第三章 图形的平移与旋转
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是( B )
sup7() eq o(sup7(
(2022·山西)2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是( B )
sup7() sup7() sup7() sup7()
3．如图，将“笑脸”图标先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，则其上的点P的对应点P′的坐标是( C )
A．(－1，6) B．(－9，6) C．(－1，2) D．(－9，2)
sup7()sup7()sup7()
4．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是( A )
A．O1 B．O2 C．O3 D．O4
5．如图，要使此图形旋转后与自身重合，则至少应将它绕中心旋转的度数为( B )
A．30°B．60° C．120° D．180°
6．如图，将一直角三角尺(△ABC)绕点A按顺时针方向旋转一定的角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC＝，∠B＝60°，则CD的长为( D )
A．0.5 B．1.5 C．D．1
sup7() sup7() sup7()
7．如图，将△ABC沿BC方向平移1 cm得到△DEF，如果四边形ABFD的周长为12 cm，则△ABC的周长为( B )
A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．14 cm
8．如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB的边长为4，点A在第二象限内，将△OAB沿射线AO平移后得到△O′A′B′，若点A′的横坐标为6，则点B′的坐标为( C )
A．(8，－4) B．(8，－4)
C．(8，－4) D．(8，－4)
9．如图，一直角三角尺ABC，其中∠A＝30°，∠ACB＝90°，将该三角尺绕点B顺时针旋转60°得到△EBD，延长AC交DE于点F，若AF＝4，则AB的长为( D )
A．2 B． C．3 D．6
sup7() sup7() sup7()
10．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2 023次得到正方形OA2 023B2 023C2 023，若点A的坐标为(1，0)，则点B2 023的坐标为( C )
A．(1，－1) B．(0，) C．(，0) D．(－1，1)
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．如图，把三角尺的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC′＝__5__．
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P按逆时针方向旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标为__(2，1)__．
sup7() sup7()
13．如图，已知Rt△ABC和等边△ADE，AC＝5，∠ABC＝30°，AD＝3，将△ADE沿AB方向平移4得到△A′D′E′，连接BD′，则BD′＝__3__．
14．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为__9__．
sup7() sup7()
15．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝BC＝13，CD＝10，∠A＝60°，BE⊥CD于点E，点F在射线BE上，DF＝，将DF绕着点D顺时针旋转60°得到线段DM，则△ADM的面积为__20或40__．
三、解答题(共75分)
16．(8分)如图，在△ABC中，∠B＋∠ACB＝30°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好为AD的中点．
(1)旋转中心是__点A__，旋转角的大小是__150°__；
(2)求∠BAE的度数和AE的长．
解：(2)由旋转的性质可知△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE＝150°，AD＝AB＝4，AE＝AC，∴∠BAE＝360°－∠BAC－∠DAE＝60°.∵C是AD的中点，∴AC＝CD＝AD＝2，∴AE＝AC＝2，即∠BAE＝60°，AE＝2
17．(9分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，3)，B(1，1)，C(5，1).
(1)平移△ABC，使点A平移到点A1(4，5)处，画出平移后得到的△A1B1C1，并写出点B1，C1的坐标；
(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A1B2C2，并写出点B2，C2的坐标．
解：(1)如图所示的△A1B1C1即为所求作，点B1(3，3)，点C1(7，3)
(2)如图所示的△A1B2C2即为所求作，点B2(6，4)，点C2(6，8)
18．(10分)(2022·广安)数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中均有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形(规定：凡通过旋转能重合的图形均视为同一种图形).
解：如图所示：
19．(10分)如图，在△ABC中，点D在AB边上，且CB＝CD，将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F.
(1)求证：AB＝DE；
(2)若∠B＝70°，∠A＝10°，求∠AFE的度数．
解：(1)证明：由旋转的性质可得CA＝CE，∵∠ECA＝∠DCB，∴∠ECA＋∠ACD＝∠DCB＋∠ACD，即∠ECD＝∠BCA.又∵CB＝CD，∴△BCA≌△DCE(SAS)，∴AB＝DE
(2)由旋转的性质可得∠CDE＝∠B＝70°，又∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝70°，∴∠ADE＝180°－∠CDB－∠CDE＝180°－70°×2＝40°，∴∠AFE＝∠ADE＋∠A＝40°＋10°＝50°
20．(12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，点B，C的对应点分别为D，E.
