第二十一章综合素质评价

一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)

1．下列函数中，是正比例函数的是(　　)

A．y＝－8x B．y＝ C．y＝8x² D．y＝8x－4

2．(母题：教材P111复习题T2(2))已知点(－5，y₁)，(3，y₂)都在直线y＝－8x＋7上，则y₁，y₂的大小关系是(　　)

A．y₁>y₂ B．y₁＝y₂ C．y₁<y₂ D．无法比较

3．[2022·哈尔滨]一辆汽车油箱中剩余的油量y(L)与已行驶的路程x(km)的对应关系如图所示．如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为35 L时，那么该汽车已行驶的路程为(　　)

A ．150 km

B．165 km

C．125 km

D．350 km

4．直线y＝2x－3可以由直线y＝2x(　　)单位长度得到的．

A．向右平移3个 B．向左平移3个

C．向下平移3个 D．向上平移3个

5．一次函数的图像经过点(1，2)和(－3，－1)，则它的表达式为(　　)

A．y＝x－ B．y＝x－

C．y＝x＋ D．y＝x＋

6．在一次函数y＝kx＋2中，y的值随着x值的增大而减小，则点P(3，k)在(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

7．[2023·天津中学月考]关于函数y＝－2x＋1，下列结论正确的是(　　)

A．图像必经过点(－2，1)

B．图像经过第一、二、三象限

C．当x>时，y<0

D．y随x的增大而增大

8．已知一次函数y＝x－2，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是(　　)

9．函数y＝2x－3和y＝－kx＋b(k≠0)的图像相交于点(2，1)，则关于x，y的方程组的解为(　　)

A． B． C． D．

10．定义(p，q)为一次函数y＝px＋q的特征数．若特征数是(2，k－2)的一次函数为正比例函数，则k的值是(　　)

A．0 B．－2 C．2 D．任何数

11．一次函数y＝k₁x＋b与正比例函数y＝k₂x在同一平面直角坐标系的图像如图所示，则关于x的不等式k₁x＋b＜k₂x的解集为(　　)

A．x＜－1 B．x＞－1 C．x＜－2 D．x＞－2

12．如图，有一种动画程序，屏幕上正方形ABCD是黑色区域(含正方形边界)，其中A(1，1)，B(2，1)，C(2，2)，D(1，2)，用信号枪沿直线y＝－2x＋b发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能使黑色区域变白的b的取值范围为(　　)

A．3≤b≤6 B．3<b<6

C．－3≤b≤0 D．－3<b<0

13．如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，1)，点A(4，1)，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转60°得到点B，在M₁(－1，－)，M₂(－，0)，M₃(1，－1)，M₄(2，2)四个点中，直线PB经过的点是(　　)

A．M₁ B．M₂ C．M₃ D．M₄

14．两个一次函数y₁＝ax＋b与y₂＝bx＋a在同一坐标系中的图像可能是(　　)

15．[2023·随州]甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y(km)与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距300 km；②甲车的平均速度是60 km/h，乙车的平均速度是100 km/h；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在9：30追上乙车．正确的有(　　)

A．①② B．①③ C．②④ D．①④

16．[2023·邯郸十一中模拟]如图，两摞规格完全相同的作业本整齐地叠放在桌面上，根据图中所给出的数据信息，甲、乙、丙、丁四人分别给出下列信息：

甲：每本作业本的厚度为3 mm

乙：桌面距离地面的高度为860 mm

丙：若有一摞这种规格的作业本x本整齐地放在桌面上，这摞作业本顶部距离地面高度为h(单位：mm)，则h＝860＋2x

丁：若把270本这种规格的作业本整齐地摆成一摞放在桌面上，则这摞作业本顶部距离地面的高度为1.4×10³ mm

对于四个信息，下列说法正确的是(　　)

A．只有甲错误 B．只有乙、丙正确

C．只有甲、丙正确 D．都正确

二、填空题(17，18题每题3分，19题4分，共10分)

17．[2023·苏州]已知一次函数y＝kx＋b的图像经过点(1，3)和(－1，2)，则k²－ b²＝________.

