第十七章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1.下列各组数中，是勾股数的是(　D　)

A.1.5，2，2.5 B.1，2，5 C. ， ， D.5，12，13

2.[2023·人大附中期中]如图，在4×3的正方形网格中，标记格点A，B，C，D，且每个小正方形的边长都是1，下列选项中的线段长度为 的是(　B　)

(第2题)

A.线段AB B.线段BC C.线段CD D.线段AD

3.(母题：教材P27图17.1－10)如图，数轴上点A表示的数是0，点B表示的数是1，BC⊥AB，垂足为B，且BC＝1.以点A为圆心，AC的长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数为(　B　)

(第3题)

A.1.4 B. C. D.2

4.[2023·广东实验中学期中]已知△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是(　A　)

A.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 B.∠C＝∠A－∠B

C.a²＋b²＝c² D.a∶b∶c＝6∶8∶10

5.[2023·铁岭]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，则BD的长为(　D　)

(第5题)

A. B. C. D.

6.[2022·金华]如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是(3，1)，(4，－2).下列各地点中，离原点最近的是(　A　)

(第6题)

A.超市 B.医院 C.体育场 D.学校

7.若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)²＋｜a²＋b²－c²｜＝0，则△ABC的形状是(　C　)

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.无法确定

8.[2022·张家界]如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝ ，则△AOB与△BOC的面积之和为(　C　)

(第8题)

A. B. C. D.

9. “春节”是我国传统节日中最重要的一个节日，在春节期间有很多习俗，贴对联、剪窗花、挂彩灯、吃饺子、守岁、放鞭炮等等，为了增添节日的气氛，某同学家买了一串长52 cm的彩灯，如图方式(从A绕到B)缠绕在圆柱体的柱子上，且柱子的底面周长为10 cm，则柱子高为(　D　)

(第9题)

A.2 cm B. cm C.12 cm D.48 cm

10.[2023·重庆一中月考]如图，在桌面ABCD上建立平面直角坐标系(每个小正方形边长为一个单位长度)，小球从点P(－4，0)出发，撞击桌面边缘发生反弹，反射角等于入射角，若小球以每秒 个单位长度的速度沿图中箭头方向运动，则第2 023秒时小球所在位置的纵坐标为(　C　)

(第10题)

A.2 B.1 C.－1 D.－2

二、填空题(每题3分，共24分)

11. 请写出命题“如果a＞b，那么b－a＜0”的逆命题：　如果b－a＜0，那么a＞b　.

12.如图，已知正方形ABCD的面积为8，则对角线BD的长为　4　.

(第12题)

13.[2023·重庆]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为　4　.

(第13题)

14.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则此三角形的周长为　12或7＋ 　.

15.如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为　(10，3)　.

(第15题)

16. 七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图)，由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为　2　dm².

(第16题)

17.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆形，面积分别记为S₁，S₂，则S₁＋S₂的值等于　2π　.

(第17题)

18. 如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1.在AC上有一动点P，则EP＋BP的最短长度为　5　.

(第18题)

三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分)

19.[2023·长沙]如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E.

(1)求证：△ABE≌△ACD；

(2)若AE＝6，CD＝8，求BD的长.

(1)【证明】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠ADC＝90°.

在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD(AAS).

(2)【解】∵△ABE≌△ACD，∴AD＝AE＝6.在Rt△ACD中，AC＝ ＝ ＝10.

∵AB＝AC＝10，∴BD＝AB－AD＝10－6＝4.

20.(母题：教材P39复习题T9)如图，在边长为1的小正方形组成的网格图中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列问题：

(1)求△ABC的周长；

(2)试判断△ABC的形状.

【解】(1)∵AB＝ ＝ ，AC＝ ＝2 ，BC＝ ＝5，

∴AB＋AC＋BC＝ ＋2 ＋5＝3 ＋5，即△ABC的周长为3 ＋5.

(2)∵AB²＋AC²＝( )²＋(2 )²＝25，BC²＝5²＝25，∴AB²＋AC²＝BC².∴△ABC是直角三角形.

21.如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320 km的B处，以每小时40 km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200 km的范围内是受台风影响的区域.

(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？

(2)若A城受到这次台风影响，则A城遭受这次台风影响有多长时间？

【解】(1)由A点向BF作垂线，垂足为C，如图.

在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320 km，则AC＝160 km，∵160＜200，∴A城受到这次台风的影响.

(2)如图，设BF上有点D，连接DA，使DA＝200 km，则还有一点G，连接GA，使AG＝200 km.∵DA＝AG，∴△ADG是等腰三角形.

∵AC⊥BF，∴AC是DG的垂直平分线，∴CD＝GC.

在Rt△ADC中，DA＝200 km，AC＝160 km，

∴由勾股定理得，CD＝ ＝ ＝120(km)，则DG＝2DC＝240 km，

∴A城遭受这次台风影响的时间是240÷40＝6(h).

