全章热门考点整合应用
名师点金：
本章内容是中考的必考内容，主要考查与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题．近几年又出现了许多与平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：一个定理，一个性质，四个图形，四个判定与性质，四个技巧，两种思想．
一个定理——三角形的中位线定理
1．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD＝BC且AC⊥BD，点E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点．求证：
(1)四边形EFGH是矩形；
(2)四边形EQGP是菱形．
(第1题)
一个性质——直角三角形斜边上的中线性质
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证：
(1)四边形ADEF是平行四边形；
(2)∠DHF＝∠DEF.
(第2题)
四个图形
平行四边形
3．【中考·凉山州】如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为点F，连接DF.求证：
(1)AC＝EF；
(2)四边形ADFE是平行四边形．
(第3题)
矩形
4．如图，在▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA的延长线，DC的延长线分别交于点E，F.
(1)求证：△AOE≌△COF.
(2)连接EC，AF，则EF与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
(第4题)
菱形
5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F.
(1)求证：四边形DBFE是平行四边形．
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？
(第5题)
正方形
6．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后至△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H.
(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；
(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．
(第6题)
四个判定与性质
平行四边形
7．如图，E，F分别是▱ABCD的AD，BC边上的点，且AE＝CF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论．
(第7题)
矩形
8．【中考·湘西州】如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：
(1)△ADE≌△CBF；
(2)四边形DEBF为矩形．
(第8题)
菱形
9．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE＝AC，EF∥BC交AD于点F.
求证：四边形CDEF是菱形．
(第9题)
正方形
10．如图，E为正方形ABCD的边AB的延长线上一点，DE交AC于点F，交BC于点G，H为GE的中点．
求证：FB⊥BH.
(第10题)
四个技巧
解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分图形的周长．【导学号：54274030】
(第11题)
解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法)
12．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．
(第12题)
解与四边形有关的动点问题的技巧(固定位置法)
13．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.
(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．
(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．
(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系．
(第13题)
解中点四边形的技巧
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部，∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．
(1)求证：四边形DEFG是矩形；
(2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面积．
(第14题)
两种思想
转化思想
15．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F.求证：PA＝EF.
(第15题)
数形结合思想
16．[阅读]
在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)为端点的线段的中点坐标为
[运用]
(1)如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON，OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4，3)，则点M的坐标为________；
(2)在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．
(第16题)
答案
1．证明：(1)∵点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF∥AC且EF＝AC，GH∥AC且GH＝AC，EH∥BD，
∴EF∥GH且EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
又∵AC⊥BD，∴EF⊥EH.
∴▱EFGH是矩形．
(2)∵点E，P，G，Q分别为AB，AC，DC，DB的中点，
∴EP＝BC，PG＝AD，GQ＝BC，QE＝AD.
∵AD＝BC，∴EP＝PG＝GQ＝QE，
∴四边形EQGP是菱形．
点拨：在三角形中出现两边中点，常考虑利用三角形中位线得到线段的平行关系或数量关系．
2．证明：(1)∵点D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE∥AC.同理可得EF∥AB.
∴四边形ADEF是平行四边形．
(2)由(1)知四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DAF＝∠DEF.
在Rt△AHB中，∵D是AB的中点，
∴DH＝AB＝AD，
∴∠DAH＝∠DHA.
同理可得HF＝AC＝AF，
∴∠FAH＝∠FHA.
∴∠DAH＋∠FAH＝∠DHA＋∠FHA.
∴∠DAF＝∠DHF.
∴∠DHF＝∠DEF.
3．证明：(1)∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC.
∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AE＝AB，AB＝2AF，∴AF＝BC.
在Rt△BCA和Rt△AFE中，
∴Rt△BCA≌Rt△AFE(HL)，
∴AC＝EF.
(2)∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°.
又∵EF⊥AB，∴∠EFA＝90°＝∠DAB.∴EF∥AD.
∵AC＝EF，AC＝AD，∴EF＝AD.
∴四边形ADFE是平行四边形．
4．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠AEO＝∠CFO.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(AAS)．
(2)解：当AC＝EF时，四边形AECF是矩形．
理由如下：
由(1)知△AOE≌△COF，∴OE＝OF.
∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．
5．(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC.
又∵EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形．
(2)解：当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形．
理由：∵D是AB的中点，
∴BD＝AB.
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC.
又∵AB＝BC，∴BD＝DE.
又∵四边形DBFE是平行四边形，
∴四边形DBFE是菱形．
6．(1)解：DE⊥FG.理由如下：
由题意，得∠A＝∠EDB＝∠GFE，∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠EDB＋∠BED＝90°.
∴∠GFE＋∠BED＝90°，
∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG.
(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG.
∴CB∥GE，CB＝GE.
∴四边形CBEG是平行四边形．
∵∠ABC＝∠GEF＝90°，
∴四边形CBEG是矩形．
∵BC＝BE，
∴四边形CBEG是正方形．
7．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C.
∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)解：四边形MFNE是平行四边形．证明如下：
∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB＝∠CFD，BE＝DF.
又∵M，N分别是BE，DF的中点，
∴ME＝FN.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠AEB＝∠FBE.
∴∠CFD＝∠FBE.
∴EB∥DF，即ME∥FN.
