第三章检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2022·桂林)下列图形中，是中心对称图形的是( B )
2．如图，表示直线a平移得到直线b的两种画法，下列关于三角板平移的方向和移动的距离说法正确的是( B )
A．方向相同，距离相同 B．方向不同，距离不同
C．方向相同，距离不同 D．方向不同，距离相同
sup7() sup7() sup7() sup7()
3．(吉林中考)如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝70°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是( B )
A．10° B．20° C．50° D．70°
4．(2022·长沙)在平面直角坐标系中，点(5，1)关于原点对称的点的坐标是( D )
A．(－5，1) B．(5，－1) C．(1，5) D．(－5，－1)
5．如图，(甲)图案通过旋转后得到(乙)图案，则其旋转中心是( B )
A．点A B．点B C．点C D．点D
6．如图，如果把△ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，那么线段A′B与线段AC的关系是( D )
A．垂直 B .相等 C．平分 D．平分且垂直
7．已知点P的坐标为(a，b)(a＞0)，点Q的坐标为(c，3)，且|a－c|＋＝0，将线段PQ向右平移a个单位长度．其扫过的面积为20，那么a＋b＋c的值为( D )
A．12 B．15 C．16 D．17
8．(2022·包头)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点．若点B′恰好落在AB边上，则点A到直线A′C的距离等于( C )
A．3 B．2 C．3 D．2
sup7() sup7() sup7() sup7()
9．(2022·禹州模拟)如图，△ABC的顶点A(－4，0)，B(－1，4)，点C在y轴的正半轴上，AB＝AC，将△ABC向右平移得到△A′B′C′，若A′B′经过点C，则点C′的坐标为( A )
A．(，3) B．(3，) C．(2，3) D．(3，2)
10．如图，△DEC是由△ABC经过了如下的几何变换而得到的：①以AC所在直线为对称轴作轴对称，再以C为旋转中心，顺时针旋转90°；②以C为旋转中心，顺时针旋转90°得△A′B′C′，再以A′C′所在直线为对称轴作轴对称；③将△ABC向下向左各平移1个单位长度，再以AC的中点为中心作中心对称，其中正确的变换有( A )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．(长沙中考)在平面直角坐标系中，将点A(－2，3)向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是__(1，1)__．
12．如图，已知面积为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O任作一条直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分的面积是____．
13．如图，△A′B′C′是由△ABC沿BC方向平移得到的，若BC＝5 cm，AC＝4.5 cm，B′C＝2 cm，那么A′C′＝__4.5__cm，A，A′两点之间的距离为__3__cm.
sup7() sup7() sup7() sup7()
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝115°，∠ACB＝25°，把△ABC以AC为对称轴作对称变换得到△ADC，又把△ABC绕点B逆时针旋转55°得到△FBE，则∠α的度数为__145°__.
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°)后得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD，当旋转角α的度数为__40°或20°__时，△ADF是等腰三角形．
16．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n＋1B2n＋1(n是正整数)的顶点A2n＋1的坐标是___(4n＋1，)__．
三、解答题(共72分)
17．(6分)如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置．
(1)若AC＝6 cm，则BE＝__6__cm；
(2)若∠CAB＝50°，∠BDE＝100°，求∠CBE的度数．
解：(2)根据平移的性质得AC∥BE，∠ABC＝∠BDE＝100°，∴∠C＝180°－∠CAB－∠ABC＝180°－50°－100°＝30°，由AC∥BE得∠CBE＝∠C＝30°
18．(6分)如图，已知AD＝AE，AB＝AC.
(1)求证：∠B＝∠C；
(2)若∠A＝50°，问△ADC经过怎样的变换能与△AEB重合？
解：(1)在△AEB和△ADC中，AB＝AC，∠A＝∠A，AE＝AD，∴△AEB≌△ADC，∴∠B＝∠C
(2)先将△ADC绕点A逆时针旋转50°，再将△ADC沿直线AE对折，即可使△ADC与△AEB重合(或先将△ADC绕点A顺时针旋转50°，再将△ADC沿直线AB对折，即可使△ADC与△AEB重合)
19．(7分)如图，边长为4的正方形ABCD绕点D旋转30°后能与四边形A′B′C′D重合．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)四边形A′B′C′D是什么图形？面积是多少？
(3)求∠C′DC和∠CDA′的度数；
(4)连接AA′，求∠DAA′的度数．
解：(1)点D
(2)四边形A′B′C′D是正方形，面积为4×4＝16
(3)由题意得∠C′DC＝30°，∠CDA′＝90°－∠C′DC＝60°
(4)由题意得AD＝A′D，∠ADA′＝30°，∴∠DAA′＝(180°－30°)×＝75°
20．(7分)(1)在平面直角坐标系中找出点A(－3，4)，B(－4，1)，C(－1，1)，D(－2，3)并将它们依次连接；
(2)将(1)中所画图形先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，画出第二次平移后的图形；
(3)如何将(1)中所画图形经过一次平移得到(2)中所画图形？平移前后对应点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？
解：(1)画图略 (2)画图略 (3)将A点与它的对应点A′连接起来，则AA′＝＝5，∴将(1)中所画图形沿A到A′的方向平移5个单位长度得到(2)中所画图形．四边形A′B′C′D′与四边形ABCD相比，对应点的横坐标分别增加了4，纵坐标分别减少了3
21．(7分)(枣庄中考)如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在图①中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
(2)在图②中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
(3)在图③中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
解：(1)如图①所示，△DCE即为所求作
(2)如图②所示，△ACD即为所求作
(3)如图③所示，△ECD即为所求作
22．(8分)如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向图形外作等边△BCD，把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，且点A，C，E在一条直线上．若AB＝3，AC＝2.
