第四章 因式分解
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列各式从左到右的变形是因式分解的是( C )
A．a(m＋n)＝am＋an
B．x2－4x＋4＝x(x－4)＋4
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋3x＝(x＋4)(x－4)＋3x
2．多项式8a3b2－4a3bc中各项的公因式是( D )
A．4ab2 B．4a2b2 C．4a3bc D．4a3b
3．下列多项式中可以用公式法因式分解的是( D )
A．m2＋n2 B．－a2－b2
C．x2＋x＋1 D．x2－x＋
4．下列各多项式因式分解正确的是( D )
A．－a＋a2＝－a(1＋a2) B．2a－4b＋2＝2(a－2b)
C．a2－4＝(a－2)2 D．a2－2a＋1＝(a－1)2
5．若4a2＋(2m－2)ab＋36b2是一个完全平方式，则m的值是( D )
A．－11 B．13 C．11或－13 D．－11或13
6．把x4－2x2y2＋y4因式分解，结果是( D )
A．(x－y)2 B．(x2－y2)4
C．(x2－y2)2 D．(x＋y)2(x－y)2
7．若m＋2n＝3，m－2n＝1，则代数式16m2n2－(m2＋4n2)2的值为( D )
A．8 B．－8 C．9 D．－9
8．用如图①中的三种纸片拼成如图②的长方形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列各项正确的是( C )
A．3a2＋3ab＋b2＝(a＋b)(3a＋b)
B．3a2－3ab＋b2＝(a－b)(3a＋b)
C．3a2＋4ab＋b2＝(a＋b)(3a＋b)
D．a2＋4ab＋3b2＝(a＋b)(3a＋b)
9．已知496－1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个整数为( B )
A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64
10．已知a，b，c为△ABC的三边，且a3＋ab2＋bc2＝b3＋a2b＋ac2，则△ABC的形状是( D )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．分解因式：(1)a2－3a＝__a(a－3)__；
(2)ax2＋2ax＋a＝__a(x＋1)2__．
12．若3x2＋mx＋12＝3(x＋n)2，且n＜0，则m－n＝__－10__．
13．请写出一个多项式，使它能先提取公因式，再运用公式来分解因式，你写的多项式是__a3－ab2(答案不唯一)__，分解因式的结果是__a(a＋b)(a－b)__．
14．若a－3b＝2，ab＝3，则2a3b－12a2b2＋18ab3的值为__24__．
15．观察下列等式：42－12＝3×5；52－22＝3×7；62－32＝3×9；72－42＝3×11……则第n个(n是正整数)等式为__(n＋3)2－n2＝3(2n＋3)__．
三、解答题(共75分)
16．(10分)把下列各式因式分解：
(1)n2(m－2)－n(2－m); (2)3(a＋b)2－27；
解：(1)原式＝n2(m－2)＋n(m－2)＝n(m－2)(n＋1)
解：(2)原式＝3[(a＋b)2－9]＝3(a＋b＋3)(a＋b－3)
(3)x4－81y4; (4)4－12(x－y)＋9(x－y)2.
解：(3)原式＝(x2＋9y2)(x＋3y)(x－3y)
解：(4)原式＝(3x－3y－2)2
17．(8分)利用因式分解计算：
(1)4002－800×398＋3982；
解：原式＝(400－398)2
＝4
(2)0.3332×4－1.2222×9.
解：原式＝(0.333×2)2－(1.222×3)2
＝(0.333×2＋1.222×3)×(0.333×2－1.222×3)
＝4.332×(－3)
＝－12.996
18．(9分)给出三个多项式：x2＋2x－1，x2＋4x＋1，x2－2x，请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并将其结果因式分解．
解：选择不唯一，如：①x2＋2x－1＋x2＋4x＋1＝x2＋6x＝x(x＋6)；②x2＋2x－1＋x2－2x＝x2－1＝(x＋1)·(x－1)；③x2＋4x＋1＋x2－2x＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2
19．(10分)先分解因式，再求值：
(1)25x(0.4－y)2－10y(y－0.4)2，其中x＝0.04，y＝2.4；
解：原式＝5(0.4－y)2(5x－2y)，
当x＝0.04，y＝2.4时，
原式＝5×(0.4－2.4)2(5×0.04－2×2.4)
＝5×4×(－4.6)
＝－92
(2)3(x＋3y)2－12(2x－y)2，其中5x＋y＝2，5y－3x＝3.
