第16讲用反比例函数的应用 (核心考点讲与练)

一．根据实际问题列反比例函数关系式

根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．

根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．

注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．

二．反比例函数的应用

（1）利用反比例函数解决实际问题

①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．

（2）跨学科的反比例函数应用题

要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．

（3）反比例函数中的图表信息题

正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．

一．根据实际问题列反比例函数关系式（共3小题）

1．（海州区期末）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视镜片的焦距为0.2米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是　y＝ 　．

【分析】由于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，可设y＝ ，由于点（0.2，400）在此函数解析式上，故可先求得k的值．

【解答】解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y＝ ，

由于点（0.2，400）在此函数解析式上，

∴k＝0.2×400＝80，

∴y＝ ．

故答案为：y＝ ．

【点评】考查了根据实际问题列反比例函数关系式的知识，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

2．（常州期末）某高科技开发公司从2008年起开始投入技术改进资金，经过技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：请你认真分析表中数据，写出可以表示该变化规律的表达式是　 　

年度	2008	2009	2010	2011
投入技术改进资金x（万元）	2.5	3	4	4.5
产品成本y（万元∕件）	7.2	6	4.5	4

【分析】有表格中数据分析可知xy＝2.5×7.2＝3×6＝4×4.5＝4.5×4＝18，就可得到反比例函数关系，再设出反比例函数解析式，利用待定系数法求出即可．

【解答】解：由题意可得此函数解析式为反比例函数解析式，其为解析式为y＝ ．

当x＝2.5时，y＝7.2，

可得：7.2＝ ，

解得k＝18

∴反比例函数是y＝ ．

故答案为：y＝ ．

【点评】主要考查了函数的实际应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．

3．（海陵区期末）某厂计划建造一个容积为5×10⁴m³的长方体蓄水池，则蓄水池的底面积S（m²）与其深度h（m）的函数关系式是　S＝ 　．

【分析】根据长方体的容积公式：体积＝底面积×深度可得Sh＝5×10⁴，再整理即可．

【解答】解：由题意得：Sh＝5×10⁴，

∴S＝ ，

故答案为：S＝ ．

【点评】本题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，关键是掌握长方体的容积公式．

二．反比例函数的应用（共5小题）

4．（海门市期末）某汽车油箱的容积为70L，小王把油箱加满油后驾驶汽车从县城到300km远的省城接客人，接到客人后立即按原路返回请回答下列问题：

（1）油箱加满油后，汽车行驶的总路程s（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）有怎样的函数关系？

（2）小王以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶汽车到达省城，返程时由于下雨，小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍．如果小王始终以此速度行驶，不需要加油能否回到县城？如果不能，至少还需加多少油？

【分析】（1）利用公式：路程＝ ，即可得出汽车能够行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）之间的函数关系式；

（2）分别得出往返需要的油量进而得出答案．

【解答】解：（1）汽车能够行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）之间的函数关系为：

s＝ （b＞0）；

（2）去省城的耗油量＝300×0.1＝30（升），

返回县城的油耗量＝30×2＝60（升），

∵30+60＞70，

∴还需加油30+60﹣70＝20（升）．

答：不加油不能回到县城，还需加油20升．

【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．

5．（无为市校级一模）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（　　）

A．4月份的利润为50万元

B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元

C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元

D．9月份该厂利润达到200万元

【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．

【解答】解：A、设反比例函数的解析式为y＝ ，

把（1，200）代入得，k＝200，

∴反比例函数的解析式为：y＝ ，

当x＝4时，y＝50，

∴4月份的利润为50万元，故此选项正确，不合题意；

B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项正确，不合题意；

C、当y＝100时，则100＝ ，

解得：x＝2，

则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故此选项不正确，符合题意．

D、设一次函数解析式为：y＝kx+b，

则 ，

解得： ，

故一次函数解析式为：y＝30x﹣70，

故y＝200时，200＝30x﹣70，

解得：x＝9，

则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，故此选项正确，不合题意．

故选：C．

【点评】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．

6．（崇川区期末）某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：

（1）该企业4月份的生产数量为多少万支？

（2）该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？

【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将x＝4代入求出相应的y的值即可；

（2）根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意x为正整数．

【解答】解：（1）当1≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y＝ ，

∵点（1，180）在该函数图象上，

∴180＝ ，得k＝180，

∴y＝ ，

当x＝4时，y＝ ＝45，

即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支；

（2）设技术改造完成后对应的函数解析式为y＝ax+b，

∵点（4，45），（5，60）在该函数图象上，

∴ ，

解得 ，

∴技术改造完成后对应的函数解析式为y＝15x﹣15，

，

解得2≤x≤7

∵x为正整数，

∴x＝2，3，4，5，6，7，

答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支．

【点评】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．

7．（镇江期末）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（　　）

A．水温从20℃加热到100℃，需要7min

B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y＝

C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水

D．水温不低于30℃的时间为 min

【分析】因为开机加热时，饮水机每分钟上升10℃，所以开机加热到100℃，所用时间为 ＝8min，故A不合题意，利用点（8，100），可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意，令y＝20，则x＝40，求出每40分钟，饮水机重新加热，故时间为9点30时，可以得到饮水机是第三次加热，并且第三次加热了10分钟，令x＝10，代入到反比例函数中，求出y，即可得到C不符合题意，先求出加热时间段时，水温达到30℃所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为30℃时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于30℃时的时间．

