∴原方程的解为x＝－2.⑥
请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．
解：小明的解法有三处错误：步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥前缺少“检验”步骤．正确解法如下：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝x.去括号，得1－x＋2＝x.合并同类项、系数化为1，得x＝.经检验，x＝是原分式方程的根．∴原方程的解为x＝
19．(9分)(2023·威海)先化简(a－)÷，再从－3＜a＜3的范围内选择一个合适的数代入求值．
解：原式＝÷＝·＝，要使分式有意义，则a≠0且a－1≠0且a＋1≠0，所以a不能为0，1，－1，又因为－3＜a＜3，所以a可以取2，当a＝2时，原式＝＝
20．(9分)(2023·宁夏)“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．
(1)求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：＝＋30，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的解．
乙：＝1.6×，解得x＝65，经检验x＝65是原方程的解．
则甲所列方程中的x表示__B型玩具的单价__，乙所列方程中的x表示__A型玩具的数量__．
(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？
解：(1)B型玩具的单价；A型玩具的数量 (2)设可购进A型玩具a个，则B型玩具(200－a)个，根据题意得8a＋5(200－a)≤1350，a≤116，∴整数a的最大值是116，答：最多可购进A型玩具116个
21．(10分)(2023·济南)某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
解：(1)设A型编程机器人模型单价是x元，则B型编程机器人模型单价是(x－200)元．根据题意，得＝，解得x＝500，经检验，x＝500是原方程的根，∴x－200＝300，答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元 (2)设购买A型编程机器人模型m台，则购买B型编程机器人模型(40－m)台，购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，由题意得40－m≤3m，解得m≥10，w＝500×0.8m＋300×0.8(40－m)，即w＝160m＋9600，∵160＞0，∴w随m的减小而减小．当m＝10时，w取得最小值11200，∴40－m＝30.答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元
22．(10分)(2023·牡丹江)某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：
(1)这两种家电每件的进价分别是多少元？
(2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？
(3)在(2)的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数．
解：(1)设A种家电每件的进价为x元，则B种家电每件的进价为(x＋100)元，根据题意得＝，解得x＝500，经检验，x＝500是所列方程的解，且符合题意，∴x＋100＝500＋100＝600.答：A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元 (2)设购进A种家电a件，则购进B种家电(100－a)件，根据题意得解得65≤a≤67，又∵a为正整数，∴a可以为65，66，67，∴该商场共有3种购买方案，方案1：购进A种家电65件，B种家电35件；方案2：购进A种家电66件，B种家电34件；方案3：购进A种家电67件，B种家电33件 (3)设这10件家电中包含m件B种家电，则包含(10－m)件A种家电，当a＝65时，600×[65－(10－m)]＋750(35－m)－500×65－600×35＝5050，解得m＝，∵m为正整数，∴m＝不符合题意，舍去；当a＝66时，600×[66－(10－m)]＋750(34－m)－500×66－600×34＝5050，解得m＝，∵m为正整数，∴m＝不符合题意，舍去；当a＝67时，600×[67－(10－m)]＋750(33－m)－500×67－600×33＝5050，解得m＝4.答：这10件家电中包含4件B种家电
23．(11分)观察下列等式：＝1－，＝－，＝－，….
将以上两个等式两边分别相加得：＋＋＝1－＋－＋－＝.
用你发现的规律解答下列问题：
(1)直接写出下列各式的计算结果：
①＋＋＋…＋＝____；
②＋＋＋…＋＝____；
(2)仿照题中的计算形式，猜想并写出：＝__(－)__；
(3)解方程：＋＋＝.
解：(3)仿照(2)中的结论，原方程可变形为(－)＋(－)＋(－)＝，即－＝.解得x＝2.经检验，x＝2是原分式方程的解．故原方程的解为x＝2