专训2 利用特殊四边形的性质巧解折叠问题
名师点金：
四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明．折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与原图形全等．
平行四边形的折叠问题
1．在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处．如果AE恰好经过BC的中点，那么▱ABCD的面积是________．
2．如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在点E处，AE恰好经过BC边的中点．若AB＝3，BC＝6，求∠B的度数．
(第2题)
矩形的折叠问题
3．【中考·衢州】如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图②.
(1)求证：EG＝CH；
(2)已知AF＝，求AD和AB的长．
(第3题)
菱形的折叠问题
4．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF.若菱形的边长为2，∠A＝120°，求EF的长．
(第4题)
正方形的折叠问题
5．【中考·德州】如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，点D重合)．将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP，BH.
(1)求证：∠APB＝∠BPH.
(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．【导学号：54274027】
(第5题)
答案
1．12 点拨：如图，设AE，BC的交点为O，连接BE，已知O是BC的中点．
∵在△ABC和△CDA中，AB＝CD，BC＝DA，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA，则△ABC≌△CEA，∴∠ACB＝∠CAE，同时，BC＝AE，即在四边形ABEC中，两条对角线相等．∵在△AOC中，∠ACB＝∠CAE，∴AO＝OC，易得O是AE的中点．∴四边形ABEC是矩形，在Rt△AEC中，CE＝AB＝6，AE＝AD＝8，由勾股定理得AC＝＝＝2.
∴▱ABCD的面积＝AB·AC＝6×2＝12.
(第1题)
(第2题)
2．解：设AE与BC相交于点F，如图．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠1＝∠3.
∵平行四边形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在点E处，
∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2.∴FC＝FA.
∵F为BC边的中点，BC＝6，
∴AF＝CF＝BF＝×6＝3.
又∵AB＝3，∴△ABF是等边三角形．∴∠B＝60°.
(第3题)
3．(1)证明：由折叠知∠ADE＝∠A′DE，AE＝EG，BC＝CH.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB∥CD.
∴∠A′DE＝∠AED.
∴∠AED＝∠ADE.
∴AE＝AD.
∴EG＝CH.
(2)解：∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝，
∴DG＝，DF＝2.∴AD＝2＋.
如图，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.
∵∠1＋∠AFE＝90°，
∴∠3＝∠AFE.
又∵∠A＝∠B＝90°，
由(1)知，AE＝BC，
∴△EFA≌△CEB.
∴AF＝BE.∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝2＋＋＝2＋2.
4．解：如图，连接BD，AC.
(第4题)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD.
∵∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°.
∴∠ABO＝90°－60°＝30°.
∵∠AOB＝90°，
∴AO＝AB＝×2＝1.
由勾股定理，得BO＝DO＝.
∵点A沿EF折叠与点O重合，
∴EF⊥AC，EF平分AO.
∵AC⊥BD，∴EF∥BD，
易得EF为△ABD的中位线，
∴EF＝BD＝×(＋)＝.
5．(1)证明：∵PE＝BE，
∴∠EBP＝∠EPB.
又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，
∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP，
即∠BPH＝∠PBC.
又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，
∴∠APB＝∠BPH.
(2)解：△PDH的周长不变且为定值8.
证明如下：过B作BQ⊥PH，垂足为Q.如图．
(第5题)
由(1)知∠APB＝∠BPH，
又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，
∴△ABP≌△QBP.
∴AP＝QP，AB＝BQ.
又∵AB＝BC，∴BC＝BQ.
又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，
∴Rt△BCH≌Rt△BQH，∴CH＝QH.
∴△PDH的周长为：PD＋DH＋PH＝AP＋PD＋DH＋HC＝AD＋CD＝8.
