专训2　常用构造中位线的五种方法

名师点金：

三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线．

连接两点构造三角形的中位线

1．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．

(1)求证：PM＝PN；

(2)求∠MPN的度数．

(第1题)

已知角平分线和垂直构造中位线

2．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求DM的长．

(第2题)

3．如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求DE的长．

(第3题)

倍长法构造三角形的中位线

4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点，求证：ME＝CF.【导学号：54274020】

(第4题)

已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线

5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE＝MN.

(第5题)

已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N，求证：AN＝AC.

(第6题)

答案

1．(1)证明：如图，连接CD，AE.

由三角形中位线定理可得

PM CD，PN AE.

∵△ABD和△BCE是等边三角形，

∴AB＝DB，BE＝BC，

∠ABD＝∠CBE＝60°，

∴∠ABE＝∠DBC.

∴△ABE≌△DBC，

∴AE＝DC.∴PM＝PN.

(2)解：如图，设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H，AE交BD于Q.由(1)知△ABE≌△DBC，

∴∠BAE＝∠BDC.

又∵∠DQH＝∠BQA，

∴∠AHD＝∠ABD＝60°，

∴∠FHG＝120°.

易证四边形PFHG为平行四边形，

∴∠MPN＝120°.

(第1题)

2．解：如图，延长BD，CA交于N.

(第2题)

由题易知∠NAD＝∠BAD，∠ADN＝∠ADB＝90°.

又∵AD＝AD，

∴△AND≌△ABD.

∴DN＝DB，AN＝AB.

又∵M为BC的中点，

∴DM为△BNC的中位线，

∴DM＝NC＝(AN＋AC)＝(AB＋AC)＝15.

3．解：如图，延长BD交AC于点F，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD.

∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF，

又∵AD＝AD，

∴△ADB≌△ADF(ASA)．

∴AF＝AB＝6，BD＝FD.

∵AC＝10，

∴CF＝AC－AF＝10－6＝4.

∵E为BC的中点，

∴DE是△BCF的中位线．

∴DE＝CF＝×4＝2.

　(第3题)

4．证明：如图，延长FE至N，使EN＝EF，连接BN，AN.易得ME＝AN.

(第4题)

∵EF＝EN，∠BEF＝90°，

∴BE垂直平分FN.

∴BF＝BN.∴∠BNF＝∠BFN.

∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，　

∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°，

∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.　

又∵∠FBA＋∠CBF＝90°，

∴∠CBF＝∠ABN.

在△BCF和△BAN中，

∴△BCF≌△BAN.

∴CF＝AN.∴ME＝AN＝CF.

5．证明：如图，取AB的中点H，连接MH，NH，则MH＝BF，NH＝AE.

∵CE＝CF，CA＝CB，∴AE＝BF.

∴MH＝NH.

∵点M，H，N分别为AF，AB，BE的中点，

∴MH∥BF，NH∥AE.

∴∠AHM＝∠ABC，∠BHN＝∠BAC.

∴∠MHN＝180°－(∠AHM＋∠BHN)＝180°－(∠ABC＋∠BAC)＝90°.

∴NH＝MN.

∴AE＝2NH＝2×MN＝MN.

(第5题)

　 (第6题)

6．证明：如图，取NC的中点H，连接DH，过点H作HE∥AD，交BN的延长线于E.

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴D为BC的中点．

又∵H为NC的中点，

∴DH∥BN.

又∵PD∥EH，

∴四边形PDHE是平行四边形．

∴HE＝PD.

∵P为AD的中点，∴AP＝PD.

∴AP＝EH，

易证△APN≌△HEN，∴AN＝HN.

∴AN＝HN＝HC，∴AN＝AC.