专训1　利用特殊四边形的性质巧解动点问题

名师点金：

利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点解决问题，再运用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点(动点)来解答．

平行四边形中的动点问题

1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F不重合)，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由．

(第1题)

菱形中的动点问题

2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上．

(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；

(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．

(第2题)

矩形中的动点问题

3．在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.

(1)如图①，连接AF，CE.试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长．

(2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

(第3题)

正方形中的动点问题

4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.

(1)求证：四边形EFGH是正方形；

(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．

(第4题)

答案

1．解：AE＝CF，AE∥CF.理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD.

∴∠ABE＝∠CDF.

又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF.

∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.

∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，

∴∠AED＝∠CFB.∴AE∥CF.

2．证明：(1)连接AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC＝CD，

∴∠BCD＝180°－∠B＝120°，△ABC是等边三角形．又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF.

(2)连接AC.由(1)知△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°.∴∠BAE＝∠CAF.

∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，

∴∠ACF＝60°＝∠B.

∴△ABE≌△ACF.

∴AE＝AF.∴△AEF是等边三角形．

3．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC.

∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO.

∵EF垂直平分AC，垂足为O，

∴OA＝OC.

∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.

∴四边形AFCE为平行四边形．

又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．

设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm，

在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得4²＋(8－x)²＝x²，解得x＝5，

∴AF＝5 cm.

(2)显然当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连接AP，CQ，若以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，则PC＝QA.

∵点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，

∴PC＝5t cm，QA＝(12－4t)cm.

∴5t＝12－4t，解得t＝.

∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝.

(第3题)

(第4题)

4．(1)证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，

∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.

∵AE＝BF＝CG＝DH，∴BE＝CF＝DG＝AH.

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.

∴EH＝EF＝FG＝GH，∠1＝∠2.

∴四边形EFGH为菱形．

∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，

∴∠2＋∠3＝90°.∴∠HEF＝90°.

∵四边形EFGH为菱形，

∴四边形EFGH是正方形．

(2)解：直线EG经过一个定点．理由如下：如图，连接BD，DE，BG.设EG与BD交于O点．

∵BE DG，

∴四边形BGDE为平行四边形．

∴BD，EG互相平分．∴BO＝OD.

∴点O为正方形ABCD的对角线的交点．

∴直线EG必过正方形ABCD的对角线的交点．