【解答】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，

∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为： ＝8min，

故A选项不合题意；

由题可得，（8，100）在反比例函数图象上，

设反比例函数解析式为y＝ ，

代入点（8，100）可得，k＝800，

∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y＝ ，

故B选项不合题意；

令y＝20，则 ＝20，

∴x＝40，

即饮水机每经过40分钟，要重新从20℃开始加热一次，

从8点9点30分钟，所用时间为90分钟，

而水温加热到100℃，仅需要8分钟，

故当时间是9点30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10分钟，

令x＝10，则y＝ ＝80℃＞40℃，

故C选项不符合题意；

水温从20℃加热到30℃所需要时间为： min，

令y＝30，则 ＝30，

∴ ，

∴水温不低于30℃的时间为 ＝ min，

故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数的应用，数形结合，是解决本题的关键．

8．（邗江区期末）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升7℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（　　）

A．7：20 B．7：30 C．7：45 D．8：00

【分析】先求出加热10分钟后，水温可以达到100℃，继而得到点（10，100）在如图所示的反比例函数图象上，由待定系数法求解出反比例函数解析式，进而求得当y＝30时所对应的x＝ ，得到每经过 分钟，饮水机重新开机加热，按照此种规律，即可解决．

【解答】解：∵开机加热时每分钟上升7℃，

∴加热到100℃所需要的时间为： ＝10min，

∴每次加热10min后，饮水机就会断电，开始冷却

设10分钟后，水温与开机所用时间所成的反比例函数为y＝ ，

∵点（10，100）在反比例函数图象上，

∴k＝1000，

∴反比例函数为 ，

令y＝30，则 ，

∴ ，

∴每次开机加热 min后，饮水机就要重新从30℃开始加热，

如果7：20开机至8：45，经过的时间为85分钟，

85﹣ ＝ ＞10，

∴此时饮水机第三次加热，从30℃加热了 分钟，

水温为y＝ ＝ ＞50℃，

故A选项不合题意，

如果7：30开机至8：45，经过的时间为75分钟，

75﹣ ×2＝ ＜10，

∴此时饮水机第三次加热了，从30℃加热了 分钟，

水温为30+ ＝ ＞50℃，

故B选项不合题意，

如果7：45开机至8：45，经过的时间为60分钟，

∴此时饮水机第二次加热，从30℃加热了20分钟，

水温为y＝ ＝50，

故C选项符合题意，

如果8：00开机至8：45，经过的时间为45分钟，

∴此时饮水机第二次加热，从30℃加热了5分钟，

水温为y＝30+5×7＝65＞50℃，

故D选项不符合题意，

故选：C．

【点评】本题考查了反比例函数的应用，挖掘出加热时间的规律，例如本题中每经过 分钟重新开机加热，是解决本题的关键．

题组A 基础过关练

一．选择题（共9小题）

1．（杭州期末）当x＝2时，正比例函数y＝k₁x（k₁≠0）与反比例函数y＝ （k₂≠0）的值相等，则k₁与k₂的比是（　　）

A．4：1 B．2：1 C．1：2 D．1：4

【分析】把x＝2代入两函数解析式，再令其值相等，将等式化简即可解答．

【解答】解：∵当x＝2时，k₁x＝ ，

∴2k₁＝ ．

∴ ＝

故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，解答此题时要注意条件“x＝2时，有相等的函数值”的意思是两函数图象有公共点，且公共点横坐标相等．

2．（朝阳区校级一模）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线 的一部分，则当x＝16时，大棚内的温度约为（　　）

A．18℃ B．15.5℃ C．13.5℃ D．12℃

【分析】利用待定系数法求反比例函数解析式后将x＝16代入函数解析式求出y的值即可．

【解答】解：∵点B（12，18）在双曲线y＝ 上，

∴18＝ ，

解得：k＝216．

当x＝16时，y＝ ＝13.5，

所以当x＝16时，大棚内的温度约为13.5℃．

故选：C．

【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键．

3．（宁夏）如图，函数y₁＝x+1与函数y₂＝ 的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y₁＞y₂，则x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1

C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1

【分析】观察函数y₁＝x+1与函数 的图象，即可得出当y₁＞y₂时，相应的自变量x的取值范围．

【解答】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象之上时，所对应的x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞1，

故选：D．

【点评】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．

4．（东阳市期末）如图，点B，点C分别在反比例函数y＝ （x＞0）与y＝﹣ （x＞0）的图象上，且BC∥y轴，AC⊥BC，垂足为点C，交y轴于点A．则△ABC的面积为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】过点B作BD⊥y轴于点D，记BC交x轴于点E，利用k的几何意义求出矩形ACBD的面积，利用矩形的性质求出△ABC的面积．

【解答】解：过点B作BD⊥y轴于点D，记BC交x轴于点E，

∵BC∥y轴，AC⊥BC，

∴S_矩形AOEC＝|﹣2|＝2，S_矩形DOEB＝|6|＝6，

∴S_矩形ACBD＝S_矩形AOEC+S_矩形DOEB＝2+6＝8，

∴S_△ABC＝ S_矩形ACBD＝4．

故选：B．

【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义和矩形的面积．解题的关键是过点B作BD⊥y轴于点D构造矩形．

