专训1　判定平行四边形的五种常用方法

名师点金：

判定平行四边形的方法通常有五种，即定义和四种判定定理，选择判定方法时，一定要结合题目的条件，选择恰当的方法，从而简化解题过程．

利用两组对边分别平行判定平行四边形

1．如图，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF＝DE，连接AF，CE，BE，DF，AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点．求证：四边形FMEN为平行四边形．

(第1题)

利用一组对边平行且相等判定平行四边形

2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，连接CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF＝CE.求证：四边形ACEF是平行四边形．

(第2题)

利用两组对角分别相等判定平行四边形

3．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由．

(第3题)

利用两组对边分别相等判定平行四边形

4．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．

求证：四边形ADEF是平行四边形．

(第4题)

利用对角线互相平分判定平行四边形

5．【中考·哈尔滨】如图①，▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.

(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；

(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)．

(第5题)

答案

1．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，DE＝BF，∴DE BF.

∴四边形BFDE为平行四边形．

∴BE∥DF.

同理，AF∥CE.

∴四边形FMEN为平行四边形．

2．证明：过A作AM⊥DF于M.

∵∠ACB＝90°，ED⊥BC，

∴DF∥AC.

∴AM＝DC.

在Rt△AMF和Rt△CDE中，

∴Rt△AMF≌Rt△CDE.

∴∠F＝∠CED.

∴AF∥CE.

又∵AF＝CE，

∴四边形ACEF是平行四边形．

3．解：四边形BFDE是平行四边形．

理由：在▱ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠A＝∠C.

∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，

∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠CDF＝∠ADF＝∠ADC.∴∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝∠ADF.∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，∴∠DFB＝∠BED.∴四边形BFDE是平行四边形．

4．证明：∵△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形，

∴BA＝BD＝AD，BC＝BE，AF＝AC，∠DBA＝∠EBC＝60°.

∴∠EBC－∠EBA＝∠DBA－∠EBA，

即∠ABC＝∠DBE.

∴△ABC≌△DBE.

∴AF＝AC＝DE.

同理，可证△ABC≌△FEC，

∴AD＝AB＝EF.

∴四边形ADEF是平行四边形．

5．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC.

∵O是对角线AC的中点，

∴OA＝OC，

∴∠EAO＝∠FCO.

在△OAE与△OCF中，

∴△OAE≌△OCF，∴OE＝OF.

同理OG＝OH，

∴四边形EGFH是平行四边形．

(2)解：与四边形AGHD面积相等的平行四边形有▱GBCH，▱ABFE，▱EFCD，▱EGFH.