【323968】2024八年级数学下册 第22章 四边形阶段方法技巧训练(三)专训1利用特殊四边形的性
专训1 利用特殊四边形的性质巧解动点问题
名师点金:
利用特殊四边形的性质解动点问题,一般将动点看成特殊点解决问题,再运用从特殊到一般的思想,将特殊点转化为一般点(动点)来解答.
平行四边形中的动点问题
1.如图,在▱ABCD中,E,F两点在对角线BD上运动(E,F不重合),且保持BE=DF,连接AE,CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系,并说明理由.
(第1题)
菱形中的动点问题
2.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,动点E在边BC上,动点F在边CD上.
(1)如图①,若E是BC的中点,∠AEF=60°,求证:BE=DF;
(2)如图②,若∠EAF=60°,求证:△AEF是等边三角形.
(第2题)
矩形中的动点问题
3.在矩形ABCD中,AB=4 cm,BC=8 cm,AC的垂直平分线EF分别交AD,BC于点E,F,垂足为O.
(1)如图①,连接AF,CE.试说明四边形AFCE为菱形,并求AF的长.
(2)如图②,动点P,Q分别从A,C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周,即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,已知点P的速度为5 cm/s,点Q的速度为4 cm/s,运动时间为t s,当以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.
(第3题)
正方形中的动点问题
4.如图,正方形ABCD的边长为8 cm,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.
(1)求证:四边形EFGH是正方形;
(2)判断直线EG是否经过一个定点,并说明理由.
(第4题)
答案
1.解:AE=CF,AE∥CF.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD.
∴∠ABE=∠CDF.
又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF.
∴AE=CF,∠AEB=∠CFD.
∵∠AEB+∠AED=∠CFD+∠CFB=180°,
∴∠AED=∠CFB.∴AE∥CF.
2.证明:(1)连接AC.∵在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=BC=CD,
∴∠BCD=180°-∠B=120°,△ABC是等边三角形.又∵E是BC的中点,∴AE⊥BC.∵∠AEF=60°,∴∠FEC=90°-∠AEF=30°.∴∠CFE=180°-∠FEC-∠BCD=180°-30°-120°=30°.∴∠FEC=∠CFE.∴EC=CF.∴BE=DF.
(2)连接AC.由(1)知△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠ACB=∠BAC=∠EAF=60°.∴∠BAE=∠CAF.
∵∠BCD=120°,∠ACB=60°,
∴∠ACF=60°=∠B.
∴△ABE≌△ACF.
∴AE=AF.∴△AEF是等边三角形.
3.解:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC.
∴∠OAE=∠OCF,∠AEO=∠CFO.
∵EF垂直平分AC,垂足为O,
∴OA=OC.
∴△AOE≌△COF.∴OE=OF.
∴四边形AFCE为平行四边形.
又∵EF⊥AC,∴四边形AFCE为菱形.
设AF=CF=x cm,则BF=(8-x)cm,
在Rt△ABF中,AB=4 cm,由勾股定理得42+(8-x)2=x2,解得x=5,
∴AF=5 cm.
(2)显然当P点在AF上,Q点在CD上时,A,C,P,Q四点不可能构成平行四边形;同理P点在AB上时,Q点在DE或CE上,也不可能构成平行四边形.因此只有当P点在BF上,Q点在ED上时,才能构成平行四边形,如图,连接AP,CQ,若以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形,则PC=QA.
∵点P的速度为5 cm/s,点Q的速度为4 cm/s,运动时间为t s,
∴PC=5t cm,QA=(12-4t)cm.
∴5t=12-4t,解得t=.
∴以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=.
(第3题)
(第4题)
4.(1)证明:如图,∵四边形ABCD为正方形,
∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°,AB=BC=CD=AD.
∵AE=BF=CG=DH,∴BE=CF=DG=AH.
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
∴EH=EF=FG=GH,∠1=∠2.
∴四边形EFGH为菱形.
∵∠1+∠3=90°,∠1=∠2,
∴∠2+∠3=90°.∴∠HEF=90°.
∵四边形EFGH为菱形,
∴四边形EFGH是正方形.
(2)解:直线EG经过一个定点.理由如下:如图,连接BD,DE,BG.设EG与BD交于O点.
∵BE
DG,
∴四边形BGDE为平行四边形.
∴BD,EG互相平分.∴BO=OD.
∴点O为正方形ABCD的对角线的交点.
∴直线EG必过正方形ABCD的对角线的交点.
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