第十八章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1.下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是(　C　)

A.内角和为360° B.对角线互相平分

C.对角线相等 D.对角线互相垂直

2.[2022·广东]如图，在△ABC中，BC＝4，点D，E分别为AB，AC的中点，则DE＝(　D　)

(第2题)

A. 　B. C.1 D.2

3.[2023·北京四中期中]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列添加的条件不正确的是(　A　)

(第3题)

A.AD＝BC B.AB＝CD C.AD∥BC D.∠A＝∠C

4.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝36°，则∠DCB的度数为(　A　)

(第4题)

A.54° B.64° C.72° D.75°

5. 某班同学在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带(丝带的对边平行且宽度相同)，如图，丝带重叠的部分一定是(　C　)

(第5题)

A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.都有可能

6.(母题：教材P50习题T8)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(4，0)，则点C的坐标为(　C　)

(第6题)

A.(6，3) B.(8，3) C.(6，4) D.(8，4)

7.[2022·宁波]将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(　C　)

(第7题)

A.正方形纸片的面积 B.四边形EFGH的面积

C.△BEF的面积 D.△AEH的面积

8.[2023·郑州外国语中学模拟]如图所示，边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，P为AB的中点，Q为OD的中点，连接PQ，则PQ的长为(　C　)

(第8题)

A.2 B.3 C. D.

9.[2023·德阳]如图，▱ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是(　A　)

(第9题)

A.1 B. C. D.3

10. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t(单位：s)，下列结论正确的是(　D　)

(第10题)

A.当t＝4 s时，四边形ABMP为矩形

B.当t＝5 s时，四边形CDPM为平行四边形

C.当CD＝PM时，t＝4 s

D.当CD＝PM时，t＝4 s或6 s

二、填空题(每题3分，共24分)

11. 如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于点G，H.添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是　BE＝DF(答案不唯一)　.(只需写一种情况)

(第11题)

12.(母题：教材P57练习T2)如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为　30　.

(第12题)

13.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点.若DE＝5，则AB的长为　10　.

(第13题)

14.如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝20°，则∠AED等于　65°　.

(第14题)

15.[2023·金昌]如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6 cm，则EF＝　2 　cm.

(第15题)

16.[2023·滨州]如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段OB，OA上的点，若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，则BF的长为　 　.

(第16题)

17. 如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1∶2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”.当协调边为6时，这个平行四边形的周长为　16或20　.

18.[2023·南京外国语学校期中]如图，将边长为2的正方形纸片ABCD沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则△GPQ周长的最小值是　 ＋1　.

三、解答题(19题8分，20题10分，其余每题12分，共66分)

19.[2023·北大附中期中]如图，点E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF.求证：DF＝BE.

【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，CD＝AB.∴∠DCF＝∠BAE，

在△CDF和△ABE中， ∴△CDF≌△ABE(SAS).∴DF＝BE.

20.[2023·张家界]如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.

(1)求证：AE∥BF；

(2)若DF＝FC，求证：四边形DECF是菱形.

　【证明】(1)∵AD＝BC，∴AD＋CD＝BC＋CD，∴AC＝BD.

∵AE＝BF，CE＝DF，∴△AEC≌△BFD(SSS)，

∴∠A＝∠B，∴AE∥BF.

(2)∵△AEC≌△BFD，∴∠ECA＝∠FDB，∴EC∥DF.

∵EC＝DF，∴四边形DECF是平行四边形.

∵DF＝FC，∴四边形DECF是菱形.

21. 如图①，在一平面内，从左到右，点A，D，O，C，B均在同一直线上，线段AB＝4，线段CD＝2，O分别是AB，CD的中点，如图②，固定点O以及线段AB，让线段CD绕点O顺时针旋转α(0°＜α＜180°).连接AC，AD，BC，BD.

(1)求证：四边形ADBC为平行四边形；

(2)当α＝90°时，求四边形ADBC的周长；

　(1)【证明】∵O分别是AB，CD的中点，

∴OA＝OB，OC＝OD.

∴四边形ADBC为平行四边形.

(2)【解】∵α＝90°，∴AB⊥CD.

又∵四边形ADBC为平行四边形，∴四边形ADBC为菱形.

∵AB＝4，CD＝2，∴OA＝2，OD＝1.

∴AD＝ ＝ ＝ .

∴四边形ADBC的周长为4 .

22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过点E作EF∥DC交BC的延长线于点F.