5．（江干区期末）已知点A（x₁，y₁）在反比例函数y₁＝ 的图象上，点B（x₂，y₂）在一次函数y₂＝kx﹣k的图象上，当k＞0时，下列判断中正确的是（　　）

A．当x₁＝x₂＞2时，y₁＞y₂ B．当x₁＝x₂＜2时，y₁＞y₂

C．当y₁＝y₂＞k时，x₁＜x₂ D．当y₁＝y₂＜k时，x₁＞x₂

【分析】联立方程，求出交点坐标，再根据图象，判断选项的正误．

【解答】联立方程得： ，

化简得：x²﹣x﹣2＝0．

解得x₁＝2，x₂＝﹣1，

交点坐标（2，k），（﹣1，﹣2k），

如图所示，

A．当x₁＝x₂＞2时，y₁＜y₂，排除A，

B．当x₁＝x₂＜2时，不能确定y₁，y₂大小，排除B，

C．当y₁＝y₂＞k时，x₁＜x₂，正确，

D．当y₁＝y₂＜k时，x₁，x₂大小不确定，排除D

故选：C．

【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数的点坐标比较，解题关键数形结合思想．

6．（定海区校级月考）如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数y＝ 的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：

①若k＝4，则△OEF的面积为 ；

②若k＝ ，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；

③满足题设的k的取值范围是0＜k＜12；

④若DE•EG＝ ，则k＝1．

其中正确的命题个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】①若k＝4，则计算S_△OEF＝ ，故命题①正确；

②如答图所示，若k＝ ，可证明直线EF是线段CN的垂直平分线，故命题②正确；

③因为点F不经过点C（4，3），所以k≠12，即可得出k的范围；

④求出直线EF的解析式，得到点D、G的坐标，然后求出线段DE、EG的长度；利用算式DE•EG＝ ，求出k＝1，故命题④正确．

【解答】解：

命题①正确．理由如下：

∵k＝4，

∴E（ ，3），F（4，1），

∴CE＝4﹣ ＝ ，CF＝3﹣1＝2．

∴S_△OEF＝S_矩形AOBC﹣S_△AOE﹣S_△BOF﹣S_△CEF＝S_矩形AOBC﹣ OA•AE﹣ OB•BF﹣ CE•CF＝4×3﹣ ×3× ﹣ ×4×1﹣ × ×2＝12﹣2﹣2﹣ ＝ ，故①正确；

命题②正确．理由如下：

∵k＝ ，

∴E（ ，3），F（4， ），

∴CE＝4﹣ ＝ ，CF＝3﹣ ＝ ．

如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则EM＝3，OM＝ ；

在线段BM上取一点N，使得EN＝CE＝ ，连接NF．

在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN＝ ＝ ，

∴BN＝OB﹣OM﹣MN＝4﹣ ﹣ ＝ ．

在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF＝ ＝ ．

∴NF＝CF，

又∵EN＝CE，

∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称，故②正确；

命题③正确．理由如下：

由题意，点F与点C（4，3）不重合，所以k≠4×3＝12，

∴0＜k＜12，故③正确；

命题④正确．理由如下：

设k＝12m，则E（4m，3），F（4，3m）．

设直线EF的解析式为y＝ax+b，则有 ，解得 ，

∴y＝﹣ x+3m+3．

令x＝0，得y＝3m+3，

∴D（0，3m+3）；

令y＝0，得x＝4m+4，

∴G（4m+4，0）．

如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则OM＝AE＝4m，EM＝3．

在Rt△ADE中，AD＝OD﹣OA＝3m，AE＝4m，由勾股定理得：DE＝5m；

在Rt△MEG中，MG＝OG﹣OM＝（4m+4）﹣4m＝4，EM＝3，由勾股定理得：EG＝5．

∴DE•EG＝5m×5＝25m＝ ，解得m＝ ，

∴k＝12m＝1，故命题④正确．

综上所述，正确的命题是：①②③④，共4个，

故选：D．

【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，有一定的难度．本题计算量较大，解题过程中注意认真计算．

7．（南浔区期末）如图，在直角坐标系xOy中，已知点A，点B分别是x轴和y轴上的点，过x轴上的另一点D作DC∥AB，与反比例函数y＝ （k≠0）的图象交于C、E两点，E恰好为CD的中点，连结BE和BD．若OD＝3OA，△BDE的面积为2，则k的值为（　　）

A．3 B． C．2 D．1

【分析】先作辅助线，过点C作CF⊥x轴，过点E作EG⊥x轴，利用中点E，得出△DCF得中位线，再由反比例函数系数k的几何意义，得出OF与其他线段的数量关系；由AB||CD，得出S_△BDE＝S_△ADE＝2，再由OD＝3OA，得到线段之间的倍数关系，从而求出k的值．

