第十九章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1.(母题：教材P82习题T7)下列图象中，y不是x的函数的是(　B　)

2.[2022·无锡]函数y＝ 中自变量x的取值范围是(　D　)

A.x＞4 B.x＜4 C.x≥4 D.x≤4

3.[2023·清华附中期中]一次函数y＝－2x＋4的图象不经过(　C　)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4.[2023·长沙南雅中学期中]数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数y₁＝x＋b与一次函数y₂＝kx＋4的图象交于点P(1，3)，根据图象可知，关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是(　C　)

(第4题)

A.x＞3 B.x＜3 C.x＞1 D.x＜1

5. 如图是硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度(g)与温度(℃)之间的对应关系，观察该图可知(　D　)

(第5题)

A.硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度随温度的增大而减小

B.硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度相同时，温度大于20 ℃

C.当温度为10 ℃时，硝酸钾的溶解度大于氯化铵的溶解度

D.当温度为40 ℃时，硝酸钾的溶解度大于氯化铵的溶解度

6.如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是(　D　)

(第6题)

A.y＝2x＋3 B.y＝x－3 C.y＝2x－3 D.y＝－x＋3

7.[2023·深圳外国语学校期中]一次函数y₁＝ax＋b与一次函数y₂＝bx－a在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　D　)

8. 如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止.设注水时间为t，y₁(细实线)表示铁桶中水面高度，y₂(粗实线)表示水池中水面高度(铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水)，则y₁，y₂随时间t变化的函数图象大致为(　C　)

　

9.[2023·雅安]在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数解析式为(　A　)

A.y＝－x＋1 B.y＝x＋1 C.y＝－x－1 D.y＝x－1

10.如图，一次函数y＝x＋ 的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°，交x轴于点C，则线段AC的长为(　A　)

(第10题)

A. ＋ B.3 C.2＋ D. ＋

二、填空题(每题3分，共24分)

11. 请写出一个函数的解析式，使得它的图象经过点(2，0)：　y＝x－2(答案不唯一)　.

12.(母题：教材P107复习题T2)一次函数y＝x－2的图象与y轴的交点坐标是　(0，－2)　.

13.若点A(－1，y₁)，B(3，y₂)是直线y＝kx＋b(k＜0)上的两点，则y₁－y₂　＞　0.(填“＞”或“＜”)

14.[2023·成都外国语学校月考]如图，函数y＝ax和y＝kx＋b的图象相交于点A，则关于x，y的方程组 的解为　 　.

(第14题)

15.若直线y＝2x＋b与坐标轴围成的三角形的面积为6，则b＝　±2 　.

16.若关于x的一元一次不等式组 恰有3个整数解，且一次函数y＝(a－2)x＋a＋1的图象不经过第三象限，则a的取值范围是　－1≤a≤1　.

17.[2022·辽宁]如图，直线y＝2x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点，▱OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为　2　.

(第17题)

18. 为落实“双减”政策，某校利用课后服务时间举行趣味运动会，在直线跑道上，甲同学从A处匀速跑向B处，乙同学从B处匀速跑向A处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动，设甲同学跑步的时间为x(s)，甲、乙两人之间的距离为y(m)，y与x之间的函数关系如图所示，则图中t的值是　 　.

(第18题)

三、解答题(19题8分，20，21题每题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)

19.已知一次函数的图象与直线y＝－x＋1平行，且过点(8，2)，求此一次函数的解析式.

【解】设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0).

∵一次函数的图象与直线y＝－x＋1平行，∴k＝－1.∴一次函数的解析式为y＝－x＋b.

∵一次函数的图象经过点(8，2)，∴2＝－8＋b，解得b＝10.

∴一次函数的解析式为y＝－x＋10.

20.(母题：教材P108复习题T9)把一个长10 cm，宽5 cm的长方形的长减少x cm，宽不变，得到的长方形的面积为y cm².