∴四边形MFNE是平行四边形．
规律总结：本题是一道猜想型问题，先猜想结论，再证明结论．本题已知一个四边形是平行四边形，借助其性质，利用平行四边形的判定方法判定另一个四边形是平行四边形．
8．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB.又∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠DEA＝∠BFC＝90°.
∴△ADE≌△CBF.
(2)∵△ADE≌△CBF，∴AE＝CF.
∵CD＝AB，∴DF＝BE.
又∵CD∥AB，
∴四边形DEBF为平行四边形．
又∵∠DEB＝90°，
∴四边形DEBF为矩形．
(第9题)
9．证明：如图，连接CE，交AD于点O.
∵AC＝AE，
∴△ACE为等腰三角形．
∵AO平分
∠CAE，
∴AO⊥CE，且OC＝OE.
∵EF∥CD，
∴∠2＝∠1.
又∵∠DOC＝∠FOE，
∴△DOC≌△FOE(ASA)．
∴OD＝OF.
即CE与DF互相垂直且平分，
∴四边形CDEF是菱形．
10．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCF＝∠BCF＝45°，
DC∥AE，∠CBE＝90°，
∴∠CDF＝∠E.
又∵CF＝CF，∴△DCF≌△BCF.
∴∠CDF＝∠CBF.∴∠CBF＝∠E.
∵H为GE的中点，
∴HB＝HG＝GE.
∴∠HGB＝∠HBG.
∵∠CDG＋∠CGD＝90°，∠CGD＝∠HGB＝∠HBG，
∴∠FBG＋∠HBG＝90°，
即∠FBH＝90°，∴FB⊥BH.
11．解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.
又∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，∴根据轴对称的性质可得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF.
设线段D1F与线段AB交于点M，则阴影部分图形的周长为
(A1E＋EM＋MD1＋A1D1)＋(MB＋MF＋FC＋CB)
＝AE＋EM＋MD1＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB
＝(AE＋EM＋MB)＋(MD1＋MF＋FC)＋AD＋CB
＝AB＋(FD1＋FC)＋10
＝AB＋(FD＋FC)＋10
＝10＋10＋10＝30.
12．解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是.
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°.
∵四边形A′B′C′O是正方形，
∴∠EOF＝90°.∴∠EOF＝∠BOC.
∴∠EOF－∠BOF＝
∠BOC－∠BOF，
即∠BOE＝∠COF.
∴△BOE≌△COF.
∴S△BOE＝S△COF.
∴两个正方形重叠部分的面积等于S△BOC.
∵S正方形ABCD＝1×1＝1，
∴S△BOC＝S正方形ABCD＝.
∴两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是.
13．解：(1)在菱形ABCD中，AG＝CG，AC⊥BD，BG＝BD＝×16＝8，
由勾股定理得AG＝＝＝6，
所以AC＝2AG＝2×6＝12.
所以菱形ABCD的面积＝AC·BD＝×12×16＝96.
(2)不发生变化．理由如下：如图①，连接AO，则S△ABD＝S△ABO＋S△AOD，
所以BD·AG＝AB·OE＋AD·OF，
即×16×6＝×10·OE＋×10·OF.
解得OE＋OF＝9.6，是定值，不变．
(第13题)
(3)发生变化．如图②，连接AO，则S△ABD＝S△ABO－S△AOD，
所以BD·AG＝AB·OE－AD·OF.
即×16×6＝×10·OE－×10·OF.
解得OE－OF＝9.6，是定值，不变．
所以OE＋OF的值发生变化，OE，OF之间的数量关系为OE－OF＝9.6.
14．(1)证明：如图，连接AO并延长交BC于H，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AH是BC的中垂线，即AH⊥BC.
∵D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点，
(第14题)
∴DG∥EF∥BC，DE∥AH∥GF.
∴四边形DEFG是平行四边形．
∵EF∥BC，
AH⊥BC，
∴AH⊥EF.
又∵DE∥AH，
∴EF⊥DE，
∴四边形DEFG是矩形．
(2)解：∵D，E，F分别是AB，OB，OC的中点，
∴AO＝2DE＝4，BC＝2EF＝6.
∵△BOC是等腰直角三角形，
∴OH＝BC＝3.
∴AH＝OA＋OH＝4＋3＝7.
∴S△ABC＝×6×7＝21.
15．证明：连接PC.
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠ECF＝90°，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠ECF＝90°.
∴四边形PECF是矩形．∴PC＝EF.
在△ABP和△CBP中，
∴△ABP≌△CBP(SAS)．
∴PA＝PC.∴PA＝EF.
点拨：本题运用了转化思想将四边形中的边转化到三角形中，通过等式的传递性证明两条线段相等．
16．解：(1)(2，1.5)
(2)设点D的坐标为(x，y)．
若以点A，B，C，D为顶点构成的四边形是平行四边形，
①当AB为对角线时，
∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，
∴＝，＝.
∴x＝1，y＝－1.
∴点D的坐标为(1，－1)．
②当BC为对角线时，
∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，
∴＝，＝.
∴x＝5，y＝3.
∴点D的坐标为(5，3)．
③当AC为对角线时，
∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，
∴＝，＝
∴x＝－3，y＝5.
∴点D的坐标为(－3，5)．
综上所述，点D的坐标为(1，－1)或(5，3)或(－3，5)．
