第十六章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1.下列各式是二次根式的是(　C　)

A. B. C. D.

2. 二次根式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为(　C　)

3.下列二次根式中，是最简二次根式的是(　A　)

A. B. C. D.

4.若两个最简二次根式 与 能够合并，则b的值为(　D　)

A.－1 B. C.0 D.1

5.[2023·湘西]下列运算正确的是(　A　)

A. ＝3 B.(3a)²＝6a²

C.3＋ ＝3 D.(a＋b)²＝a²＋b²

6.(母题：教材P19复习题T8)若 是整数，则正整数n的最小值是(　B　)

A.2 B.3 C.4 D.5

7.估计 × ＋ ×2的值在数轴上最可能表示的点是(　D　)

A.A B.B C.C D.D

8.已知一等腰三角形的周长为12 ，其中一边长为2 ，则这个等腰三角形的腰长为(　B　)

A.2 B.5 C.2 或5 D.无法确定

9.[2023·人大附中月考]若x＝ ＋1，y＝ －1，则x－y＋xy的值为(　C　)

A.2 B.2 C.4 D.0

10.(母题：教材P11习题T12)如图，在长方形ABCD中无重叠地放入面积分别为8和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为(　A　)

A.8 －8 B.8 －12

C.4－2 D.8 －2

二、填空题(每题3分，共24分)

11. 从－ ， ， 中任意选择两个数，分别填在算式(□＋○)²÷ 里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是　 －2 (答案不唯一)　.(只需写出一种结果)

12.若y＝ ＋ ＋1，则x^－y＝　 　.

13.计算( －2)^{2 024}( ＋2)^{2 025}的结果是　 ＋2　.

14.在△ABC中，a，b，c为三角形的三边长，化简 －2｜c－a－b｜＝　－a－3b＋3c　.

15.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 － ＋ 的结果是　－2a　.

16.若a＋4 ＝(m＋n )²，当a，m，n均为正整数时，a的值为　9或6　.

17. 对于任意的正数a，b定义运算“★”：a★b＝ 则(3★2)×(8★12)的运算结果为　2　.

18. 某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状态)，将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不计)分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k(N).若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n＞1)倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为　 　(N)(用含n，k的代数式表示).

三、解答题(19题16分，其余每题10分，共66分)

19.(母题：教材P19复习题T3)计算：

(1)( ＋ )× ÷3 ；　　　　 (2) － ＋(1－ )⁰－｜ －2｜；

(3)( －4 ＋3 )÷2 ； (4)(1＋ )( － )－(2 －1)².

【解】(1)原式＝(3 ＋2 )÷3 ＝1＋ .

(2)原式＝－2－2 ＋1－(2－ )＝－2－2 ＋1－2＋ ＝－3－ .

(3)原式＝ × ＝ －1＋3＝ ＋2.

(4)原式＝ (1＋ )(1－ )－(8－4 ＋1)＝ ×(1－3)－8＋4 －1＝－2 －8＋4 －1＝2 －9.

20.[2023·宜昌]先化简，再求值： ÷ ＋3，其中a＝ －3.

【解】原式＝ · ＋3

＝ · ＋3

＝a＋3.

当a＝ －3时，原式＝ －3＋3＝ .

21.已知等式｜a－2 023｜＋ ＝a成立，求a－2 023²的值.

【解】由题意得a－2 024≥0，∴a≥2 024.

原等式变形为a－2 023＋ ＝a.

整理，得 ＝2 023.

两边平方，得a－2 024＝2 023²，∴a－2 023²＝2 024.

22.[2023·北京四中期中]求 ＋ 的值.

解：设x＝ ＋ ，

两边平方得x²＝( )²＋( )²＋2 ，

即x²＝3＋ ＋3－ ＋4，x²＝10，

∴x＝± .

∵ ＋ ＞0，∴ ＋ ＝ .

请利用上述方法求 ＋ 的值.

【解】设x＝ ＋ ，两边平方得x²＝( )²＋( )²＋2 · ，

即x²＝4＋ ＋4－ ＋6，x²＝14，

∴x＝± .

∵ ＋ ＞0，∴ ＋ ＝ .

23.拦河坝的横断面是梯形，如图，其上底是 m，下底是 m，高是 m.

(1)求横断面的面积；

(2)若用300 m³的土，可修多长的拦河坝？

　【解】(1) ( ＋ )× ＝ (2 ＋4 )× ＝ ×6 × ＝3 (m²).

答：横断面的面积为3 m².

(2) ＝ ＝ ＝ ＝ (m).

答：可修 m长的拦河坝.

24. 阅读下列材料，解答后面的问题：

在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要关注与分式、不等式相结合的一些运算.如：

①要使二次根式 有意义，则需满足a－2≥0，解得a≥2.