18．[2022·辽宁]如图，直线y＝2x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，D为OB的中点，平行四边形OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则平行四边形OCDE的面积为________．

19．[2023·承德五中模拟]如图，直线l₁：y＝2x－4与直线l₂：y＝－x＋5交于点P(3，2)，直线l₃：y＝kx＋3k(k≠0)过定点A.

(1)点A的坐标为________；

(2)若直线l₃：y＝kx＋3k经过点P，则k＝________；

(3)直线l₃：y＝kx＋3k经过点P时，不能与直线l₁，l₂围成三角形，再写出另外两个k值，使得l₁，l₂，l₃三条直线围不成三角形，k＝________.

三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题12分，共68分)

20．把一个长10 cm、宽5 cm的长方形的长减少x cm，宽不变，得到的长方形的面积为y cm².

(1)请写出y与x之间的函数关系式；

(2)请写出自变量x的取值范围；

(3)画出函数的图像．

21．如图，一次函数y＝kx＋3的图像经过点A(1，4)．

(1)求这个一次函数的表达式；

(2)试判断点B(－1，5)，C(0，3)，D(2，1)是否在这个一次函数的图像上．

22．如图，直线y＝－2x＋2与两坐标轴分别交于A，B两点，直线y＝x－3与两坐标轴分别交于C，D两点，两直线在第四象限内交于一点E.

(1)求点E的坐标，并直接写出不等式－2x＋2>x－3的解集；

(2)求四边形OCEB的面积．

23．[2023·绍兴]一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1 000米，甲、乙两机器人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行．图中 OA，BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y(米)与行走时间x(分钟)的函数关系图像．

(1)求OA所在直线的表达式．

(2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？

(3)甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P，M两地间的距离．

24．[2023·邢台十九中模拟]目前，国内旅游市场回暖，某海边景区准备购买A，B两种型号的遮阳伞供景区游客使用．已知购买5个A型号和2个B型号的遮阳伞需要2 500元，购买3个A型号和1个B型号的遮阳伞需要1 400元．

(1)求A，B两个型号遮阳伞的单价．

(2)经调查，该景区需要添置遮阳伞200个，且要求A型号的数量不能超过B型号的数量，景区的预算6万元够用吗？若不够，请说明理由，并算出怎样购买才能使花费最低，最低费用是多少？

25．某花店每天购进16枝某种花，然后出售，如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理．该花店记录了10天该种花的日需求量(n为正整数，单位：枝)，统计如下表：

日需求量n/枝	13	14	15	16	17	18
天数/天	1	1	2	4	1	1

(1)求该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数．

(2)当n<16时，日利润y(单位：元)关于n的函数表达式为y＝10n－80；当n≥16时，日利润为80元．

①当n＝14时，该花店这天的利润为多少元？

②求该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率．

26．[2023·石家庄外国语学校模拟]如图，点P(a，a＋3)是平面直角坐标系中的一个动点，直线l：y＝kx＋6与x轴、y轴分别交于点A(－4.5，0)，B，点C在x轴的正半轴上，且OC＝6.

(1)求直线l的表达式．

(2)判断点P是否有可能落在直线l上？并说明理由．

(3)当点P在△ABO的内部(不包括边界)时，求a的取值范围．

(4)连接CP，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”，点M(15，26)，N(－12，－10)在直线l上，若直线CP将线段MN(包括端点)上的“好点”的个数平分，请直接写出满足条件的“好点”P的坐标．

答案

一、1．A　2．A　3．A　4．C

5．D 【点拨】设该一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，将点(1，2)和(－3，－1)的坐标分别代入，

得解得

∴该一次函数的表达式为y＝x＋.故选D.

6．D 【点拨】根据一次函数y＝kx＋2中，y的值随着x值的增大而减小，可得k<0，则点P(3，k)在第四象限．

7．C　8．B

9．A 【点拨】方程组可化为

∵函数y＝2x－3和y＝－kx＋b(k≠0)的图像相交于点(2，1)，

∴关于x，y的方程组的解是

∴关于x，y的方程组的解为

故选A.

10．C　11．B　12．A

13．B 【点拨】∵点A(4，1)，点P(0，1)，

∴PA⊥y轴，PA＝4.

由 旋转得∠APB＝60°，AP＝PB＝4，

如图，过点B作BC⊥y轴于C，

∵PA⊥y轴，∠APB＝60°，

∴∠BPC＝30°.