【解答】解：

过点C作CF⊥x轴，过点E作EG⊥x轴，

∴CF||EG，

∵E恰好为CD的中点，

∴EG为△DCF的中位线，

∵点C、E是反比例函数y＝ （k≠0）的图象上的点，

设EG＝m，CF＝2m，DG＝FG＝n，

∴OF•CF＝OG•EG＝|k|，即OF•2m＝（OF+n）•m，

∴OF＝n．

∵DC∥AB，△BDE的面积为2，

∴S_△BDE＝S_△ADE＝2，

∵OD＝3OA，DG＝FG＝OF＝n，

∴OA＝DG＝FG＝OF＝n，AD＝4OA，

∴S_△ADE＝ •AD•EG＝ •4n•m＝2，即mn＝1，

∴|k|＝OG•EG＝2mn＝2，

∵反比例函数图象的一支在第一象限，

∴k＝2．

故选：C．

【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，主要涉及的知识点有：反比例函数系数k的几何意义、三角形的中位线等，体现了数学的化归思想、模型思想、几何直观等，考查了学生的运算能力，推理能力等．

8．（嘉兴期末）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在函数 （x＞0）和函数 （x＜0）的图象上，连结OA，OB，AB．若OA⊥OB，线段AB的中点C在y轴上，则△OAB的面积是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．

【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F．根据AC＝BC，判断OC为直角梯形的中位线，得出OF＝OE＝a，根据双曲线解析式确定A、B两点的坐标及AF、BE的长，根据S_△AOB＝S_梯形ABEF﹣S_△AOF﹣S_△BOE求解．

【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F．

∵AC＝CB，

∴OF＝OE，

设B（﹣a， ），则A（a， ），

故S_△AOB＝S_梯形ABEF﹣S_△AOF﹣S_△BOE

＝ （ + ）×2a﹣ ×|﹣4|﹣ ×|8|

＝6，

故选：B．

方法二：

解：如图，过点B作BE⊥y轴于点E，过点A作AF⊥y轴于点F．

在△BCE和△ACF中，

，

∴△BCE≌△ACF（AAS），

∴S_△AOB＝S_△BOE+S_△AOF，

∵S_△BOE＝ ×|﹣4|＝2，S_△AOF＝ ×|8|＝4，

∴S_△AOB＝2+4＝6，

故选：B．

【点评】本题考查了反比例函数中|k|的几何意义，根据AC＝BC，得出OC为直角梯形的中位线，利用面积的和差关系求解是解题关键．

9．（吴兴区期末）如图，反比例函数y＝ 的图象与直线y＝mx相交于A，B两点，点B的坐标为（﹣2，﹣3），则点A的坐标为（　　）

A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）

【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线y＝mx的两个交点一定关于原点对称．

【解答】解：∵点A（﹣2，﹣3）与B关于原点对称，

∴B点的坐标为（2，3）．

故选：B．

【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，熟练掌握反比例函数图象的中心对称性是解题的关键．

二．填空题（共8小题）

10．（上虞区期末）教材中有一道题：

如图，在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，有点P₁，P₂，P₃，P₄，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S₁，S₂，S₃，则S₁+S₂+S₃＝_____．

请你仔细审题后认真解答，你所得到的答案是　 　．

【分析】根据反比例函数的几何意义，可知图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P₁向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，据此作答．

【解答】解：由题意，可知点P₁、P₂、P₃、P₄坐标分别为：（1，2），（2，1），（3， ），（4， ）．

解法一：

∵S₁＝1×（2﹣1）＝1，

S₂＝1×（1﹣ ）＝ ，

S₃＝1×（ ﹣ ）＝ ，

∴S₁+S₂+S₃＝1+ + ＝ ．

解法二：∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P₁向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，

∴1×2﹣ ×1＝ ．

故答案为： ．

【点评】本题主要考查了反比例函数y＝ 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．

11．（浦江县期末）△OAB在直角坐标系中位置如图所示，边OB在x轴上，点C是AB的中点，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过A、C两点，若△OAB的面积为6，则k＝　4　．

【分析】本题通过作辅助线，过点A、C分别作AD⊥x轴，CE⊥x轴，利用反比例函数图象上的点的坐标特征，即点A、C的横、纵坐标的积分别为k，得到OD与DE的长度关系，最后，借助△OAB的面积为6，结合反比例函数系数k的几何意义，求出k的值．

【解答】解；

过点A、C分别作AD⊥x轴，CE⊥x轴，

∴AD||CE，

∴△BCE∽△BAD，

∵点C是AB的中点，

∴ ＝ ＝ ＝ ，

设DE＝BE＝a，CE＝b，AD＝2b，

∵点A、C在反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，

∴OD•AD＝k，CE•OE＝k，

即：OD•2b＝（OD+a）•b，

∴OD＝a，

∵△OAB的面积为6，S_△OAB＝ •OB•AD，

∴ •3a•2b＝6，则ab＝2，

∴k＝OD•AD＝a•2b＝2ab＝2×2＝4，

故答案为4．

【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，考查了学生的推理能力、转化思想、几何直观等，本题涉及的知识点有：反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上的点的坐标特征等，本题的关键在于通过作辅助线，求出OD与其他线段的数量关系，从而求出k的值．