(1)请写出y与x之间的函数关系式；

(2)请写出自变量x的取值范围；

(3)画出函数的图象.

【解】(1)根据题意得y＝5(10－x)，整理，得y＝－5x＋50.

(2)0≤x＜10.

(3)如图所示.

21.[2023·北师大实验中学期中]在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象由函数y＝－x的图象平移得到，且经过点(1，1).

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx－1(m≠0)的值小于一次函数y＝kx＋b的值，直接写出m的取值范围.

【解】(1)∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象由函数y＝－x的图象平移得到，∴k＝－1.

将点(1，1)的坐标代入y＝－x＋b，解得b＝2，∴一次函数的解析式是y＝－x＋2.

(2)－1≤m≤2且m≠0.

22. 某加油站推出促销活动，一张加油卡的面值是1 000元，打九折出售，使用这张加油卡加油，油的单价降低0.30元/L.假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完.

(1)购买这张加油卡实际要付多少钱？

(2)用这张加油卡加油后油的单价为y元/L，原价为x元/L，求y关于x的函数解析式(不用写出自变量的取值范围).

(3)油的原价是7.30元/L，求用这张加油卡加油后油的单价比原价便宜多少？

【解】(1)1 000×0.9＝900(元)，答：购买这张加油卡实际要付900元.

(2)由题意知，y＝0.9(x－0.30)，整理得y＝0.9x－0.27，

∴y关于x的函数解析式为y＝0.9x－0.27.

(3)当x＝7.30时，y＝0.9×7.30－0.27＝6.30，∵7.30－6.30＝1.00(元/L)，

∴使用这张加油卡加油后油的单价比原价便宜1.00元/L.

23.[2022·河北]如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A(－8，19)，B(6，5).

(1)求AB所在直线的解析式；

(2)某同学设计了一个动画：在函数y＝mx＋n(m≠0，y≥0)中，分别输入m和n的值，便得到射线CD，其中C(c，0)，当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹出.

①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；

②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点(横、纵坐标都是整数)时，线段AB就会发光，求此时整数m的个数.

【解】(1)设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0).

把点A(－8，19)，B(6，5)的坐标分别代入y＝kx＋b，得 解得 ∴AB所在直线的解析式为y＝－x＋11.

(2)①由题意知，直线y＝mx＋n经过点C(2，0)，∴2m＋n＝0.

②设线段AB上的整点为(t，－t＋11)，则tm＋n＝－t＋11，

∵2m＋n＝0，∴(t－2)m＝－t＋11.易知t－2≠0.

∴m＝ ＝－1＋ .

∵t为整数，m也是整数，∴t－2＝±1或±3或±9.解得t＝1，3，5，－1，－7或11.

∵－8≤t≤6，∴t＝11不符合题意，舍去.

当t＝1时，m＝－10；当t＝3时，m＝8；当t＝5时，m＝2；当t＝－1时，m＝－4；

当t＝－7时，m＝－2.∴符合题意的整数m的个数为5.

24. 某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道AB，长度为1m的金属滑块在上面做往返滑动.如图，滑块首先沿AB方向从左向右匀速滑动，滑动速度为9 m/s，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点B时，滑块停顿2 s，然后再以小于9 m/s的速度匀速返回，直到滑块的左端与点A重合，滑动停止.设滑块滑动的时间为t(s)时，滑块左端离点A的距离为l₁(m)，右端离点B的距离为l₂(m)，记d＝l₁－l₂，d与t具有函数关系，已知滑块在从左向右滑动过程中，当t＝4.5和5.5时，与之对应的d的两个值互为相反数；滑块从点A出发到最后返回点A，整个过程总用时27 s(含停顿时间).请你根据所给条件解决下列问题：

(1)滑块从点A到点B的滑动过程中，d的值　由负到正　；(填“由负到正”或“由正到负”)

(2)滑块从点B到点A的滑动过程中，求d与t的函数解析式；

(3)在整个往返过程中，若d＝18，求t的值.