∴BC＝PB＝2.∴PC＝＝2.

∴B(2，1＋2)．

设直线PB的表达式为y＝kx＋b，

则解得

∴直线PB的表达式为y＝x＋1，

当x＝－1时，y＝－＋1，

∴点M₁(－1，－)不在直线PB上；

当x＝－时，y＝－1＋1＝0，

∴点M₂在直线PB上；

当x＝1时，y＝＋1，

∴点M₃(1，－1)不在直线PB上；

当x＝2时，y＝2＋1，

∴点M₄(2，2)不在直线PB上．故选B.

14．A 【点拨】①当a>0，b>0时，

一次函数y₁＝ax＋b的图像经过第一、二、三象限，

一次函数y₂＝bx＋a的图像经过第一、二、三象限，

不存在符合此种情况的选项；

②当a>0，b<0时，

一次函数y₁＝ax＋b的图像经过第一、三、四象限，

一次函数y₂＝bx＋a的图像经过第一、二、四象限，

A选项符合此种情况；

③当a<0，b>0时，

一次函数y₁＝ax＋b的图像经过第一、二、四象限，

一次函数y₂＝bx＋a的图像经过第一、三、四象限，

不存在符合此种情况的选项；

④当a<0，b<0时，

一次函数y₁＝ax＋b的图像经过第二、三、四象限，

一次函数y₂＝bx＋a的图像经过第二、三、四象限，

不存在符合此种情况的选项．

故选A.

15．D 【点拨】由图像可知，A，B两城相距300 km，乙车先出发，甲车先到达B城，故①正确，③不正确；甲车的平均速度是300÷(11－8)＝100(km/h)，乙车的平均速度是300÷(12－7)＝60(km/h)，故②不正确；由图像可知甲车在9：30追上乙车，故④正确，综上所述，正确的有①④.故选D.

16．A 【点拨】(872－866)÷(6－3)＝2(mm)，故甲错误；桌面距离地面的高度为 866－3×2＝860(mm)，故乙正确；有一摞这种规格的作业本x本整齐地放在桌面上，这摞作业本顶部距离地面高度为h(单位：mm)，则h＝860＋2x，故丙正确；当有270本作业本时，作业本顶部距离地面的高度为2×270＋860＝540＋860＝1.4×10³(mm)，故丁正确．故选A.

二、17．－6 【点拨】∵一次函数y＝kx＋b的图像经过点(1，3)和(－1，2)，∴即∴k²－b²＝(k＋b)(k－b)＝3×(－2)＝－6.

18．2 【点拨】∵当x＝0时，y＝2×0＋4＝4，

∴点B的坐标为(0，4)．∴OB＝4.

∵D为OB的中点，∴OD＝OB＝×4＝2.

∵四边形OCDE为平行四边形，点C在x轴上，

∴DE∥x轴，DE＝OC.

∵当y＝2时，2x＋4＝2，解得x＝－1，

∴点E的坐标为(－1，2)．∴DE＝1.∴OC＝1.

又∵OC⊥OD，

∴S_{平行四边形OCDE}＝OC·OD＝1×2＝2.

19．(1)(－3，0)　(2)　(3)2或－1

【点拨】(1)∵l₃：y＝kx＋3k(k≠0)，∴y＝k(x＋3)．

∴当x＝－3时，y＝0.

∴直线l₃：y＝kx＋3k(k≠0)过定点A为(－3，0)．

(2)将点P(3，2)的坐标代入y＝kx＋3k，

得2＝3k＋3k，解得k＝.

(3)当l₃∥l₁或l₃∥l₂时，l₁，l₂，l₃三条直线围不成三角形．

当l₃∥l₁时，k＝2；当l₃∥l₂时，k＝－1.

综 上，k＝2或－1.

三、20．【解】(1)y＝5(10－x)，

整理，得y＝－5x＋50.

(2)0≤x＜10.

(3)如图所示．

21．【解】(1)由题意，得k＋3＝4，解得k＝1，所以这个一次函数的表达式是y＝ x＋3.

(2)由(1)知一次函数的表达式是y＝x＋3.