22. 海绵城市是新一代城市雨洪管理概念，下雨时通过植被、下沉式绿地等设施吸水、蓄水、渗水、净水，需要时将蓄存的水释放并加以利用.某市是全国首批16个海绵城市建设试点城市之一，其中位于梦溪路与滨水路交界处的海绵主题公园，既是周边汇水区雨洪管理的一个有机模块，也是立体化展示海绵技术的科普公园，园区内有一块下沉式绿地(四边形ABCD，如图)，经测量，AB∥CD，AB＝BC＝20米，∠B＝60°，∠D＝45°，求该绿地边界的周长(结果保留根号).

【解】连接AC，过点A作AE⊥CD，垂足为E，如图.

∵AB＝BC＝20米，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形.

∴AC＝AB＝20米，∠BAC＝60°.

∵AB∥CD，∴∠ACE＝∠BAC＝60°.∴∠CAE＝30°.

∴CE＝ AC＝10米.∴AE＝ ＝10 米.

∵∠AED＝90°，∠D＝45°，∴∠EAD＝45°.∴DE＝AE＝10 米.

由勾股定理得AD＝ ＝10 米.

∴该绿地边界的周长＝AB＋BC＋CD＋DA＝20＋20＋10＋10 ＋10 ＝50＋10 ＋10 (米).

23. 在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图①，若∠C＝90°，则有a²＋b²＝c²；若△ABC为锐角三角形，小明猜想：a²＋b²＞c².理由如下：

如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x.

在Rt△ADC中，AD²＝b²－x²；在Rt△ADB中，AD²＝c²－(a－x)²，

∴b²－x²＝c²－(a－x)²，即a²＋b²＝c²＋2ax.

∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0.∴a²＋b²＞c².

∴当△ABC为锐角三角形时，a²＋b²＞c².

故小明的猜想是正确的.

请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，如图③，a²＋b²与c²的大小关系，并证明你猜想的结论.

【解】当△ABC为钝角三角形时，a²＋b²与c²的大小关系为a²＋b²＜c².

证明如下：如图③，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.

设CD＝y.在Rt△ADC中，由勾股定理得AD²＝AC²－DC²＝b²－y²；

在Rt△ADB中，由勾股定理得AD²＝AB²－BD²＝c²－(a＋y)².

∴b²－y²＝c²－(a＋y)²，整理，得a²＋b²＝c²－2ay.

∵a＞0，y＞0，∴2ay＞0.∴a²＋b²＝c²－2ay＜c².∴当△ABC为钝角三角形时，a²＋b²＜c².

24.[2022·北京]在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC.

(1)如图①，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF.若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；

(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图②，若AB²＝AE²＋BD²，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明.

(1)【证明】在△BCD和△FCE中，

∴△BCD≌△FCE(SAS).∴∠DBC＝∠EFC.∴BD∥EF.

∵AF⊥EF，∴BD⊥AF.

(2)【解】由题意补全图形如图②.CD＝CH.

证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BF.

又∵BC＝CF，∴AB＝AF.由(1)可知BD∥EF，△BCD≌△FCE，则BD＝EF，

∵AB²＝AE²＋BD²，∴AF²＝AE²＋EF².∴∠AEF＝90°.∴AE⊥EF.

∴BD⊥AE.∴∠DHE＝90°.又∵CD＝CE，∴CH＝CD.

第十七章综合素质评价

一、1.D

2.B 【点拨】由题意得AB＝ ＝ ，BC＝ ＝ ，CD＝ ＝ ，AD＝ ＝ ，故选B.

3.B

4.A 【点拨】根据三角形内角和等于180度，求出三角形每个内角的度数，即可判断A，B；根据勾股定理的逆定理即可判断C，D，进而得出答案.

5.D 【点拨】过点D作DM⊥AB于M，由勾股定理可求得AC＝4，由题意可证明△ADC≌△ADM，则可得AM＝AC＝4，从而有BM＝1，在Rt△DMB中，由勾股定理建立方程求解即可.

6.A　7.C

8.C 【点拨】如图，将△BAO绕点B顺时针旋转60°得△BCD，连接OD，

∴OB＝OD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2.

∴△BOD是等边三角形.

∴OD＝OB＝1.

∵OD²＋OC²＝1²＋（ ）²＝4，CD²＝2²＝4，

∴OD²＋OC²＝CD².

∴∠DOC＝90°.

∴△AOB与△BOC的面积之和为S_△AOB＋S_△BOC＝

S_△BOC＋S_△BCD＝S_△BOD＋S_△COD＝ ×1＋ ×1× ＝ .

9.D 【点拨】如图为该圆柱的侧面展开图，由题意得AE＝BE＝26 cm，AD＝10 cm，∠D＝90°，DE＝CE.

∴CD＝2DE＝2 ＝2 ＝48（cm），即柱子高为48 cm.

10.C 【点拨】根据小球的运动方向可得小球运动一周所走的路程为16 个单位长度，再由运动速度求得运动一周所用时间为16秒，再由2 023除以16，从而求出答案.