【解】(2)设轨道AB的长为n m，当滑块从左向右滑动时，∵l₁＋l₂＋1＝n，∴l₂＝n－l₁－1.

∴d＝l₁－l₂＝l₁－(n－l₁－1)＝2l₁－n＋1＝2×9t－n＋1＝18t－n＋1.∴d是t的一次函数.

∵当t＝4.5和5.5时，与之对应的d的两个值互为相反数，∴当t＝5时，d＝0.

∴18×5－n＋1＝0.∴n＝91.∴滑块从点A到点B所用的时间为(91－1)÷9＝10(s).

∵整个过程总用时27 s(含停顿时间)，且当滑块右端到达点B时，滑块停顿2 s，

∴滑块从B返回到A所用的时间为27－10－2＝15(s).

∴滑块返回的速度为(91－1)÷15＝6(m/s)，∴当12≤t≤27时，l₂＝6(t－12).

此时l₁＝91－1－l₂＝90－6(t－12)＝162－6t.

∴d＝l₁－l₂＝162－6t－6(t－12)＝－12t＋234.

∴滑块从点B到点A的滑动过程中，d与t的函数解析式为d＝－12t＋234.

(3)当d＝18时，有两种情况：

①当0≤t≤10时，18t－90＝18，解得t＝6.

②当12≤t≤27时，－12t＋234＝18，解得t＝18.

综上所述，当t为6或18时，d＝18.

第十九章综合素质评价

一、1.B 【点拨】自变量x在取值范围内任取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，A，C，D均满足任取一个x的值，有唯一确定的y值和它对应，则y是x的函数，而B中，x取一个正数，与之对应的有两个y值，故y不是x的函数，故选B.

2.D　3.C　4.C　5.D　6.D

7.D 【点拨】根据函数图象，确定a，b的正负，看看是否矛盾即可.

8.C

9.A 【点拨】在函数y＝x的图象上取点A（1，1），绕原点逆时针方向旋转90°后得到对应的点的坐标为A'（－1，1），则旋转后的直线的解析式为y＝－x.再向上平移1个单位长度，得到的直线的解析式为y＝－x＋1.

10.A 【点拨】在一次函数y＝x＋ 中，

令x＝0，则y＝ ；令y＝0，则x＝－ .

∴A（－ ，0），B（0， ）.

∴OA＝OB＝ .

∴△OAB为等腰直角三角形，∠OAB＝45°.

∴AB＝ ＝2.

如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D.

∵∠CAD＝∠OAB＝45°，

∴△ACD为等腰直角三角形.

设CD＝AD＝a，

∴AC＝ ＝ a.

∵直线AB绕点B顺时针旋转30°得到直线CB，

∴∠ABC＝30°.∴BC＝2CD＝2a.

∴BD＝ ＝ a.

又∵BD＝AB＋AD＝2＋a.

∴2＋a＝ a，解得a＝ ＋1.

∴AC＝ a＝ （ ＋1）＝ ＋ .

二、11.y＝x－2（答案不唯一）

12.（0，－2）【点拨】根据一次函数的图象与y轴的交点的横坐标等于0，将x＝0代入y＝x－2，可得y的值，从而可以得到一次函数y＝x－2的图象与y轴的交点坐标.

13.＞

14. 【点拨】根据图象可知，函数y＝ax和y＝kx＋b的图象的交点A的坐标是（－2，1），所以关于x，y的方程组 的解为

15.±2 　【点拨】已知直线与两坐标轴所围成的三角形的面积，求直线对应的函数解析式的方法：先设出直线对应的函数解析式，再用待定字母表示出直线与两坐标轴的交点坐标（注：这步中要考虑直线与x轴，y轴相交时的位置的不同情况），然后利用已知三角形的面积求出待定字母的值，最后代回所设函数解析式即可.