②化简 (n＞0)，则需计算1＋ ＋ .

∵1＋ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，

∴ ＝ ＝ ＝1＋ ＝1＋ － .

(1)根据二次根式的性质，要使 ＝ 成立，求a的取值范围.

(2)利用①中的提示，解答：已知b＝ ＋ ＋1，求a＋b的值.

(3)利用②中的结论，计算： ＋ ＋ ＋…＋ .

　【解】(1)由题意，得 ∴－2≤a＜3.

(2)由题意，得 ∴a＝2，∴b＝ ＋ ＋1＝0＋0＋1＝1，∴a＋b＝2＋1＝3.

(3)原式＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝1×2 024＋1－ ＝2 024 .

第十六章综合素质评价

一、1.C　2.C　3.A

4.D 【点拨】由题意得5b＝3＋2b，解得b＝1.

5.A　6.B

7.D 【点拨】 × ＋ ×2＝4 × ＋ ×2＝2 ＋ ＝3 ，∵49＜54＜64，∴7＜3 ＜8，∴式子的值在数轴上最可能表示的点是D，故选D.

8.B 【点拨】当腰长为2 时，底边长为12 －2 －2 ＝8 ，此时2 ＋2 ＜8 ，无法构成三角形；

当底边长为2 时，腰长为（12 －2 ）÷2＝5 ，此时2 ＋5 ＞5 ，能构成三角形.故选B.

9.C 【点拨】把x＝ ＋1，y＝ －1代入得x－y＋xy＝ ＋1－ ＋1＋（ ＋1）（ －1）＝2＋3－1＝4，故C正确.

10.A 【点拨】根据已知条件可以求出长方形ABCD的长和宽，从而求出长方形ABCD的面积，即可求出空白部分的面积.

二、11. －2 （答案不唯一）　12. 　13. ＋2

14.－a－3b＋3c【点拨】∵a，b，c为三角形的三边长，

∴a＋c＞b，a＋b＞c，即a－b＋c＞0，c－a－b＜0.∴ －2｜c－a－b｜＝（a－b＋c）＋2（c－a－b）＝－a－3b＋3c.

15.－2a【点拨】由题中数轴可以看出，a＜0，b＞0，∴a－b＜0.∴ － ＋ ＝－a－b＋[－（a－b）]＝－a－b－a＋b＝－2a.

16.9或6 【点拨】∵a＋4 ＝（m＋n ）²＝m²＋2n²＋2 mn，∴a＝m²＋2n²， 2mn＝4.

∵m，n均为正整数，∴m＝1，n＝2或m＝2，n＝1.当m＝1，n＝2时，a＝1²＋2×2²＝9；当m＝2，n＝1时，a＝2²＋2×1²＝6，∴a的值为9或6.

17.2 【点拨】∵3★2＝ － ，8★12＝ ＋ ＝2 ＋2 ，∴（3★2）×（8★12）＝（ － ）（2 ＋2 ）＝2（ － ）（ ＋ ）＝2.

18.

三、19.【解】（1）原式＝（3 ＋2 ）÷3 ＝1＋ .

（2）原式＝－2－2 ＋1－（2－ ）＝－2－2 ＋1－2＋ ＝－3－ .

（3）原式＝ × ＝ －1＋3＝ ＋2.

（4）原式＝ （1＋ ）（1－ ）－（8－4 ＋1）＝ ×（1－3）－8＋4 －1＝－2 －8＋4 －1＝2 －9.

20.【解】原式＝ · ＋3

＝ · ＋3

＝a＋3.

当a＝ －3时，原式＝ －3＋3＝ .

21.【解】由题意得a－2 024≥0，∴a≥2 024.

原等式变形为a－2 023＋ ＝a.

整理，得 ＝2 023.

两边平方，得a－2 024＝2 023²，∴a－2 023²＝2 024.

22.【解】设x＝ ＋ ，两边平方得x²＝（ ）²＋（ ）²＋2 · ，

即x²＝4＋ ＋4－ ＋6，x²＝14，

∴x＝± .

∵ ＋ ＞0，∴ ＋ ＝ .

23.【解】（1） （ ＋ ）× ＝ （2 ＋4 ）× ＝ ×6 × ＝3 （m²）.

答：横断面的面积为3 m².

（2） ＝ ＝ ＝ ＝ （m）.

答：可修 m长的拦河坝.

24.【解】（1）由题意，得 ∴－2≤a＜3.

（2）由题意，得 ∴a＝2，

∴b＝ ＋ ＋1＝0＋0＋1＝1，

∴a＋b＝2＋1＝3.

（3）原式＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝1×2 024＋1－ ＝2 024 .