当x＝－1时，y＝2，即点B(－1，5)不在这个一次函数的图像上；

当x＝0时，y＝3，即点C(0，3)在这个一次函数的图像上；

当x＝2时，y＝5，即点D(2，1)不在这个一次函数的图像上．

22．【解】(1)由题意联立 解得

∴E(2，－2)．

不等式－2x＋2>x－3的解集为x<2.

(2)令－2x＋2＝0，得x＝1，∴B(1，0)．

在y＝x－3中，当x＝0时，y＝－3；

当y＝0时，x－3＝0，即x＝6.

∴C(0，－3)，D(6，0)．

∴OC＝3，OD＝6，BD＝6－1＝5.

又由(1)易知点E到x轴的距离为2.

∴四边形OCEB的面积＝S_△COD－S_△BED＝×3×6－×5×2＝9－5＝4.

23．【解】(1)设OA所在直线的表达式为y＝kx，

由图像可知点A的坐标为(5，1 000)，

∴1 000＝5k，解得k＝200.

∴OA所在直线的表达式为y＝200x.

(2)由图可知甲机器人的速度为1 000÷5＝200(米/分钟)，

乙机器人的速度为1 000÷10＝100(米/分钟)，

相遇时间为＝(分钟)，

答：出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇．

(3)设甲机器人行走t分钟时到P地，

根据题意，得200t＝1 000－100(t＋1)，解得t＝3.

∴200t＝600.

答：P，M两地间的距离为600米．

24．【解】(1)设A，B两个型号遮阳伞的单价分别是x元和y元，

由题意可得解得

答：A，B两个型号遮阳伞的单价分别是300元和500元．

(2)设购买A型号的遮阳伞m个，则购买B型号的遮阳伞(200－m)个．

由题意可得m≤200－m，∴m≤100.

若总花费为w元，

则w＝300m＋500(200－m)＝－200m＋100 000.

∵－200<0，∴w随m的增大而减小，

∴当m＝100时，w取得最小值，此时w＝80 000.

∵60 000<80 000，∴预算不够用．

答：预算不够用，两个型号的遮阳伞各买100个时，总花费最低，最低费用是80 000元．

25．【解】(1)作废处理的天数为1＋1＋2＝4(天)．

(2)①当n＝14时，y＝10n－80＝10×14－80＝60，

答：当n＝14时，该花店这天的利润为60元．

②因为70<80，所以将y＝70代入y＝10n－80，

得70＝10n－80，解得n＝15.

当n＝15时，天数为2天.＝20%.

答：该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率为20%.

26．【解】(1)∵点A(－4.5，0)在直线l：y＝kx＋6上，

∴0＝－4.5k＋6，解得k＝.

∴直线l的表达式为y＝x＋6.

(2)点P有可能落在直线l上．理由如下：

把P(a，a＋3)的坐标代入y＝x＋6，得a＋3＝a＋6，

解得a＝－9，则a＋3＝－6，

∴当P的坐标为(－9，－6)时，点P落在直线l上．

(3)∵P(a，a＋3)是平面直角坐标系中的一个动点，

∴点P在直线y＝x＋3上．

如图，作直线y＝x＋3，交y轴于点E，交x轴于点F.

在 y＝x＋3中，当x＝0时，y＝3；

当y＝0时，x＝－3.

∴E(0，3)，F(－3，0)．

∵点P在△ABO的内部(不包括边界)，

∴点P在线段EF上(不包括端点)，

∴－3<a<0.

(4)(2，5)或(3，6) 【点拨】由题意易知点C的坐标为(6，0)，在线段MN上，“好点”的横坐标为15，12，9，6，3，0，－3，－6，－9，－12，共10个．

∵直线CP平分这10个“好点”，∴直线CP与直线l的交点横坐标在0～3之间(不包括端点)．

设直线CP的表达式为y＝px＋q，

则 解得

∴直线CP的表达式为y＝x＋.

解方程x＋＝x＋6，

得x＝，∴0<<3，

当a－33>0，即a>33时，54－36a>0，且54－36a<3(a－33)，

∴a<且a>(舍去)；

当a－33<0，即a<33时，54－36a<0，且54－36a>3(a－33)，∴a>且a<.

即<a<.

又∵a为整数，∴a可取2或3，

∴“好点”P的坐标为(2，5)或(3，6)．