【323966】2024八年级数学下册 第22章 四边形阶段方法技巧训练（二）专训2菱形性质与判定的灵

专训2　菱形性质与判定的灵活运用

名师点金：

菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：

(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．

判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等．

利用菱形的性质与判定判断图形的形状

1．【 中考·北京】如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE.

(1)求证：四边形BCDE为菱形；

(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．

(第1题)

利用菱形的性质与判定证明线段的关系

2．【 中考·滨州】如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．

(1)根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；

(2)若菱形ABEF的周长为16，AE＝4，求∠C的大小．

(第2题)

利用菱形的性质与判定求线段长

3．【 中考·包头】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3.

(1)求AD的长；

(2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)

(第3题)

利用菱形的性质与判定解决面积问题

4．【 中考·云南】如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．

(1)求证：四边形AEDF是菱形；

(2)如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.

(第4题)

答案

1．(1)证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，

∴DE＝BC.

∵AD∥BC，

∴四边形BCDE是平行四边形．

∵∠ABD＝90°，AE＝DE，

∴BE＝DE.

∴四边形BCDE是菱形．

(2)解：∵AD∥BC，AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA.

∴AB＝BC＝1.

∵∠ABD＝90°，E为AD的中点，

∴BE＝AE＝AD.

∵AD＝2BC＝2，

∴BE＝AE＝AB＝1.

∴△ABE为等边三角形，

∴∠BAE＝60°.

∴∠DAC＝30°，∠ADB＝30°.

∴∠ADC＝60°.∴∠ACD＝90°.

在Rt△ACD中，

∵AD＝2，∠DAC＝30°，

∴CD＝1.∴AC＝.

2．(1)证明：由作图过程可知，AB＝AF，AE平分∠BAD.

∴∠BAE＝∠EAF.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC∥AD.

∴∠AEB＝∠EAF.

∴∠BAE＝∠AEB.

∴BE＝AB.

∴BE＝AF.

∵AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形．

∵AB＝BE，

∴四边形ABEF是菱形．

(2)解： 如图，连接BF，交AE于G，

(第2题)

∵菱形ABEF的周长为16，AE＝4，

∴AB＝BE＝EF＝AF＝4，

AG＝AE＝2，AE⊥BF.

在Rt△ABG中，AB²＝AG²＋BG²，

∴4²＝(2)²＋BG².

∴BG＝2.

∴BF＝2BG＝4.

∴AB＝AF＝BF＝4.

∴△ABF为等边三角形．

∴∠BAF＝60°.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠C＝∠BAF＝60°.

3．解：(1)∵∠C＝90°，∠B＝30°，

∴∠CAB＝60°.

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD＝∠CAB＝30°.

在Rt△ACD中，

∵∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，

∴AD＝2CD＝6.

(2)∵DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∠EAD＝∠ADF.

又∵∠EAD＝∠FAD，

∴∠ADF＝∠FAD.

∴AF＝DF.

∴四边形AEDF是菱形．

∴AE＝DE＝DF＝AF.

在Rt△CED中，

∵∠CDE＝∠B＝30°，

∴CE＝DE.

又∵CE²＋CD²＝DE²，

∴＋9＝DE².

∴DE＝2(负值舍去)．

∴四边形AEDF的周长为8.

4．(1)证明：∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，

∴在Rt△ABD中，DE＝AB＝AE，

在Rt△ACD中，DF＝AC＝AF.

又∵AB＝AC，

∴AE＝AF＝DE＝DF.

∴四边形AEDF是菱形．

(2)解：如图，设EF与AD相交于点O.

(第4题)

∵菱形AEDF的周长为12，

∴AE＝3，

设EF＝x，AD＝y，则x＋y＝7，

∴x²＋2xy＋y²＝49，①

易知AD⊥EF，

∴在Rt△AOE中，AO²＋EO²＝AE²，

∴＋＝3².

即x²＋y²＝36，②

把②代入①，可得2xy＝13，

∴xy＝.

∴菱形AEDF的面积S＝xy＝.