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【323967】2024八年级数学下册 第22章 四边形阶段方法技巧训练(二)专训3正方形性质与判定的

时间:2025-01-15 21:22:47 作者: 字数:5131字

专训3 正方形性质与判定的灵活运用

名师点金:

正方形既是菱形,又是矩形,它具有菱形、矩形的所有性质,判定一个四边形是正方形,只需判定它既是菱形又是矩形即可.


利用正方形的性质证明线段位置关系

1.如图,在正方形ABCD中,对角线ACBD相交于点OEF分别在ODOC上,且DECF,连接DFAE,并延长AE,其延长线交DF于点M.

求证:AM⊥DF.

(1)











利用正方形的性质解决线段和差倍分问题

2.在正方形ABCD中,∠MAN45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CBDC(或它们的延长线)于点MN.【导学号:54274025

(1)如图①,当∠MAN绕点A旋转到BMDN时,易证:BMDNMN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,如图②,请问图①中的结论是否还成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.

(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③所示的位置时,线段BMDNMN之间有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并说明理由.

(2)
















利用正方形的判定和性质探究正方形的条件

3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB90°,过点C的直线MN∥ABDAB边上一点,过点DDE⊥BC,交直线MNE,垂足为F,连接CDBE.

(1)求证:CEAD.

(2)当点DAB的中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?请说明理由.

(3)若点DAB的中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明理由.

(3)










正方形的性质与判定的综合运用

4.如图,PQRS四个小球分别从正方形的四个顶点ABCD同时出发,以同样的速度分别沿ABBCCDDA的方向滚动,其终点分别是BCDA.

(1)不管滚动多长时间,求证:连接四个小球所得的四边形PQRS总是正方形.

(2)四边形PQRS在什么时候面积最大?

(3)四边形PQRS在什么时候面积为正方形ABCD面积的一半?并说明理由.

(4)




















答案

1.证明:∵ACBD是正方形ABCD的两条对角线,

AC⊥BDOAODOCOB.

∴∠AOE=∠DOF90°.

DECF,∴OEOF.

∴△AOE≌△DOF.

∴∠OAE=∠ODF.

∵∠DOF90°

∴∠DFO+∠FDO90°.

∴∠DFO+∠FAE90°.

∴∠AMF90°,即AM⊥DF.

2.解:(1)仍有BMDNMN成立.证明如下: 过点AAE⊥AN,交CB的延长线于点E, 易证△ABE≌△ADN,∴DNBEAEAN. 又∵∠EAM=∠NAM45°AMAM

∴△EAM≌△NAM.∴MEMN.

MEBEBMDNBM

BMDNMN .

(2)

(2)DNBMMN.理由如下: 如图,在DN上截取DEBM,连接AE.∵四边形ABCD是正方形,

∴∠ABM=∠D=∠BAD90°ABAD.

又∵BMDE,∴△ABM≌△ADE.∴AMAE,∠BAM=∠DAE.

∵∠DAB90°,∴∠MAE90°.

∵∠MAN45°

∴∠EAN45°=∠MAN.

又∵AMAEANAN

∴△AMN≌△AEN.∴MNEN.

DNDEENBMMN.

DNBMMN.

3(1)证明:∵DE⊥BC,∴∠DFB90°.

∵∠ACB90°,∴∠ACB=∠DFB.

AC∥DE.

MN∥AB,即CE∥AD

四边形ADEC是平行四边形.

CEAD.

(2)解:四边形BECD是菱形.

理由:∵DAB的中点,∴ADBD.

CEAD,∴BDCE.

BD∥CE

四边形BECD是平行四边形.

∵∠ACB90°DAB的中点,

CDBD.

四边形BECD是菱形.

(3)解:当∠A45°时,四边形BECD是正方形,理由:

∵∠ACB90°,∠A45°

∴∠ABC=∠A45°.∴ACBC.

DAB的中点,∴CD⊥AB.

∴∠CDB90°.

四边形BECD是菱形,

菱形BECD是正方形.

即当∠A45°时,四边形BECD是正方形.

4(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D90°ABBCCDDA.又∵在任何运动时刻,APBQCRDS,∴PBQCRDSA.∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS.∴PSQPRQSR,∠ASP=∠BPQ.∴在任何运动时刻,四边形PQRS总是菱形.又∵∠APS+∠ASP90°,∴∠APS+∠BPQ90°.∴∠QPS180°(∠APS+∠BPQ)180°90°90°.∴在任何运动时刻,四边形PQRS总是正方形.

(2)解:当PQRS在出发时或在到达终点时面积最大,此时的面积就等于正方形ABCD的面积.

(3)解:当PQRS四个小球滚动到正方形ABCD各边中点时,四边形PQRS的面积为正方形ABCD面积的一半.

理由:设正方形ABCD的边长为a.

PS2a2时,在Rt△APS中,ASaSDaAP.

由勾股定理,得AS2AP2PS2

(aAP)2AP2a2

解得APa.

同理可得BQCRSDa.

PQRS四个小球滚动到正方形ABCD各边中点时,四边形PQRS的面积为正方形ABCD面积的一半.


前凸弯带形 2 5