(1)求∠BAD的度数；
(2)求AD的长．
解：(1)∵△DCE是由△DBA旋转60°后得到的，∴DE＝DA，∠BDC＝60°，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝120°－60°＝60°
(2)AD＝AE＝AC＋CE＝AC＋AB＝2＋3＝5
23．(9分)如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，点D在AB边上，且∠ADC＝45°.
(1)求∠BCD的度数；
(2)将图1中的△BCD绕点B顺时针旋转得到△BC′D′，当点D′恰好落在BC边上时，如图2所示，连接C′C并延长交AB于点E.
①求∠C′CB的度数；
②求证：△C′BD′≌△CAE.
解：(1)∵AC＝BC，∠A＝30°，∴∠B＝∠A＝30°.∵∠ADC＝45°，∴∠BCD＝∠ADC－∠B＝15°
(2)①由旋转，得BC＝BC′＝AC，∠C′BD′＝∠CBD＝∠A＝30°，∴∠CC′B＝∠C′CB＝75°
②∵∠CEB＝∠C′CB－∠CBA＝45°，∴∠ACE＝∠CEB－∠A＝15°，∴∠BC′D′＝∠BCD＝∠ACE.在△C′BD′和△CAE中，∴△C′BD′≌△CAE(ASA)
24．(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt△DOE，∠DOE＝90°，OD＝3，点D在y轴上，点E在x轴上，在△ABC中，点A，C在x轴上，AC＝5，∠ACB＋∠ODE＝180°，∠ABC＝∠OED，BC＝DE.按下列要求画图(保留作图痕迹)：
(1)将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN(其中点D的对应点为点M，点E的对应点为点N)，画出△OMN；
(2)将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′(其中点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′)，使得B′C′与(1)中△OMN的边NM重合；
(3)求OE的长．
解：(1)△OMN如图所示
(2)△A′B′C′如图所示
(3)设OE＝x，则ON＝x，∵∠ABC＝∠OED，∴平移及旋转后，∠A′B′C′＝∠ONM，∴B′C′平分∠A′B′O，且C′O⊥OB′，作MF⊥A′B′于点F，∴B′F＝B′O＝OE＝x，FC′＝OC′＝OD＝3.∵A′C′＝AC＝5，∴A′F＝＝4，∴A′B′＝x＋4，A′O＝5＋3＝8.在Rt△A′B′O中，x2＋82＝(4＋x)2，解得x＝6，即OE＝6
25. (12分)如图，小明将一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片(如图②)，量得它们的斜边长为10 cm，较小的锐角为30°，再将这两张三角形纸片摆成如图③的形状，且点B，C，F，D在同一条直线上，且点C与点F重合．
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮忙解决：
(1)将图③中的△ABF沿BD向右平移到图④的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；
(2)将图③中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图⑤的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；
(3)将图③中的△ABF沿直线AF翻折到图⑥的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH＝DH.
解：(1)图形平移的距离就是线段BC的长，∵在Rt△ABC中，斜边长为10 cm，∠BAC＝30°，∴BC＝5 cm.∴平移的距离为5 cm
(2)∵∠A1FA＝30°，∴∠GFD＝60°，又∵∠D＝30°，∴∠FGD＝90°.在Rt△DEF中，斜边长为10 cm，∠EFD＝30°，∴EF＝5 cm，由勾股定理得FD＝5 cm，在Rt△DFG中，∠D＝30°，∴FG＝FD＝ cm
(3)在△AHE与△DHB1中，∵∠FAB1＝∠EDF＝30°，FD＝FA，EF＝FB＝FB1，∴FD－FB1＝FA－FE，即AE＝DB1.又∵∠AHE＝∠DHB1.∴△AHE≌△DHB1(AAS).∴AH＝DH