(1)求证：E，D，B三点共线；
(2)若AB＝2BC＝4，求点E到AB的距离．
解：(1)证明：连接BD，∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，∴∠BAD＝60°，AB＝AD，∠ADE＝∠ABC＝120°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，∴∠ADE＋∠ADB＝120°＋60°＝180°，∴E，D，B三点共线
(2)过点A作AF⊥BE于点F，过点E作EG⊥AB于点G，由(1)知△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝4，∠ABD＝60°，∴BE＝BD＋DE＝BD＋BC＝4＋2＝6，∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝2，∴AF＝＝＝2.又∵S△ABE＝AB·EG＝BE·AF，∴EG＝＝＝3，∴点E到AB的距离是3
21．(12分)如图，D是等边△ABC的边AB上的一点，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接DE，BE.
(1)求证：AD＝BE；
(2)过点A作AF⊥EB交EB的延长线于点F，试猜想线段EB，DB与AF之间的数量关系，并加以证明．
解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠CAB＝∠CBA＝60°.由旋转的性质可得∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE
(2)EB＋DB＝AF，证明如下：由(1)可知△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∠CBE＝∠CAD＝60°，∴∠ABF＝180°－∠ABC－∠CBE＝60°.又∵AF⊥EB，∴∠BAF＝30°，∴BF＝AB，∴AF＝＝＝AB，∴AB＝AF，∴EB＋DB＝AD＋DB＝AB＝AF
22．(14分)在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将线段AB绕点A逆时针旋转至AD(AD不与AC重合)，旋转角记为α，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC.
(1)如图①，当α＝20°时，∠AEB的度数是__45°__；
(2)如图②，当0°＜α＜90°时，求证：BD＋2CE＝AE；
(3)当0°＜α＜180°，AE＝2CE时，请直接写出的值．
解：(1)45° 【解析】由旋转的性质可得∠BAD＝20°，AB＝AD，∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝90°－20°＝70°，∠ABD＝∠ADB＝(180°－∠BAD)＝80°.又∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC＝35°，∴∠AEB＝∠ADB－∠DAE＝80°－35°＝45°
(2)证明：延长DB到点F，使BF＝CE，连接AF，∵AD＝AB＝AC，∠DAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△ADE≌△ACE(SAS)，∴∠ADE＝∠ACE，DE＝CE，∴∠ACE＋∠ABD＝∠ADE＋∠ADB＝180°.又∵∠ABF＋∠ABD＝180°，∴∠ABF＝∠ACE.又∵AB＝AC，BF＝CE，∴△ABF≌△ACE(SAS)，∴AF＝AE，∠FAB＝∠EAC，∴∠FAE＝∠FAB＋∠BAE＝∠EAC＋∠BAE＝∠BAC＝90°，∴EF＝＝AE.又∵EF＝BF＋BD＋DE＝CE＋BD＋CE＝BD＋2CE，∴BD＋2CE＝AE
(3)当0°＜α＜90°时，由(2)可知BD＋2CE＝AE，∴BD＋2DE＝2CE＝2DE，∴＝2－2；如图，当90°＜α＜180°时，在BD上截取BF＝DE，连接AF，又∵AB＝AD，∠ABF＝∠D，∴△ABF≌△ADE(SAS)，∴AF＝AE，∠BAF＝∠DAE.又同(2)可证△ADE≌△ACE，∴DE＝CE，∠CAE＝∠DAE＝∠BAF，∴∠EAF＝∠FAC＋∠CAE＝∠FAC＋∠BAF＝∠BAC＝90°，∴EF＝＝AE，∴BD＝BF＋DE＋EF＝2DE＋AE＝2DE＋2DE，∴＝2＋2.综上所述，的值为2＋2或2－2