16.－1≤a≤1　17.2

18. 【点拨】由图象和题意可知，乙在t s时到达A处，甲在20 s时到达B处，则V_甲＝ ＝4（m/s），第8 s时两人相遇，则（V_乙＋4）×8＝80.解得V_乙＝6 m/s，则6t＝80，解得t＝ .

三、19.【解】设一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0）.

∵一次函数的图象与直线y＝－x＋1平行，∴k＝－1.

∴一次函数的解析式为y＝－x＋b.

∵一次函数的图象经过点（8，2），

∴2＝－8＋b，解得b＝10.

∴一次函数的解析式为y＝－x＋10.

20.【解】（1）根据题意得y＝5（10－x），整理，得y＝－5x＋50.

（2）0≤x＜10.

（3）如图所示.

21.【解】（1）∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象由函数y＝－x的图象平移得到，

∴k＝－1.

将点（1，1）的坐标代入y＝－x＋b，解得b＝2，

∴一次函数的解析式是y＝－x＋2.

（2）－1≤m≤2且m≠0.

22.【解】（1）1 000×0.9＝900（元），

答：购买这张加油卡实际要付900元.

（2）由题意知，y＝0.9（x－0.30），

整理得y＝0.9x－0.27，

∴y关于x的函数解析式为y＝0.9x－0.27.

（3）当x＝7.30时，y＝0.9×7.30－0.27＝6.30，

∵7.30－6.30＝1.00（元/L），

∴使用这张加油卡加油后油的单价比原价便宜1.00元/L.

23.【解】（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b（k≠0）.

把点A（－8，19），B（6，5）的坐标分别代入y＝kx＋b，得 解得

∴AB所在直线的解析式为y＝－x＋11.

（2）①由题意知，直线y＝mx＋n经过点C（2，0），

∴2m＋n＝0.

②设线段AB上的整点为（t，－t＋11），则tm＋n＝－t＋11，

∵2m＋n＝0，∴（t－2）m＝－t＋11.

易知t－2≠0.

∴m＝ ＝－1＋ .

∵t为整数，m也是整数，∴t－2＝±1或±3或±9.

解得t＝1，3，5，－1，－7或11.

∵－8≤t≤6，∴t＝11不符合题意，舍去.

当t＝1时，m＝－10；当t＝3时，m＝8；

当t＝5时，m＝2；当t＝－1时，m＝－4；

当t＝－7时，m＝－2.

∴符合题意的整数m的个数为5.

24.【解】（1）由负到正

（2）设轨道AB的长为n m，当滑块从左向右滑动时，

∵l₁＋l₂＋1＝n，∴l₂＝n－l₁－1.

∴d＝l₁－l₂＝l₁－（n－l₁－1）＝2l₁－n＋1＝2×9t－n＋1＝18t－n＋1.

∴d是t的一次函数.

∵当t＝4.5和5.5时，与之对应的d的两个值互为相反数，

∴当t＝5时，d＝0.

∴18×5－n＋1＝0.∴n＝91.

∴滑块从点A到点B所用的时间为（91－1）÷9＝10（s）.

∵整个过程总用时27 s（含停顿时间），且当滑块右端到达点B时，滑块停顿2 s，

∴滑块从B返回到A所用的时间为27－10－2＝15（s）.

∴滑块返回的速度为（91－1）÷15＝6（m/s），

∴当12≤t≤27时，l₂＝6（t－12）.

此时l₁＝91－1－l₂＝90－6（t－12）＝162－6t.

∴d＝l₁－l₂＝162－6t－6（t－12）＝－12t＋234.

∴滑块从点B到点A的滑动过程中，d与t的函数解析式为d＝－12t＋234.

（3）当d＝18时，有两种情况：

①当0≤t≤10时，18t－90＝18，解得t＝6.

②当12≤t≤27时，－12t＋234＝18，解得t＝18.

综上所述，当t为6或18时，d＝18.