专训3 正方形性质与判定的灵活运用
名师点金:
正方形既是菱形,又是矩形,它具有菱形、矩形的所有性质,判定一个四边形是正方形,只需判定它既是菱形又是矩形即可.
利用正方形的性质证明线段位置关系
1.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别在OD,OC上,且DE=CF,连接DF,AE,并延长AE,其延长线交DF于点M.
求证:AM⊥DF.
(第1题)
利用正方形的性质解决线段和差倍分问题
2.在正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.【导学号:54274025】
(1)如图①,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,易证:BM+DN=MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,如图②,请问图①中的结论是否还成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③所示的位置时,线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并说明理由.
(第2题)
利用正方形的判定和性质探究正方形的条件
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE.
(1)求证:CE=AD.
(2)当点D为AB的中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?请说明理由.
(3)若点D为AB的中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明理由.
(第3题)
正方形的性质与判定的综合运用
4.如图,P,Q,R,S四个小球分别从正方形的四个顶点A,B,C,D同时出发,以同样的速度分别沿AB,BC,CD,DA的方向滚动,其终点分别是B,C,D,A.
(1)不管滚动多长时间,求证:连接四个小球所得的四边形PQRS总是正方形.
(2)四边形PQRS在什么时候面积最大?
(3)四边形PQRS在什么时候面积为正方形ABCD面积的一半?并说明理由.
(第4题)
答案
1.证明:∵AC,BD是正方形ABCD的两条对角线,
∴AC⊥BD,OA=OD=OC=OB.
∴∠AOE=∠DOF=90°.
∵DE=CF,∴OE=OF.
∴△AOE≌△DOF.
∴∠OAE=∠ODF.
∵∠DOF=90°,
∴∠DFO+∠FDO=90°.
∴∠DFO+∠FAE=90°.
∴∠AMF=90°,即AM⊥DF.
2.解:(1)仍有BM+DN=MN成立.证明如下: 过点A作AE⊥AN,交CB的延长线于点E, 易证△ABE≌△ADN,∴DN=BE,AE=AN. 又∵∠EAM=∠NAM=45°,AM=AM,
∴△EAM≌△NAM.∴ME=MN.
∵ME=BE+BM=DN+BM,
∴BM+DN=MN .
(第2题)
(2)DN-BM=MN.理由如下: 如图,在DN上截取DE=BM,连接AE.∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABM=∠D=∠BAD=90°,AB=AD.
又∵BM=DE,∴△ABM≌△ADE.∴AM=AE,∠BAM=∠DAE.
∵∠DAB=90°,∴∠MAE=90°.
∵∠MAN=45°,
∴∠EAN=45°=∠MAN.
又∵AM=AE,AN=AN,
∴△AMN≌△AEN.∴MN=EN.
∴DN=DE+EN=BM+MN.
∴DN-BM=MN.
3.(1)证明:∵DE⊥BC,∴∠DFB=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DFB.
∴AC∥DE.
∵MN∥AB,即CE∥AD,
∴四边形ADEC是平行四边形.
∴CE=AD.
(2)解:四边形BECD是菱形.
理由:∵D为AB的中点,∴AD=BD.
∵CE=AD,∴BD=CE.
∵BD∥CE,
∴四边形BECD是平行四边形.
∵∠ACB=90°,D为AB的中点,
∴CD=BD.
∴四边形BECD是菱形.
(3)解:当∠A=45°时,四边形BECD是正方形,理由:
∵∠ACB=90°,∠A=45°,
∴∠ABC=∠A=45°.∴AC=BC.
∵点D为AB的中点,∴CD⊥AB.
∴∠CDB=90°.
∵四边形BECD是菱形,
∴菱形BECD是正方形.
即当∠A=45°时,四边形BECD是正方形.
4.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA.又∵在任何运动时刻,AP=BQ=CR=DS,∴PB=QC=RD=SA.∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS.∴PS=QP=RQ=SR,∠ASP=∠BPQ.∴在任何运动时刻,四边形PQRS总是菱形.又∵∠APS+∠ASP=90°,∴∠APS+∠BPQ=90°.∴∠QPS=180°-(∠APS+∠BPQ)=180°-90°=90°.∴在任何运动时刻,四边形PQRS总是正方形.
(2)解:当P,Q,R,S在出发时或在到达终点时面积最大,此时的面积就等于正方形ABCD的面积.
(3)解:当P,Q,R,S四个小球滚动到正方形ABCD各边中点时,四边形PQRS的面积为正方形ABCD面积的一半.
理由:设正方形ABCD的边长为a.
当PS2=a2时,在Rt△APS中,AS=a-SD=a-AP.
由勾股定理,得AS2+AP2=PS2,
即(a-AP)2+AP2=a2,
解得AP=a.
同理可得BQ=CR=SD=a.
∴当P,Q,R,S四个小球滚动到正方形ABCD各边中点时,四边形PQRS的面积为正方形ABCD面积的一半.