第十七章检测题
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．已知Rt△ABC的三边长分别为a，b，c，且∠C＝90°，c＝37，a＝12，则b的值为( B )
A．50 B．35 C．34 D．26
2．由下列线段a，b，c不能组成直角三角形的是( D )
A．a＝1，b＝2，c＝ B．a＝1，b＝2，c＝
C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a＝2，b＝2，c＝3
3．已知三角形三边长为a，b，c，如果＋|b－8|＋(c－10)2＝0，则△ABC是( C )
A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是( A )
A． B． C． D．
5．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝24，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为( C )
A．2 B．3 C．4 D．5
6．设a，b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是( D )
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
7．(贺州中考)如图，将两个完全相同的Rt△ACB和Rt△A′C′B′拼在一起，其中点A′与点B重合，点C′在边AB上，连接B′C，若∠ABC＝∠A′B′C′＝30°，AC＝A′C′＝2，则B′C的长为( A )
A.2
B．4
C．2
D．4
8．一木工师傅测量一个等腰三角形的腰、底边和底边上的高的长，但他把这三个数据与其他数据弄混了，请你帮他找出来，应该是( C )
A．13，12，12 B．12，12，8 C．13，10，12 D．5，8，4
9．(广西中考)《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图①，②(图②为图①的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺＝10寸)，则AB的长是( C )
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
sup7() sup7()
10．(遵义中考)如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为( B )
A． B． C．1 D．2
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．把命题“对顶角相等”的逆命题改写成“如果……那么……”的形式：__如果两个角相等，那么它们是对顶角__．
12．(常州中考)平面直角坐标系中，点P(－3，4)到原点的距离是__5__．
13．如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为__64__．
sup7() sup7() sup7()
14．如图，在等边△ABD中，点E为AD边上一点，BC＝DC，连接CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为__2__．
15．乐乐在学习中遇到了这样的问题：
如图所示的三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，你有几种方法呢？ |
经过思考，乐乐发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个定点，请你帮助乐乐写出当这条直线经过点A时，剪出的等腰三角形的面积是__或__．
三、解答题(共75分)
16．(8分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5.
(1)求△ABC的周长；
(2)判断△ABC是否是直角三角形．
解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，AB＝＝＝20.在Rt△ACD中，AC＝＝＝13，∴△ABC的周长为20＋13＋21＝54 (2)∵AB2＋AC2＝202＋132＝569，BC2＝212＝441，∴AB2＋AC2≠BC2，∴△ABC不是直角三角形
17．(9分)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图：
(1)在图①中画一条线段MN，使MN＝；
(2)在图②中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的Rt△DEF.
解：(1)如图①所示 (2)如图②所示
18．(9分)如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°.求四边形ABCD的面积．
解：∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，在△ACD中，∵AC2＋CD2＝25＋144＝169＝AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AC·CD＝×3×4＋×5×12＝6＋30＝36
19．(9分)(2023·许昌期中)一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一墙面上．
(1)若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)在(1)的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
解：(1)在Rt△AOB中，∵AB＝25米，OB＝7米，∴OA＝＝＝24(米).答：梯子的顶端距地面24米
(2)在Rt△A′OB′中，∵A′O＝24－4＝20(米)，∴OB′＝＝＝15(米)，BB′＝15－7＝8(米).答：梯子的底端在水平方向滑动了8米
20．(9分)以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为(3，4，5)，类似地，还可得到下列勾股数组：(8，6，10)，(15，8，17)，(24，10，26)等．
(1)根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；
(2)用含n(n≥2且n为整数)的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．
解：(1)上述四组勾股数组的规律是：32＋42＝52，62＋82＝102，82＋152＝172，102＋242＝262，即(n2－1)2＋(2n)2＝(n2＋1)2，所以第六组勾股数为14，48，50 (2)(n2－1)2＋(2n)2＝(n2＋1)2，证明如下：(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2
21．(9分)如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，道路AC因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一条道路CH，已知CB＝千米，CH＝2千米，HB＝1千米．
(1)CH是否为村庄C到河边最近的道路？请通过计算加以说明；
(2)已知新的取水点H与原取水点A相距1.5千米，求新路CH比原路CA少多少千米．
解：(1)∵CH＝2，HB＝1，CB＝，∴CH2＋HB2＝CB2，∴△BCH为直角三角形，∠BHC＝90°，∴CH⊥AB，∴CH为村庄C到河边最近的道路
(2)在Rt△ACH中，∵AH＝1.5千米，CH＝2千米，∴AC＝＝2.5(千米)，∵AC－CH＝2.5－2＝0.5(千米)，∴新路CH比原路CA少0.5千米
22．(10分)一块长方体木块的各棱长如图所示，一只蜘蛛在木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬．
(1)如果D是棱的中点，蜘蛛沿“AD→DB”路线爬行，它从A点爬到B点所走的路程为多少？
(2)你认为“AD→DB”是最短路线吗？如果你认为不是，请计算出最短的路程．
解：(1)从点A爬到点B所走的路程为AD＋BD＝＋＝(5＋)cm (2)不是，分三种情况讨论：①如图①，将下面和右面展到一个平面内，AB＝＝＝2(cm)；②如图②，将前面与右面展到一个平面内，AB＝＝＝6(cm)；③如图③，将前面与上面展到一个平面内，AB＝＝＝4(cm)，∵6＜4＜2，∴蜘蛛从A点爬到B点所走的最短路程为6 cm
23．(12分)(1)【阅读理解】某数学兴趣小组受“赵爽弦图”的启发，对勾股定理的验证进行了如下探究：他们裁剪出若干张大小，形状完全相同的直角三角形纸片，三边长分别记为a，b，c，如图①所示．之后分别用4张直角三角形纸片拼成如图②③④所示的形状，从图②和图③可以发现：①它们整体上都是边长为a＋b的正方形；②阴影部分的面积都是由4个完全相同的直角三角形组成，所以阴影的面积为2ab；③图②中空白部分面积用不同的方法表示可得关系式__a2＋b2＝(a＋b)2－2ab__，图③中空白部分面积用不同的方法表示可得关系式__(a＋b)2－2ab＝c2__．从而得到a2＋b2＝c2.
(2)【尝试应用】兴趣小组的同学通过观察图④中正方形的个数，以及它们之间的关系，验证了勾股定理，即a2＋b2＝c2.请你帮他们写出推理验证的完整过程．
(3)【拓展延伸】一个直立的火柴盒在平面上倒下，启迪人们发现了一种新的证明勾股定理的方法．如图⑤同样是用4个完全相同的直角三角形拼成的图形，请你利用图中的直角梯形和等腰直角三角形证明勾股定理．
解：(2)∵整个图形的面积可以表示为c2＋ab×2＝c2＋ab，整个图形的面积又可以表示为a2＋b2＋ab×2＝a2＋b2＋ab，∴c2＋ab＝a2＋b2＋ab，∴a2＋b2＝c2
(3)∵S直角梯形＝(a＋b)(a＋b)，S直角梯形＝S等腰直角三角形＋2S直角三角形＝c2＋2×ab，∴(a＋b)(a＋b)＝c2＋2×ab，∴(a＋b)2＝c2＋2ab，∴a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab，∴a2＋b2＝c2