(1)求证：四边形CDEF是平行四边形；

(2)若四边形CDEF的周长是25 cm，AC的长为5 cm，求线段AB的长度.

　(1)【证明】∵D，E分别是AB，AC的中点，∴ED是Rt△ABC的中位线.∴ED∥FC.

又∵EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形.

(2)【解】∵四边形CDEF是平行四边形，∴DC＝EF.

∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB＝2DC.

又∵ED是Rt△ABC的中位线，∴BC＝2DE.∴四边形CDEF的周长为AB＋BC.

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB²＝BC²＋AC²，即AB²＝(25－AB)²＋5²，解得AB＝13 cm.

∴线段AB的长度为13 cm.

23. 如图，在正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE.

(1)BF与DE有怎样的数量关系？请证明你的结论.

(2)在其他条件都保持不变的情况下，当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是什么特殊四边形？请证明你的结论.

　【解】(1)BF＝DE.证明如下：

∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAC＝∠BAC＝45°.

∵AF⊥AC，∴∠BAF＝∠BAC＝∠DAC＝45°.

又∵AB＝AD，AF＝AE，∴△AFB≌△AED(SAS).∴BF＝DE.

(2)四边形AFBE是正方形.证明如下：

∵四边形ABCD是正方形，E是AC的中点，∴AE＝BE.

在△ABF和△ABE中， ∴△ABF≌△ABE(SAS).∴BF＝BE.

∴AE＝BE＝BF＝AF.∴四边形AFBE是菱形.

又∵AF⊥AE，∴四边形AFBE是正方形.

24.已知AC是菱形ABCD的对角线，∠BAC＝60°，点E是直线BC上的一个动点，连接AE，以AE为边作菱形AEFG，并且使∠EAG＝60°，连接CG.当点E在线段BC上时，如图①，易证：AB＝CG＋CE.

(1)当点E在线段BC的延长线上时(如图②)，猜想AB，CG，CE之间的关系并证明；

(2)当点E在线段CB的延长线上时(如图③)，直接写出AB，CG，CE之间的关系.

　【解】(1)AB＝CG－CE.证明如下：

∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.

又∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形.

∴AB＝AC.

∵∠EAG＝60°，∴∠BAC＝∠EAG.

∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAG＋∠CAE，

即∠BAE＝∠CAG.又∵四边形AEFG是菱形，∴AE＝AG.

在△ABE和△ACG中， ∴△ABE≌△ACG(SAS).∴BE＝CG.

∵AB＝BC＝BE－CE，∴AB＝CG－CE.

(2)AB＝CE－CG.

第十八章综合素质评价

一、1.C　2.D

3.A 【点拨】A.当AB∥CD，AD＝BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，故此选项符合题意；B.当AB∥CD，AB＝CD时，一组对边平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；C.当AB∥CD，AD∥BC时，两组对边分别平行，可证明四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；D.∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°.∵∠A＝∠C，∴∠C＋∠D＝180°.∴AD∥BC.

∴四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意.

故选A.

4.A　5.C　6.C

7.C 【点拨】根据题意知四边形EFGH为正方形，设正方形纸片的边长为x，正方形EFGH的边长为y，则矩形纸片的宽为x－y.根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，可得矩形纸片的长为x＋y，先表示出图中阴影部分的面积，再分别表示出四个选项中的面积，即可得出正确答案.

8.C 【点拨】过点P作PM⊥OB，垂足为M，根据∠ABC＝60°，AB＝BC，得到△ABC为等边三角形，从而得到∠ABD＝30°，计算出MO＝ OB＝ ＝OQ，PM＝1，再计算出MQ＝OM＋OQ＝2OM＝2 ，最后根据勾股定理计算出PQ.

9.A 【点拨】先判定四边形OCFD为菱形，找出当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值，过D点作DM⊥AC于点M，过G点作GP⊥AC于点P，则GP∥MD，利用平行四边形的面积求DM的长，再利用三角形的中位线定理可求PG的长，进而可求解.

10.D

二、11.BE＝DF（答案不唯一）

12.30　13.10　14.65°　15.2

16. 【点拨】如图，过A作AN⊥BD于N，过B作BM⊥AC于M，

∴∠ANO＝∠ANB＝∠BMO＝∠BMA＝90°.

∵四边形ABCD是矩形，

∴OB＝ BD，OA＝ AC，AC＝BD.∴OB＝OA.

