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【323968】2024八年级数学下册 第22章 四边形阶段方法技巧训练(三)专训1利用特殊四边形的性

时间:2025-01-15 21:22:52 作者: 字数:4511字
简介:

专训1 利用特殊四边形的性质巧解动点问题

名师点金:

利用特殊四边形的性质解动点问题,一般将动点看成特殊点解决问题,再运用从特殊到一般的思想,将特殊点转化为一般点(动点)来解答.


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1.如图,在▱ABCD中,EF两点在对角线BD上运动(EF不重合),且保持BEDF,连接AECF.请你猜想AECF有怎样的数量关系和位置关系,并说明理由.

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2.如图,在菱形ABCD中,∠B60°,动点E在边BC上,动点F在边CD上.

(1)如图①,若EBC的中点,∠AEF60°,求证:BEDF

(2)如图②,若∠EAF60°,求证:△AEF是等边三角形.

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3.在矩形ABCD中,AB4 cmBC8 cmAC的垂直平分线EF分别交ADBC于点EF,垂足为O.

(1)如图①,连接AFCE.试说明四边形AFCE为菱形,并求AF的长.

(2)如图②,动点PQ分别从AC两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周,即点PA→F→B→A停止,点QC→D→E→C停止.在运动过程中,已知点P的速度为5 cm/s,点Q的速度为4 cm/s,运动时间为t s,当以ACPQ四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.

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4.如图,正方形ABCD的边长为8 cmEFGH分别是ABBCCDDA上的动点,且AEBFCGDH.

(1)求证:四边形EFGH是正方形;

(2)判断直线EG是否经过一个定点,并说明理由.

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答案

1.解:AECFAE∥CF.理由如下:

四边形ABCD是平行四边形,

ABCDAB∥CD.

∴∠ABE=∠CDF.

又∵BEDF,∴△ABE≌△CDF.

AECF,∠AEB=∠CFD.

∵∠AEB+∠AED=∠CFD+∠CFB180°

∴∠AED=∠CFB.∴AE∥CF.

2.证明:(1)连接AC.∵在菱形ABCD中,∠B60°ABBCCD

∴∠BCD180°-∠B120°,△ABC是等边三角形.又∵EBC的中点,∴AE⊥BC.∵∠AEF60°,∴∠FEC90°-∠AEF30°.∴∠CFE180°-∠FEC-∠BCD180°30°120°30°.∴∠FEC=∠CFE.∴ECCF.∴BEDF.

(2)连接AC.(1)知△ABC是等边三角形,

ABAC,∠ACB=∠BAC=∠EAF60°.∴∠BAE=∠CAF.

∵∠BCD120°,∠ACB60°

∴∠ACF60°=∠B.

∴△ABE≌△ACF.

AEAF.∴△AEF是等边三角形.

3.解:(1)∵四边形ABCD是矩形,

AD∥BC.

∴∠OAE=∠OCF,∠AEO=∠CFO.

EF垂直平分AC,垂足为O

OAOC.

∴△AOE≌△COF.∴OEOF.

四边形AFCE为平行四边形.

又∵EF⊥AC,∴四边形AFCE为菱形.

AFCFx cm,则BF(8x)cm

Rt△ABF中,AB4 cm,由勾股定理得42(8x)2x2,解得x5

AF5 cm.

(2)显然当P点在AF上,Q点在CD上时,ACPQ四点不可能构成平行四边形;同理P点在AB上时,Q点在DECE上,也不可能构成平行四边形.因此只有当P点在BF上,Q点在ED上时,才能构成平行四边形,如图,连接APCQ,若以ACPQ四点为顶点的四边形是平行四边形,则PCQA.

P的速度为5 cm/s,点Q的速度为4 cm/s,运动时间为t s

PC5t cmQA(124t)cm.

5t124t,解得t.

ACPQ四点为顶点的四边形是平行四边形时,t.

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(3)

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(4)

4(1)证明:如图,∵四边形ABCD为正方形,

∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC90°ABBCCDAD.

AEBFCGDH,∴BECFDGAH.

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.

EHEFFGGH,∠1=∠2.

四边形EFGH为菱形.

∵∠1+∠390°,∠1=∠2

∴∠2+∠390°.∴∠HEF90°.

四边形EFGH为菱形,

四边形EFGH是正方形.

(2)解:直线EG经过一个定点.理由如下:如图,连接BDDEBG.EGBD交于O点.

BE <a href="/tags/55/" title="数学" class="c1" target="_blank">数学</a> <a href="/tags/129/" title="四边形" class="c1" target="_blank">四边形</a> <a href="/tags/206/" title="技巧" class="c1" target="_blank">技巧</a> <a href="/tags/213/" title="方法" class="c1" target="_blank">方法</a> <a href="/tags/245/" title="训练" class="c1" target="_blank">训练</a> <a href="/tags/450/" title="利用" class="c1" target="_blank">利用</a> DG

四边形BGDE为平行四边形.

BDEG互相平分.∴BOOD.

O为正方形ABCD的对角线的交点.

直线EG必过正方形ABCD的对角线的交点.


前凸弯带形 2 5

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