全章热门考点整合应用
名师点金：
本章内容是中考的必考内容，主要考查一次函数的图像与性质，求函数表达式及建立一次函数模型解决利润大小、方案选择等实际问题，题型涉及选择题、填空题与解答题．其热门考点可概括为：一个概念，一个图像，一个性质，四个关系，一个方法，两个应用．
一个概念——一次函数
1．当m，n为何值时，y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的一次函数？当m，n为何值时，y是关于x的正比例函数？
一个图像——一次函数的图像
2．【中考·阜新】对于一次函数y＝kx＋k－1(k≠0)，下列叙述正确的是( )
A．当0<k<1时，函数图像经过第一、二、三象限
B．当k>0时，y随x的增大而减小
C．当k<1时，函数图像一定交于y轴的负半轴
D．函数图像一定经过点(－1，－2)
3．若有理数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝ax＋c的图像可能是( )
一个性质——一次函数的性质
4．已知点M(1，a)和点N(2，b)是一次函数y＝－2x＋1的图像上的两点，则a与b的大小关系是( )
A．a＞b B．a＝b
C．a＜b D．以上都不对
5．已知一次函数的表达式是y＝(k－2)x＋12－3k.
(1)当图像与y轴的交点位于原点下方时，判断函数值随着自变量的增大而变化的趋势；
(2)如果函数值随着自变量的增大而增大，且函数图像与y轴的交点位于原点上方，确定满足条件的正整数k的值．
四个关系
一次函数与正比例函数的关系
6．如图，过点A(0，3)的一次函数的图像与正比例函数y＝2x的图像相交于点B.
(1)求一次函数的表达式；
(2)判断点C(4，－2)是否在该一次函数的图像上，说明理由；
(3)若该一次函数的图像与x轴交于D点，求△BOD的面积．
(第6题)
一次函数与一元一次方程的关系
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋1与y＝－x＋3交于点A，两直线分别交x轴于点B和点C.
(1)求点B，C的坐标；
(2)求△ABC的面积．
(第7题)
一次函数与二元一次方程(组)的关系
8．下列各个选项中的网格都是边长为1的小正方形，利用函数的图像解方程5x－1＝2x＋5，其中正确的是( )
9．如图，一次函数y＝k1x＋b1的图像l1与y＝k2x＋b2的图像l2相交于点P，则方程组的解是( )
A. B.
C. D.
(第9题)
一次函数与不等式(组)的关系
10．【中考·武汉】已知一次函数y＝kx＋3的图像经过点(1，4)．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)求关于x的不等式kx＋3≤6的解集．
11．在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y1＝2x－4，y2＝x＋1的图像，根据图像回答下列问题：
(1)求二元一次方程组的解；
(2)求一元一次不等式组的解集．
一个方法——待定系数法
12．如图，一个正比例函数图像与一个一次函数图像交于点A(3，4)，且一次函数的图像与y轴相交于点B(0，－5)．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)求△AOB的面积．
(第12题)
两个应用
给出表达式(或图像)解实际问题
13．【中考·河南】某游泳馆普通票价20元/张，暑期为了促销，新推出两种优惠卡：
①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；
②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．
暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元．
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
(2)在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点A，B，C的坐标；
(3)请根据函数图像，直接写出选择哪种消费方式更合算．【导学号：54274016】
(第13题)
只给语言叙述或图表情境解实际问题
14．为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在河堤坡面种植白杨树，现有甲、乙两家林场可提供相同质量的白杨树苗，其具体销售方案如下：
甲林场 |
乙林场 |
|
|
购买树苗数量 |
销售价格 |
购买树苗数量 |
销售价格 |
不超过1 000 棵时 |
4元/棵 |
不超过2 000 棵时 |
4元/棵 |
超过1 000棵 的部分 |
3.8元/棵 |
超过2 000棵 的部分 |
3.6元/棵 |
设购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲(元)、y乙(元)．
(1)该村需要购买1 500棵白杨树苗，若都在甲林场购买所需费用为________元，若都在乙林场购买所需费用为________元；
(2)分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；
(3)如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？
答案
1．解：若y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的一次函数，
则有解得
所以当m≠且n＝1时，y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的一次函数．
若y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的正比例函数，
则有解得
所以当m＝－1且n＝1时，y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是关于x的正比例函数．
2．C 3.A
4．A 点拨：∵点M(1，a)和点N(2，b)在一次函数y＝－2x＋1的图像上，由一次函数的性质可知一次函数y＝－2x＋1的函数值y随x的增大而减小，∴a>b.