二、11.如果b－a＜0，那么a＞b　12.4

13.4 【点拨】∵AB＝AC，AD是BC边的中线，

∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°.

∵BC＝6，∴BD＝CD＝3.

在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD＝ ＝ ＝4.

14.12或7＋ 【点拨】设直角三角形的第三边长为x，当第三边为斜边时，3²＋4²＝x²，x＝5（负值已舍去），则三角形周长为3＋4＋5＝12；当长度为4的边为斜边时，3²＋x²＝4²，x＝ （负值已舍去），则三角形周长为3＋4＋ ＝7＋ .

15.（10，3）【点拨】由折叠可知AD＝AF＝10，∵AO＝8，∴OF＝ ＝6，∴FC＝4.令EF＝x，则EC＝8－x，∴x²＝（8－x）²＋4²，解得x＝5，∴EC＝3，∴E（10，3）.

16.2 【点拨】如图所示，

依题意，得OD＝ AD＝2 dm，

OE＝ OD＝ dm.

∴阴影部分的面积为OE²＝（ ）²＝2（dm²）.

17.2π 【点拨】令BC＝a，AC＝b，由题知a²＋b²＝4²＝16，S₁＝ ×π× ＝ b²，同理S₂＝ a²，则S₁＋S₂＝ （a²＋b²）＝ ×16＝2π.

18.5 【点拨】连接PD，易知PD＝BP，则EP＋BP＝EP＋PD.当E，P，D三点共线时，EP＋PD最短，为ED＝ ＝5.

三、19.（1）【证明】∵CD⊥AB，BE⊥AC，

∴∠AEB＝∠ADC＝90°.

在△ABE和△ACD中，

∴△ABE≌△ACD（AAS）.

（2）【解】∵△ABE≌△ACD，∴AD＝AE＝6.

在Rt△ACD中，

AC＝ ＝ ＝10.

∵AB＝AC＝10，∴BD＝AB－AD＝10－6＝4.

20.【解】（1）∵AB＝ ＝ ，AC＝ ＝2 ，BC＝ ＝5，

∴AB＋AC＋BC＝ ＋2 ＋5＝3 ＋5，

即△ABC的周长为3 ＋5.

（2）∵AB²＋AC²＝（ ）²＋（2 ）²＝25，BC²＝5²＝25，

∴AB²＋AC²＝BC².∴△ABC是直角三角形.

21.【解】（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，如图.

在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320 km，则AC＝160 km，∵160＜200，∴A城受到这次台风的影响.

（2）如图，设BF上有点D，连接DA，使DA＝200 km，则还有一点G，连接GA，使AG＝200 km.

∵DA＝AG，

∴△ADG是等腰三角形.

∵AC⊥BF，

∴AC是DG的垂直平分线，∴CD＝GC.

在Rt△ADC中，DA＝200 km，AC＝160 km，

∴由勾股定理得，CD＝ ＝ ＝120（km），则DG＝2DC＝240 km，

∴A城遭受这次台风影响的时间是240÷40＝6（h）.

22.【解】连接AC，过点A作AE⊥CD，垂足为E，如图.

∵AB＝BC＝20米，∠B＝60°，

∴△ABC是等边三角形.

∴AC＝AB＝20米，∠BAC＝60°.

∵AB∥CD，

∴∠ACE＝∠BAC＝60°.∴∠CAE＝30°.

∴CE＝ AC＝10米.∴AE＝ ＝10 米.

∵∠AED＝90°，∠D＝45°，∴∠EAD＝45°.

∴DE＝AE＝10 米.

由勾股定理得AD＝ ＝10 米.

∴该绿地边界的周长＝AB＋BC＋CD＋DA＝20＋20＋10＋10 ＋10 ＝50＋10 ＋10 （米）.

23.【解】当△ABC为钝角三角形时，a²＋b²与c²的大小关系为a²＋b²＜c².

证明如下：如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.

设CD＝y.

在Rt△ADC中，由勾股定理得AD²＝AC²－DC²＝b²－y²；

在Rt△ADB中，由勾股定理得AD²＝AB²－BD²＝c²－（a＋y）².

∴b²－y²＝c²－（a＋y）²，

整理，得a²＋b²＝c²－2ay.

∵a＞0，y＞0，∴2ay＞0.

∴a²＋b²＝c²－2ay＜c².

∴当△ABC为钝角三角形时，a²＋b²＜c².

24.（1）【证明】在△BCD和△FCE中，

∴△BCD≌△FCE（SAS）.

∴∠DBC＝∠EFC.∴BD∥EF.

∵AF⊥EF，∴BD⊥AF.

（2）【解】由题意补全图形如图：

CD＝CH.

证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，

∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BF.

又∵BC＝CF，∴AB＝AF.

由（1）可知BD∥EF，△BCD≌△FCE，则BD＝EF，

∵AB²＝AE²＋BD²，∴AF²＝AE²＋EF².

∴∠AEF＝90°.∴AE⊥EF.

∴BD⊥AE.∴∠DHE＝90°.

又∵CD＝CE，∴CH＝CD.