解：原式＝3[(x＋3y)2－4(2x－y)2]
＝3[(x＋3y)＋2(2x－y)][(x＋3y)－2(2x－y)]
＝3(5x＋y)(－3x＋5y)，当5x＋y＝2，5y－3x＝3时，
原式＝3×2×3＝18
20．(12分)阅读下列题目的解题过程：
已知a，b，c为△ABC的三边，且满足c2a2－c2b2＝a4－b4，试判断△ABC的形状.
解：∵c2a2－c2b2＝a4－b4，
∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，——(A)
∴c2＝a2＋b2，——(B)
∴△ABC是直角三角形．——(C)
问：(1)上述解题过程从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：__B__；
(2)错误的原因为__A到B没有考虑a＝b的情况__；
(3)从错误的那一步起写出正确的解答过程．
解：(3)∴(a2－b2)[c2－(a2＋b2)]＝0，∴a2－b2＝0或c2－(a2＋b2)＝0，∴a＝b或c2＝a2＋b2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形
21．(12分)阅读下列计算过程：
把多项式x2－11x＋24分解因式，可以采取以下两种方法：
①将－11x拆成两项－6x－5x；将24拆成两项9＋15，则x2－11x＋24＝x2－6x＋9－5x＋15＝(x2－6x＋9)－(5x－15)＝(x－3)2－5(x－3)＝(x－3)[(x－3)－5]＝(x－3)(x－8)；
②添加一个数()2，再减去这个数()2，则x2－11x＋24＝x2－11x＋()2－()2＋24＝[x2－11x＋()2]－＝(x－)2－()2＝(x－＋)(x－－)＝(x－3)(x－8).
(1)根据上面的启发，请任选一种方法将多项式x2＋4x－12分解因式；
(2)已知A＝a＋10，B＝a2－a＋7，其中a＞3，指出A与B哪个大，并说明理由．
解：(1)x2＋4x－12＝x2＋4x＋4－16＝(x＋2)2－16＝(x＋2－4)(x＋2＋4)＝(x－2)(x＋6)
(2)B＞A，理由如下：∵A＝a＋10，B＝a2－a＋7，其中a＞3，∴B－A＝(a2－a＋7)－(a＋10)＝a2－2a－3＝a2－2a＋1－4＝(a－1)2－4＝(a－1－2)(a－1＋2)＝(a－3)(a＋1)＞0，∴B＞A
22．(14分)(驻马店实验中学期中)我们常利用数形结合思想探索整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：
(1)在大正方体一角截去一个棱长为b(b＜a)的小正方体，如图①所示，则得到的几何体的体积为__a3－b3__；
(2)将图①中的几何体分割成三个长方体①，②，③，如图②所示，因为BC＝a，AB＝a－b，CF＝b，所以长方体①的体积为ab(a－b)，类似地，长方体②的体积为__b2(a－b)__，长方体③的体积为__a2(a－b)__(结果不需要化简)；
(3)将表示长方体①，②，③的体积的式子相加，并将得到的多项式分解因式，结果为__(a－b)(a2＋ab＋b2)__；
(4)用不同的方法表示图①中几何体的体积，可以得到的等式为__a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)__；
(5)已知a－b＝4，ab＝2，求a3－b3的值．
解：(5)∵a－b＝4，∴(a－b)2＝16，∴a2－2ab＋b2＝16.又∵ab＝2，∴a2＋b2＝20，∴a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝4×(20＋2)＝4×22＝88