12．（鹿城区校级月考）如图，菱形OABC的面积为20，点A的坐标为（5，0），若反比例函数y＝ 的图象过对角线的交点D，则k＝　8　．

【分析】作CM⊥OA于M，DN⊥OA于N，根据菱形的面积求得CM＝4，根据勾股定理求得OM，证明MN＝AN，即可求得D的坐标，代入y＝ 即可解决问题．

【解答】解：作CM⊥OA于M，DN⊥OA于N．

∵菱形OABC的面积为20，点A的坐标为（5，0），

∴OA•CM＝20，OA＝5，

∴CM＝4，

∴OM＝ ＝ ＝3，

∴AM＝5﹣3＝2，

∵四边形ABCO是菱形，

∴AD＝DC，

∵CM∥DN，

∴MN＝AN＝ AM＝1，

∴DN＝ CM＝2，

∴D（4，2），

∵反比例函数y＝ 的图象过对角线的交点D，

∴k＝4×2＝8，

故答案为：8．

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上的点的特征、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

13．（江北区校级开学）如图，反比例函数y＝ （k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，若E是AB的中点，S_△BEF＝4，则k的值为　16　．

【分析】设E（a， ），则B纵坐标也为 ，F点坐标为（2a， ），则根据三角形的面积公式即可求得k的值．

【解答】解：设E（a， ），则B纵坐标也为 ，

∵E是AB中点，

∴F点坐标为（2a， ），

∴BF＝BC﹣FC＝ ﹣ ＝ ，

∵S_△BEF＝4，

∴ a• ＝4，

∴k＝16．

故答案是：16．

【点评】本题考查了反比例函数的性质，正确表示出F点的坐标是解题的关键．

14．（西湖区校级开学）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的顶点B在x轴正半轴上，AO＝AB，P，Q分别是OA，AB的中点，函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象过点P，若S_△OPQ＝3，则k的值为　3　．

【分析】作AD⊥x轴于D，PE⊥x轴于E，根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分即可求得△AOD的面积为6，然后通过证得△POE∽△AOD，由相似三角形的性质即可求得S_△POE＝ S_△AOD＝ ，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k＝3．

【解答】解：作AD⊥x轴于D，PE⊥x轴于E，

∵AO＝AB，

∴OD＝BD，

∵P，Q分别是OA，AB的中点，

∴S_△AOB＝2S_△AOQ，S_△AOQ＝2S_△POQ＝6，

∴S_△AOB＝12，

∴S_△AOD＝ S_△AOB＝6，

∵PE∥AD，

∴△POE∽△AOD，

∴ ＝ ，

∴S_△POE＝ S_△AOD＝ ，

∵函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象过点P，

∴S_△POE＝ |k|，

∴|k|＝3，

∵k＞0，

∴k＝3，

故答案为3．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝ 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．

15．（乐清市期末）如图，点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，作AB⊥y轴，AC⊥x轴分别交反比例函数y＝ （x＞0）图象于点B，C，点C在点A的下方，连结BC，若△ABC的面积为 ，则k的值为　1　．

【分析】设A（a， ），则B（ ， ），C（a， ），根据△ABC的面积为 ，即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出结论．

【解答】解：∵点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，

∴设A（a， ），

∵AB⊥y轴，AC⊥x轴分别交反比例函数y＝ （x＞0）图象于点B，C，

∴B（ ， ），C（a， ），

又∵△ABC的面积为 ，

∴ （a﹣ ）（ ﹣ ）＝ ，

解得k＝1或7（舍去），

故答案为1．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据三角形的面积找出关于k的一元二次方程．

16．（鄞州区校级期中）反比例函数y＝ 与直线y＝x+5的一个交点为A，则OA的长为　 　．

【分析】设A（a，b），把A点坐标分别代入一次函数和反比例函数，可得到关于a、b的代数式，可求得ab和a﹣b的值，代入AB＝ ＝ 可求得答案．

【解答】解：设A（a，b），

∵反比例函数y＝ 与直线y＝x+5的一个交点为A，

ab＝4，a﹣b＝﹣5，

∴AB＝ ＝ ＝ ＝ ，

故答案为： ．

【点评】本题反比例函数与一次函数的交点问题，考查了函数图象上点的坐标特征，掌握两函数图象的交点坐标满足每一个函数解析式是解题的关键，注意整体思想的应用．

17．（嘉兴期末）如图，在直角坐标系xOy中，直线y＝k₁x+b与双曲线 相交于点A，B．若点A，B的横坐标分别为2，﹣1．当 时，x的取值范围是　﹣1＜x＜0或x＞2　．

