因式分解

(时间：100分钟　　满分：120分)

　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是( B )

A．(3－x)(3＋x)＝9－x²

B．m⁴－n⁴＝(m²＋n²)(m＋n)(m－n)

C．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1)

D．4yz－2y²z＋z＝2y(2z－yz)＋z

2．下列多项式中，能用公式法因式分解的是( C )

A．x²－xy B．x²＋xy C．x²－y² D．x²＋y²

3．把8a³－8a²＋2a进行因式分解，结果正确的是( D )

A．2a(4a²－4a＋1) B．8a²(a－1)

C．2a(2a＋1)² D．2a(2a－1)²

4．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是( C )

A．a²－1 B．a²＋a

C．a²＋a－2 D．(a＋2)²－2(a＋2)＋1

5．(2023·济宁)下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是( C )

A．(a＋3)²＝a²＋6a＋9 B．a²－4a＋4＝a(a－4)＋4

C．5ax²－5ay²＝5a(x＋y)(x－y) D．a²－2a－8＝(a－2)(a＋4)

6．若x²＋ax－24＝(x＋2)(x－12)，则a的值为( A )

A．－10 B．±10 C．14 D．－14

7．小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解，正确的是( D )

A．x²＋2xy＝x(x＋2y) B．x²－2xy＋y²＝(x－y)²

C．x²＋2xy＋y²＝(x＋y)² D．x²＋3xy＋2y²＝(x＋2y)(x＋y)

8．已知a－b＝1，则a²－b²－2b的值为( C )

A．4 B．3 C．1 D．0

9．(2023·河北)若k为任意整数，则(2k＋3)²－4k²的值总能( B )

A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除

10．某同学粗心大意，因式分解时，把等式x⁴－■＝(x²＋9)(x＋3)(x－▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是( B )

A．9，3 B．81，3 C．81，9 D．27，3

二、填空题(每小题3分，共15分)

11．(2023·德阳)分解因式：ax²－4ay²＝__a(x＋2y)(x－2y)__．

12．若二次三项式x²－kx＋9是一个完全平方式，则k的值是__±6__．

13．(2023·深圳)已知实数a，b，满足a＋b＝6，ab＝7，则a²b＋ab²的值为__42__．

14．当x＝__2__时，x²－4x＋7取得最小值．

15．计算：(1－)(1－)…(1－)(1－)＝____．

三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)

16．(8分)因式分解：

(1)3m²n－12mn＋12n；

解：原式＝3n(m－2)²

(2)(a＋b)³－4(a＋b).

解：原式＝(a＋b)(a＋b＋2)(a＋b－2)

17．(9分)利用因式分解求解：

(1)535²×4－465²×4；

解：原式＝280000

(2)102²＋102×196＋98².

解：原式＝40000

18．(9分)先因式分解，再计算求值：2x³－8x，其中x＝3.

解：原式＝2x(x²－4)＝2x(x＋2)(x－2)，当x＝3时，原式＝2×3×(3＋2)×(3－2)＝2×3×5×1＝30

19．(9分)给出三个整式a²，b²和2ab.

(1)当a＝3，b＝4时，求a²＋b²＋2ab的值；

(2)在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解，请写出你所选的式子及因式分解的过程．

解：(1)a²＋b²＋2ab＝(a＋b)²＝(3＋4)²＝49

(2)答案不唯一，如：选择a²和b²，可得a²－b²＝(a＋b)(a＋b)

20．(9分)在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如x⁴－y⁴＝(x－y)(x＋y)(x²＋y²)，当x＝9，y＝9时，x－y＝0，x＋y＝18，x²＋y²＝162，于是可以把“018162”作为一个六位数密码．对于多项式4x³－xy²，取x＝10，y＝10，用上述方法产生密码是什么？

解：原式＝x(4x²－y²)＝x(2x＋y)(2x－y)，当x＝10，y＝10时，x＝10，2x＋y＝30，2x－y＝10，故密码为103010或101030或301010

21．(10分)阅读下列解题过程：

已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a²c²－b²c²＝a⁴－b⁴，试判断△ABC的形状．

解：∵a²c²－b²c²＝a⁴－b⁴，①

∴c²(a²－b²)＝(a²＋b²)(a²－b²).②

∴c²＝a²＋b².③

∴△ABC为直角三角形．

问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号；

(2)写出该题正确的解法．

解：(1)从第③步开始错误　(2)正确的解法如下：∵a²c²－b²c²＝a⁴－b⁴，∴c²(a²－b²)＝(a²＋b²)(a²－b²).∴c²(a²－b²)－(a²＋b²)(a²－b²)＝0.∴(a²－b²)[c²－(a²＋b²)]＝0.分三种情况讨论：①当a²－b²＝0.c²－(a²＋b²)≠0时，则a＝b，∴△ABC为等腰三角形；②当a²－b²≠0，c²－(a²＋b²)＝0时，则c²＝a²＋b²，∴△ABC为直角三角形；③当a²－b²＝0，c²－(a²＋b²)＝0时，则a＝b，c²＝a²＋b²，∴△ABC为等腰直角三角形．综上所述，△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形

22．(10分)(新乡期中)阅读下列解答过程：

若二次三项式x²－4x＋m有一个因式是x＋3，求另一个因式及m的值．

解：设另一个因式为x＋a，则x²－4x＋m＝(x＋3)(x＋a)＝x²＋ax＋3x＋3a＝x²＋(a＋3)x＋3a，

∴∴

∴另一个因式为x－7，m的值为－21.

请依照以上方法解答下面问题：

(1)已知二次三项式x²＋3x－k有一个因式是x－5，求另一个因式及k的值；

(2)已知二次三项式2x²＋5x＋k有一个因式是x＋3，求另一个因式及k的值．

解：(1)设另一个因式为(x＋m)，由题意，得x²＋3x－k＝(x－5)(x＋m)，则x²＋3x－k＝x²＋(m－5)x－5m，∴∴∴另一个因式为x＋8，k的值为40　(2)设另一个因式为(2x＋m)，由题意，得2x²＋5x＋k＝(x＋3)(2x＋m)，则2x²＋5x＋k＝2x²＋(m＋6)x＋3m，∴∴∴另一个因式为2x－1，k的值为－3

23．(11分)对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”．例如：m＝3507，因为3＋7＝2×(5＋0)，所以3507是“共生数”；m＝4135，因为4＋5≠2×(1＋3)，所以4135不是“共生数”．

(1)判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；

(2)对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记F(n)＝.求满足F(n)各数位上的数字之和是偶数的所有n.

解：(1)∵5＋3＝2×(3＋1)，∴5313是“共生数”，∵6＋7≠2×(3＋4)，∴6437不是“共生数”

(2)∵n是“共生数”，根据题意，个位上的数字要大于百位上的数字，设n的千位上的数字为a(1≤a≤4)，则十位上的数字为2a，设n的百位上的数字为b，∵个位和百位都是0－9的数字，∴个位上的数字为9－b，且9－b＞b，∴0≤b≤4，∴n＝1000a＋100b＋20a＋9－b；∴F(n)＝＝340a＋33b＋3，由于n是“共生数”，∴a＋9－b＝2×(2a＋b)，即a＋b＝3，可能的情况有：∴n的值为1227或2148或3069，满足F(n)各位数和为偶数的n的值有2148和3069，∴n的值是2148或3069