【323969】2024八年级数学下册 第22章 四边形阶段方法技巧训练（三）专训2利用特殊四边形的性

专训2　利用特殊四边形的性质巧解折叠问题

名师点金：

四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明．折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与原图形全等．

平行四边形的折叠问题

1．在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处．如果AE恰好经过BC的中点，那么▱ABCD的面积是________．

2．如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在点E处，AE恰好经过BC边的中点．若AB＝3，BC＝6，求∠B的度数．

(第2题)

矩形的折叠问题

3．【中考·衢州】如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图②.

(1)求证：EG＝CH；

(2)已知AF＝，求AD和AB的长．

(第3题)

菱形的折叠问题

4．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF.若菱形的边长为2，∠A＝120°，求EF的长．

(第4题)

正方形的折叠问题

5．【中考·德州】如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，点D重合)．将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP，BH.

(1)求证：∠APB＝∠BPH.

(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．【导学号：54274027】

(第5题)

答案

1．12　点拨：如图，设AE，BC的交点为O，连接BE，已知O是BC的中点．

∵在△ABC和△CDA中，AB＝CD，BC＝DA，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA，则△ABC≌△CEA，∴∠ACB＝∠CAE，同时，BC＝AE，即在四边形ABEC中，两条对角线相等．∵在△AOC中，∠ACB＝∠CAE，∴AO＝OC，易得O是AE的中点．∴四边形ABEC是矩形，在Rt△AEC中，CE＝AB＝6，AE＝AD＝8，由勾股定理得AC＝＝＝2.

∴▱ABCD的面积＝AB·AC＝6×2＝12.

(第1题)

(第2题)

2．解：设AE与BC相交于点F，如图．

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC.∴∠1＝∠3.

∵平行四边形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在点E处，

∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2.∴FC＝FA.

∵F为BC边的中点，BC＝6，

∴AF＝CF＝BF＝×6＝3.

又∵AB＝3，∴△ABF是等边三角形．∴∠B＝60°.

(第3题)

3．(1)证明：由折叠知∠ADE＝∠A′DE，AE＝EG，BC＝CH.

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AB∥CD.

∴∠A′DE＝∠AED.

∴∠AED＝∠ADE.

∴AE＝AD.

∴EG＝CH.

(2)解：∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝，

∴DG＝，DF＝2.∴AD＝2＋.

如图，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.

∵∠1＋∠AFE＝90°，

∴∠3＝∠AFE.

又∵∠A＝∠B＝90°，

由(1)知，AE＝BC，

∴△EFA≌△CEB.

∴AF＝BE.∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝2＋＋＝2＋2.

4．解：如图，连接BD，AC.

(第4题)

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AC平分∠BAD.

∵∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°.

∴∠ABO＝90°－60°＝30°.

∵∠AOB＝90°，

∴AO＝AB＝×2＝1.

由勾股定理，得BO＝DO＝.

∵点A沿EF折叠与点O重合，

∴EF⊥AC，EF平分AO.

∵AC⊥BD，∴EF∥BD，

易得EF为△ABD的中位线，

∴EF＝BD＝×(＋)＝.

5．(1)证明：∵PE＝BE，

∴∠EBP＝∠EPB.

又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，

∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP，

即∠BPH＝∠PBC.

又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，

∴∠APB＝∠BPH.

(2)解：△PDH的周长不变且为定值8.

证明如下：过B作BQ⊥PH，垂足为Q.如图．

(第5题)

由(1)知∠APB＝∠BPH，

又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，

∴△ABP≌△QBP.

∴AP＝QP，AB＝BQ.

又∵AB＝BC，∴BC＝BQ.

又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，

∴Rt△BCH≌Rt△BQH，∴CH＝QH.

∴△PDH的周长为：PD＋DH＋PH＝AP＋PD＋DH＋HC＝AD＋CD＝8.