【323972】2024八年级数学下册 第22章 四边形阶段方法技巧训练(一)专训1判定平行四边形的五
专训1 判定平行四边形的五种常用方法
名师点金:
判定平行四边形的方法通常有五种,即定义和四种判定定理,选择判定方法时,一定要结合题目的条件,选择恰当的方法,从而简化解题过程.
利用两组对边分别平行判定平行四边形
1.如图,在▱ABCD中,E,F分别为AD,BC上的点,且BF=DE,连接AF,CE,BE,DF,AF与BE相交于M点,DF与CE相交于N点.求证:四边形FMEN为平行四边形.
(第1题)
利用一组对边平行且相等判定平行四边形
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点E为AB上一点,连接CE,过点E作ED⊥BC于点D,在DE的延长线上取一点F,使AF=CE.求证:四边形ACEF是平行四边形.
(第2题)
利用两组对角分别相等判定平行四边形
3.如图,在▱ABCD中,BE平分∠ABC,交AD于点E,DF平分∠ADC,交BC于点F,那么四边形BFDE是平行四边形吗?请说明理由.
(第3题)
利用两组对边分别相等判定平行四边形
4.如图,已知△ABD,△BCE,△ACF都是等边三角形.
求证:四边形ADEF是平行四边形.
(第4题)
利用对角线互相平分判定平行四边形
5.【中考·哈尔滨】如图①,▱ABCD中,点O是对角线AC的中点,EF过点O,与AD,BC分别相交于点E,F,GH过点O,与AB,CD分别相交于点G,H,连接EG,FG,FH,EH.
(1)求证:四边形EGFH是平行四边形;
(2)如图②,若EF∥AB,GH∥BC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外).
(第5题)
答案
1.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,DE=BF,∴DE
BF.
∴四边形BFDE为平行四边形.
∴BE∥DF.
同理,AF∥CE.
∴四边形FMEN为平行四边形.
2.证明:过A作AM⊥DF于M.
∵∠ACB=90°,ED⊥BC,
∴DF∥AC.
∴AM=DC.
在Rt△AMF和Rt△CDE中,
∴Rt△AMF≌Rt△CDE.
∴∠F=∠CED.
∴AF∥CE.
又∵AF=CE,
∴四边形ACEF是平行四边形.
3.解:四边形BFDE是平行四边形.
理由:在▱ABCD中,∠ABC=∠CDA,∠A=∠C.
∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC,∠CDF=∠ADF=∠ADC.∴∠ABE=∠CBE=∠CDF=∠ADF.∵∠DFB=∠C+∠CDF,∠BED=∠ABE+∠A,∴∠DFB=∠BED.∴四边形BFDE是平行四边形.
4.证明:∵△ABD,△BCE,△ACF都是等边三角形,
∴BA=BD=AD,BC=BE,AF=AC,∠DBA=∠EBC=60°.
∴∠EBC-∠EBA=∠DBA-∠EBA,
即∠ABC=∠DBE.
∴△ABC≌△DBE.
∴AF=AC=DE.
同理,可证△ABC≌△FEC,
∴AD=AB=EF.
∴四边形ADEF是平行四边形.
5.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∵O是对角线AC的中点,
∴OA=OC,
∴∠EAO=∠FCO.
在△OAE与△OCF中,
∴△OAE≌△OCF,∴OE=OF.
同理OG=OH,
∴四边形EGFH是平行四边形.
(2)解:与四边形AGHD面积相等的平行四边形有▱GBCH,▱ABFE,▱EFCD,▱EGFH.
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