5．解：(1)因为图像与y轴的交点位于原点下方，即点(0，12－3k)位于原点下方，所以12－3k<0，解得k>4.所以k－2>4－2>0，所以函数值随着自变量的增大而增大．
(2)因为函数值随着自变量的增大而增大，所以k－2>0，解得k>2.
因为函数图像与y轴的交点位于原点上方，所以12－3k>0，解得k<4.
所以k的取值范围为2<k<4.
所以满足条件的正整数k的值为3.
6．解：(1)在y＝2x中，令x＝1，得y＝2，则点B的坐标是(1，2)，
设一次函数的表达式是y＝kx＋b(k≠0)，
则解得
故一次函数的表达式是y＝－x＋3.
(2)点C(4，－2)不在该一次函数的图像上．理由：对于y＝－x＋3，
当x＝4时，y＝－1≠－2，所以点C(4，－2)不在该一次函数的图像上．
(3)在y＝－x＋3中，令y＝0，得x＝3，则点D的坐标是(3，0)，
则S△BOD＝×OD×2＝×3×2＝3.
7．解：(1)由x＋1＝0，解得x＝－1，
所以点B的坐标是(－1，0)．
由－x＋3＝0，解得x＝4，
所以点C的坐标是(4，0)．
(2)因为BC＝4－(－1)＝5，点A到x轴的距离为，
所以S△ABC＝×5×＝.
8．A 点拨：由选项中的图像可知要将5x－1＝2x＋5的解转化为两条直线的交点的横坐标，因此画出一次函数y＝5x－1与y＝2x＋5的图像即可．
9．A
10．解：(1)把点(1，4)的坐标代入y＝kx＋3中，得4＝k＋3.
∴k＝1.
∴一次函数的表达式为y＝x＋3.
(2)由(1)知k＝1，
∴原不等式为x＋3≤6.
∴x≤3.
点拨：(1)把点(1，4)的坐标代入y＝kx＋3中，用待定系数法求出k的值．(2)把求出的k值代入不等式kx＋3≤6中，求出不等式的解集．
11．解：图像如图所示．
(第11题)
(1)由图像知，直线y1＝2x－4与y2＝x＋1的交点坐标为(5，6)，所以方程组的解为
(2)由图像知，不等式组
的解集为x＞2.
12．解：(1)设正比例函数的表达式为y＝k1x，一次函数的表达式为y＝k2x＋b，把A(3，4)的坐标代入y＝k1x得k1＝，把A(3，4)，B(0，－5)的坐标分别代入y＝k2x＋b，解得k2＝3，b＝－5，故正比例函数的表达式为y＝x，一次函数的表达式为y＝3x－5.
(2)因为A点横坐标为3，所以A点到OB的距离为3.又因为B点纵坐标为－5，所以OB＝5.
所以△AOB的面积为×5×3＝7.5.
13．解：(1)银卡：y＝10x＋150；
普通票：y＝20x.
(2)把x＝0代入y＝10x＋150，得y＝150，
∴A(0，150)．
∵
∴
∴B(15，300)．
把y＝600代入y＝10x＋150，得x＝45.
∴C(45，600)．
(3)当0<x<15时，选择购买普通票更合算；(注：若写成0≤x＜15，也正确)
当x＝15时，选择购买银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；
当15<x<45时，选择购买银卡更合算；
当x＝45时，选择购买金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；
当x>45时，选择购买金卡更合算．
14．解：(1)5 900；6 000
(2)当0≤x≤1 000时，y甲＝4x，
当x>1 000时，
y甲＝4 000＋3.8(x－1 000)＝3.8x＋200，
∴y甲＝
当0≤x≤2 000时，y乙＝4x，
当x>2 000时，
y乙＝8 000＋3.6(x－2 000)＝3.6x＋800，
∴y乙＝
(3)由题意，得
当0≤x≤1 000时，两家林场白杨树苗价格一样，
∴到两家林场购买所需费用一样；
当1 000<x≤2 000时，甲林场有优惠而乙林场无优惠，
∴当1 000<x≤2 000时，到甲林场购买合算；
当x>2 000时，y甲＝3.8x＋200，
y乙＝3.6x＋800，
当y甲＝y乙时，
3．8x＋200＝3.6x＋800，
解得x＝3 000，
∴当x＝3 000时，到两家林场购买所需费用一样；
当y甲<y乙时，
3．8x＋200＜3.6x＋800，
解得x<3 000，
∴当2 000<x<3 000时，到甲林场购买合算；
当y甲>y乙时，
3．8x＋200>3.6x＋800，
解得x>3 000，
∴当x>3 000时，到乙林场购买合算．
综上所述，当0≤x≤1 000或x＝3 000时，到两家林场购买所需费用一样；
当1 000<x<3 000时，到甲林场购买合算；
当x>3 000时，到乙林场购买合算．
