专训2 菱形性质与判定的灵活运用
名师点金：
菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：
(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．
判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等．
利用菱形的性质与判定判断图形的形状
1．【 中考·北京】如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE.
(1)求证：四边形BCDE为菱形；
(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．
(第1题)
利用菱形的性质与判定证明线段的关系
2．【 中考·滨州】如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．
(1)根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若菱形ABEF的周长为16，AE＝4，求∠C的大小．
(第2题)
利用菱形的性质与判定求线段长
3．【 中考·包头】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3.
(1)求AD的长；
(2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)
(第3题)
利用菱形的性质与判定解决面积问题
4．【 中考·云南】如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．
(1)求证：四边形AEDF是菱形；
(2)如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.
(第4题)
答案
1．(1)证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，
∴DE＝BC.
∵AD∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形．
∵∠ABD＝90°，AE＝DE，
∴BE＝DE.
∴四边形BCDE是菱形．
(2)解：∵AD∥BC，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA.
∴AB＝BC＝1.
∵∠ABD＝90°，E为AD的中点，
∴BE＝AE＝AD.
∵AD＝2BC＝2，
∴BE＝AE＝AB＝1.
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝60°.
∴∠DAC＝30°，∠ADB＝30°.
∴∠ADC＝60°.∴∠ACD＝90°.
在Rt△ACD中，
∵AD＝2，∠DAC＝30°，
∴CD＝1.∴AC＝.
2．(1)证明：由作图过程可知，AB＝AF，AE平分∠BAD.
∴∠BAE＝∠EAF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD.
∴∠AEB＝∠EAF.
∴∠BAE＝∠AEB.
∴BE＝AB.
∴BE＝AF.
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形．
(2)解： 如图，连接BF，交AE于G，
(第2题)
∵菱形ABEF的周长为16，AE＝4，
∴AB＝BE＝EF＝AF＝4，
AG＝AE＝2，AE⊥BF.
在Rt△ABG中，AB2＝AG2＋BG2，
∴42＝(2)2＋BG2.
∴BG＝2.
∴BF＝2BG＝4.
∴AB＝AF＝BF＝4.
∴△ABF为等边三角形．
∴∠BAF＝60°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠BAF＝60°.
3．解：(1)∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°.
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°.
在Rt△ACD中，
∵∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD＝6.
(2)∵DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∠EAD＝∠ADF.
又∵∠EAD＝∠FAD，
∴∠ADF＝∠FAD.
∴AF＝DF.
∴四边形AEDF是菱形．
∴AE＝DE＝DF＝AF.
在Rt△CED中，
∵∠CDE＝∠B＝30°，
∴CE＝DE.
又∵CE2＋CD2＝DE2，
∴＋9＝DE2.
∴DE＝2(负值舍去)．
∴四边形AEDF的周长为8.
4．(1)证明：∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，
∴在Rt△ABD中，DE＝AB＝AE，
在Rt△ACD中，DF＝AC＝AF.
又∵AB＝AC，
∴AE＝AF＝DE＝DF.
∴四边形AEDF是菱形．
(2)解：如图，设EF与AD相交于点O.
(第4题)
∵菱形AEDF的周长为12，
∴AE＝3，
设EF＝x，AD＝y，则x＋y＝7，
∴x2＋2xy＋y2＝49，①
易知AD⊥EF，
∴在Rt△AOE中，AO2＋EO2＝AE2，
∴＋＝32.
即x2＋y2＝36，②
把②代入①，可得2xy＝13，
∴xy＝.
∴菱形AEDF的面积S＝xy＝.