【分析】根据图象知，两个函数的图象的交点A，B的横坐标分别为2，﹣1，由图象可以直接写出当 时，x的取值范围．

【解答】解：根据图象知，当 时，﹣1＜x＜0或x＞2；

故答案为：﹣1＜x＜0或x＞2．

【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想．

三．解答题（共5小题）

18．（鄞州区校级期中）为了节能减排，某公司从2017年开始投入技术改进资金，经技术改进后产品单位耗电量持续降低，具体数据如表：

年度	2017	2018	2019	2020
投入技术改进资金x万元	3	4	5	6
产品耗电量y度/件	8	6	4.8	4

（1）请认真分析表中的数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出解析式；

（2）按照这种变化，2021年已经投入技术改进资金7万元．

①预计2021年产品的单位耗电量比2020年降低多少度？

②若打算2021年把产品的单位耗电量降到2.8度，则还需要投入技术改进资金多少万元？

【分析】（1）先根据表格数据判断用反比例函数表示产品耗电度/件与投入资金的变化规律，设出函数解析式，根据x•y＝24是定值，求出函数解析式；

（2）①把x＝7代入解析式求出y，再用4﹣y即可；②把y＝2.8代入函数解析式，求出x的值，再减去已经投资的7万元即可．

【解答】解：（1）根据表格可知，投入技术改进资金每增加1万元，产品耗电量的减小数不相等，

∴不符合一次函数的特征，

∴选择反比例函数表示其变化规律，

3×8＝4×6＝5×4.8＝6×4，

∴y与x的函数关系式是：y＝ ；

（2）①由（1）知：y＝ ，

当x＝7时，y＝ ，

则4﹣ ＝ （度），

答：预计2021年产品的单位耗电量比2020年降低 度；

②若打算2021年把产品的单位耗电量降到2.8度，

即y＝2.8时，x＝ ＝ ，

∴ ﹣7＝ （万元）．

答：还需投入技术改进资金 万元．

【点评】本题主要考查反比例函数的应用，关键是根据数据分析用哪一个函数能表示其变化规律．

19．（下城区期末）在直角坐标系中，设反比例函数y₁＝ （k₁≠0）与正比例函数y₂＝k₂x（k₂≠0）的图象都经过点A和点B，点A的坐标为（1，2）．

（1）求函数y₁和函数y₂的表达式；

（2）当y₁＞y₂时，直接写出x的取值范围；

（3）若当x＝m时，函数y₁和y₂的值分别为P₁和Q₁，当x＝n时，函数y₁和y₂的值分别为P₂和Q₂．写出一对m和n的值，满足P₁＞P₂且Q₁＜Q₂，说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法求解，

（2）利用函数图象直接求解．

（3）利用函数图象直接求解．

【解答】（1）将点A（1，2）代入反比例函数 ，

得 ，k₁＝2，

∴ ，

将点A（1，2）代入正比例函数y₂＝k₂x，

得2＝1×k₂，k₂＝2，

∴y₂＝2x．

（2）x＜﹣1或0＜x＜1，

（3）当m＝﹣4，n＝﹣ 时，P₁＝﹣ ，P₂＝﹣4，Q₁＝﹣8，Q₂＝﹣1，满足P₁＞P₂且Q₁＜Q₂．

【点评】本题主要考查待定系数法求解函数表达式，第二三问关键是函数图形比较函数值的大小．

20．（杭州月考）如图，已知A（﹣2，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象和反比例函数 （m≠0）的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求△AOC的面积；

（3）结合图象直接写出不等式 的解集．

【分析】（1）由待定系数法即可求出函数解析式；

（2）由y＝2x+2求出C点的坐标，从而求出△AOC的面积；

（3）由图象观察函数y＝ 的图象在一次函数y＝kx+b图象的上方对应的x的取值范围．

【解答】解：（1）把B（1，4）代入y＝ 得：m＝1×4＝4，

∴反比例函数为y＝ ，

将点A（﹣2，﹣2），B（1，4）代入直线y＝kx+b中得 ，

∴ ，

∴直线AB的解析式为y＝2x+2；

（2）当x＝0时，y＝2x+2＝2，

∴点C的坐标为（0，2），

∴OC＝2，

∴S_△AOC＝ ＝2；

（3）不等式kx+b 的解集是x＜﹣2或0＜x＜1．

【点评】此题考查一次函数和反比例函数的性质及图象，考查用待定系数法求函数的解析式，还间接考查函数的增减性，从而来解不等式．

21．（温岭市期末）如图，一次函数y₁＝k₁x+b（x＞0）的图象与反比例函数y₂＝ （x＞0）的图象交于点A（m，6）、点B（3，2）．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）根据图象直接写出：当x为　0＜x＜1或x＞3　时，k₁x+b﹣ ＜0．

【分析】（1）把B点坐标代入反比例函数解析式可求得k₂的值，把点A（m，8）代入求得的反比例函数的解析式求得m，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；

（2）直接由A、B的坐标可求得答案．

【解答】解（1）把点B（3，2）代入反比例函数y₂＝ （x＞0）得，k₂＝3×2＝6，

∴反比例函数的解析式为y₂＝ ；

将点A（m，6）代入y₂＝ ，解得m＝1，

∴A（1，6）．

将A、B的坐标代入y₁＝k₁x+b，得 ，解得 ，

∴一次函数的解析式为y₁＝﹣2x+8．

（2）如图，∵A（1，6），B（3，2），

∴k₁x+b﹣ ＜0，即k₁x+b＜ 的解集为0＜x＜1或x＞3．

故答案为：0＜x＜1或x＞3．

【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．

22．（铁锋区期末）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）成反比例函数关系缓慢减弱．

（1）这场沙尘暴的最高风速是　32　千米/小时，最高风速维持了　10　小时；

（2）当x≥20时，求出风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数关系式；

（3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/小时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有　59.5　小时．

【分析】（1）由速度＝增加幅度×时间可得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为20﹣10＝10小时；