∵S_△AOB＝ OB·AN＝ OA·BM，∴AN＝BM.

∵AE＝BF，∴Rt△ANE≌Rt△BMF（HL）.

∴FM＝EN.

设FM＝EN＝x.

∵AF＝1，BE＝3，∴BN＝3－x，AM＝1＋x.易知BN＝AM.

∴3－x＝1＋x.∴x＝1.∴FM＝1.

∴AM＝2.

∵AB＝5，∴BM＝ ＝ .

∴BF＝ ＝ ＝ .

17.16或20 【点拨】如图所示.

①当AE＝2，DE＝4时，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD＝6，AB＝CD，AD∥BC.∴∠AEB＝∠CBE.

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.

∴∠ABE＝∠AEB.∴AB＝AE＝2.

∴平行四边形ABCD的周长为2（AB＋AD）＝16.

②当AE＝4，DE＝2时，同理可得AB＝AE＝4，平行四边形ABCD的周长为2（AB＋AD）＝20.

综上所述，这个平行四边形的周长为16或20.

18. ＋1 【点拨】如图，取CD的中点N，连接PN，PB，BN，易得BN＝ .

由折叠的性质以及对称性可知

PQ＝PN，PG＝PC，GH＝CD＝2.

∵点Q是GH的中点，

∴QG＝ GH＝1，∵∠CBG＝90°，PC＝PG，

∴PB＝PG＝PC.∴PQ＋PG＝PN＋PB≥BN＝ .

∴PQ＋PG的最小值为 .∴△GPQ的周长的最小值为 ＋1.

三、19.【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，CD＝AB.∴∠DCF＝∠BAE，

在△CDF和△ABE中，

∴△CDF≌△ABE（SAS）.∴DF＝BE.

20.【证明】（1）∵AD＝BC，

∴AD＋CD＝BC＋CD，∴AC＝BD.

∵AE＝BF，CE＝DF，

∴△AEC≌△BFD（SSS），

∴∠A＝∠B，∴AE∥BF.

（2）∵△AEC≌△BFD，

∴∠ECA＝∠FDB，∴EC∥DF.

∵EC＝DF，∴四边形DECF是平行四边形.

∵DF＝FC，∴四边形DECF是菱形.

21.（1）【证明】∵O分别是AB，CD的中点，

∴OA＝OB，OC＝OD.

∴四边形ADBC为平行四边形.

（2）【解】∵α＝90°，∴AB⊥CD.

又∵四边形ADBC为平行四边形，

∴四边形ADBC为菱形.

∵AB＝4，CD＝2，∴OA＝2，OD＝1.

∴AD＝ ＝ ＝ .

∴四边形ADBC的周长为4 .

22.（1）【证明】∵D，E分别是AB，AC的中点，

∴ED是Rt△ABC的中位线.∴ED∥FC.

又∵EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形.

（2）【解】∵四边形CDEF是平行四边形，∴DC＝EF.

∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB＝2DC.

又∵ED是Rt△ABC的中位线，∴BC＝2DE.

∴四边形CDEF的周长为AB＋BC.

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB²＝BC²＋AC²，

即AB²＝（25－AB）²＋5²，解得AB＝13 cm.

∴线段AB的长度为13 cm.

23.【解】（1）BF＝DE.证明如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠DAC＝∠BAC＝45°.

∵AF⊥AC，∴∠BAF＝∠BAC＝∠DAC＝45°.

又∵AB＝AD，AF＝AE，

∴△AFB≌△AED（SAS）.∴BF＝DE.

（2）四边形AFBE是正方形.证明如下：

∵四边形ABCD是正方形，E是AC的中点，

∴AE＝BE.

在△ABF和△ABE中，

∴△ABF≌△ABE（SAS）.∴BF＝BE.

∴AE＝BE＝BF＝AF.∴四边形AFBE是菱形.

又∵AF⊥AE，∴四边形AFBE是正方形.

24.【解】（1）AB＝CG－CE.证明如下：

∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.

又∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形.

∴AB＝AC.

∵∠EAG＝60°，∴∠BAC＝∠EAG.

∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAG＋∠CAE，

即∠BAE＝∠CAG.

又∵四边形AEFG是菱形，∴AE＝AG.

在△ABE和△ACG中，

∴△ABE≌△ACG（SAS）.∴BE＝CG.

∵AB＝BC＝BE－CE，∴AB＝CG－CE.

（2）AB＝CE－CG.