（2）设y＝ ，将（20，32）代入，利用待定系数法即可求解；

（3）由于4时风速为8千米/时，而4小时后，风速变为平均每小时增加4千米，所以4.5时风速为10千米/时，再将y＝10代入（2）中所求函数解析式，求出x的值，再减去4.5，即可求解．

【解答】解：（1）0～4时，风速平均每小时增加2千米，所以4时风速为8千米/时；

4～10时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为8+6×4＝32千米/时，

10～20时，风速不变，最高风速维持时间为20﹣10＝10小时；

故答案为：32，10；

（2）设y＝ ，

将（20，32）代入，得32＝ ，

解得k＝640．

所以当x≥20时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为y＝ ；

（3）∵4时风速为8千米/时，而4小时后，风速变为平均每小时增加4千米，

∴4.5时风速为10千米/时，

将y＝10代入y＝ ，

得10＝ ，解得x＝64，

64﹣4.5＝59.5（小时）．

故在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 59.5小时．

故答案为：59.5．

【点评】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键

题组B 能力提升练

一．选择题（共5小题）

1．（鄞州区校级期末）如图，已知A，B是反比例函数y＝ （x＞0，k＞0）图象上的两点．过点B作BC∥x轴，交y轴于点C．动点P从原点出发，沿OABC即图中箭头方向运动，终点为C．过点P作PM垂直于x轴，垂足为M．记三角形OPM的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（　　）

A． B．

C． D．

【分析】当点P在OA上运动时，此时S随t的增大而增大，当点P在AB上运动时，S不变，当点P在BC上运动时，S随t的增大而减小，根据以上判断做出选择即可．

【解答】解：当点P在OA上运动时，此时S随t的增大而增大，

当点P在AB上运动时，S不变，

∴C、D选项错误；

当点P在BC上运动时，S随t的增大而逐渐减小，

∴选项错误．

故选：A．

【点评】本题考查了反比例函数的综合题和动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的移动确定函数的解析式，从而确定其图象．

2．（永嘉县校级期末）如图，点A，B在反比例函数y＝﹣ （x＜0）的图象上，连接OA，AB，以OA，AB为边作▱OABC，若点C恰好落在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，此时▱OABC的面积是（　　）

A．3 B． C．2 D．6

【分析】连接AC，BO交于点E，作AG⊥x轴，CF⊥x轴，设点A（a，﹣ ），点C（m， ）（a＜0，m＞0），由平行四边形的性质和中点坐标公式可得点B[（a+m），（﹣ ）]，把点B坐标代入解析式可求a＝﹣2m，由面积和差关系可求解．

【解答】解：如图，连接AC，BO交于点E，作AG⊥x轴，CF⊥x轴，

设点A（a，﹣ ），点C（m， ）（a＜0，m＞0）

∵四边形ABCO是平行四边形

∴AC与BO互相平分

∴点E（ ）

∵点O坐标（0，0）

∴点B[（a+m），（﹣ ）]

∵点B在反比例函数y＝﹣ （x＜0）的图象上，

∴﹣ + ＝﹣

∴a＝﹣2m，a＝m（不合题意舍去）

∴点A（﹣2m， ）

∴S_△AOC＝ （ ）（m+2m）﹣ ﹣1＝

∴▱OABC的面积＝2×S_△AOC＝3

故选：A．

【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，中点坐标公式，解题时注意：在反比例函数y＝ 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．解决问题的关键是换元思想以及数形结合思想的运用．

3．（青山区期末）如图，反比例函数y₁＝ 和正比例函数y₂＝k₂x的图象交于A（﹣2，﹣3），B（2，3）两点．若 x，则x的取值范围是（　　）

A．﹣2＜x＜0 B．﹣2＜x＜2

C．x＜﹣2或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0 或x＞2

【分析】根据图象的交点坐标及函数的大小关系，直接解答．要充分利用函数图象所给的信息解答．

【解答】解：由图可知，在A点左侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时x＜﹣2；

在B点左侧，y轴的右侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时0＜x＜2．

故选：C．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，将关于算式的问题转化为图象问题是解题的关键．

4．（永嘉县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+1分别交x轴，y轴于点A，B，交反比例函数y₁＝ （k＜0，x＜0），y₂＝ （k＜0，x＞0）于点C，D两点，连接OC，OD，过点D作DE⊥x轴于点E，若△ODE的面积与△OCB的面积相等，则k的值是（　　）

A．﹣4 B．﹣2 C．﹣2 D．﹣

【分析】△ODE的面积与△OCB的面积相等，即 （﹣k）＝ ×OB×（﹣m），解得：m＝k，将点C的坐标代入一次函数表达式得： ＝﹣ m+1，即可求解．

【解答】解：设点C（m， ），

∵直线y＝﹣ x+1交y轴于点B，则OB＝1，

∵△ODE的面积与△OCB的面积相等，

即 （﹣k）＝ ×OB×（﹣m），解得：m＝k，

将点C的坐标代入一次函数表达式得： ＝﹣ m+1，

解得：m＝﹣2＝k，

故选：B．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当已知两个函数的解析式的时候，联立组成方程组求解，体现了方程思想，综合性较强．

5．（禅城区期末）如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝ （x＞0）的图象上从左向右运动，PA∥y轴，交函数y＝﹣ （x＞0）的图象于点A，AB∥x轴交PO的延长线于点B，则△PAB的面积（　　）

A．逐渐变大或变小 B．等于定值16

C．等于定值8 D．另有答案

【分析】根据反比例函数k的几何意义得出S_△POC＝ ×2＝1，S_矩形ACOD＝6，即可得出 ＝ ，从而得出 ＝ ，通过证得△POC∽△PBA，得出 ＝（ ）²＝ ，即可得出S_△PAB＝16S_△POC＝16．

【解答】解：如图：

由题意可知S_△POC＝ ×2＝1，S_矩形ACOD＝6，

∵S_△POC＝ OC•PC，S_矩形ACOD＝OC•AC，

∴ ＝ ＝ ，

∴ ＝ ，

∴ ＝ ，

∵AB∥x轴，

∴△POC∽△PBA，

∴ ＝（ ）²＝ ，

∴S_△PAB＝16S_△POC＝16，

∴△PAB的面积等于定值16．

故选：B．

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，证得 ＝ 是解题的关键．

二．填空题（共3小题）

6．（衢州期末）如图，点A，B在反比例函数y＝ 第一象限的图象上，点A坐标为（1，2），AB的延长线交x轴于点C．点D在x轴上，BD的延长线交双曲线的另一支于点E，AB＝BC＝BD．则点C的坐标为　（3，0）　，△CDE的面积等于　2　．

【分析】先通过点A求k，再利用AB＝BC＝CD求点C和点D的坐标，然后求得直线BD的解析式，再求得点E的坐标，最后求得△CDE的面积．

【解答】解：将点A（1，2）代入反比例函数，得k＝2，

∵AB＝BC，

∴y_B＝1，

∴x_B＝2，

∴B（2，1），

∴C（3，0），

∵BC＝BD，

∴D（1，0），

设直线BD的解析式为y＝kx+b，则

，解得： ，

∴直线BD的解析式为y＝x﹣1，

由 ，解得： 或 ，

∴E（﹣1，﹣2），

∴S_△CDE＝ ＝ ＝2．

故答案为：（3，0），2．

【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义、线段的比例关系，待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象和反比例函数图象的交点坐标求解，解题的时候要注意AB＝BC＝BD这一条件的合理运用．

7．（长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝ 和y＝ 在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝ 的图象于点C，连接AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是　 或 　．

【分析】联立y＝kx、y＝ 并解得：点A（ ，2 ），同理点B（ ，3 ），点C（ ， ），分AB＝BC、AC＝BC两种情况分别求解即可．

【解答】解：联立y＝kx、y＝ 并解得：点A（ ，2 ），同理点B（ ，3 ），

点C（ ， ），∴AB≠AC，

①当AB＝BC时，（ ）²+（3 ﹣2 ）²＝（3 ﹣ ）²，解得：k＝± （舍去负值）；

②当AC＝BC时，同理可得：（ ﹣ ）²+（ ﹣2 ）²＝（3 ﹣ ）²，解得：k＝ （舍去负值）；

故答案为： 或 ．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．

8．（翔安区模拟）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：

①△OCN≌△OAM；

②ON＝MN；

③四边形DAMN与△MON面积相等；

④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为（0， +1）．

其中正确结论的有　①③④　．

【分析】设正方形OABC的边长为a，表示出A，B，C，M，N的坐标，利用SAS得到三角形OCN与三角形OAM全等，结论①正确；利用勾股定理表示出ON与MN，即可对于结论②做出判断；利用反比例函数的性质得到三角形OCN与三角形OAM全等，根据三角形MON面积＝三角形OND面积+四边形ADNM面积﹣三角形OAM面积，等量代换得到四边形DAMN与△MON面积相等，结论③正确；过O作OH垂直于MN，如图所示，利用ASA得到三角形OCN与三角形OHN全等，利用全等三角形对应边相等得到CN＝HN＝1，求出a的值，确定出C坐标，即可对于结论④做出判断．

【解答】解：设正方形OABC的边长为a，

得到A（a，0），B（a，a），C（0，a），M（a， ），N（ ，a），

在△OCN和△OAM中，

，

∴△OCN≌△OAM（SAS），结论①正确；

根据勾股定理，ON＝ ＝ ＝ ，MN＝ ＝ |a²﹣k|，

∴ON和MN不一定相等，结论②错误；

∵S_△ODN＝S_△OAM，

∴S_△MON＝S_△ODN+S_{四边形DAMN}﹣S_△OAM＝S_{四边形DAMN}，结论③正确；

过点O作OH⊥MN于点H，如图所示，

∵△OCN≌△OAM，

∴ON＝OM，∠CON＝∠AOM，

∵∠MON＝45°，MN＝2，

∴NH＝HM＝1，∠CON＝∠NOH＝∠HOM＝∠AOM＝22.5°，

∴△OCN≌△OHN（ASA），

∴CN＝HN＝1，

∴ ＝1，即k＝a，

由MN＝ |a²﹣k|得，2＝ |a²﹣a|，

整理得：a²﹣2a﹣1＝0，

解得：a＝ ＝1± （舍去负值），

∴点C的坐标为（0， +1），结论④正确，

则结论正确的为①③④，

故答案为：①③④

【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及反比例函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．