【323904】2024八年级数学下册 第17讲 反比例函数中的三种解题模型（含解析）（新版）浙教版

第17讲反比例函数中的三种解题模型

模型一：反比例函数与一次函数图像综合题

一．选择题（共2小题）

1．（镇海区期中）反比例函数 与一次函数y＝kx﹣k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

2．（海曙区期末）反比例函数 与正比例函数y＝2x在同一坐标系内的大致图象为（　　）

A． B．

C． D．

二．解答题（共2小题）

3．（西湖区期末）已知一次函数y＝（m﹣1）x+m﹣2与反比例函数y （k≠0）．

（1）若一次函数与反比例函数的图象都经过点A（m，﹣1），求m与k的值．

（2）已知点B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在该一次函数图象上，设k＝（x₁﹣x₂）（y₁﹣y₂），判断反比例函数y 的图象所在的象限，说明理由．

4．（西湖区校级期末）已知一次函数y₁＝x﹣a+2的图象与反比例函数 的图象相交．

（1）判断y₂是否经过点（k，1）．

（2）若y₁的图象过点（k，1），且2a+k＝5．

①求y₂的函数表达式．

②当x＞0时，比较y₁，y₂的大小．

159****2042的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共2小题）

1．（镇海区期中）反比例函数 与一次函数y＝kx﹣k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．

【解答】解：由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，

∴﹣k＜0，

∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故不可能是选项A、B；

由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，

∴﹣k＞0，

∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故不可能是选项C，可能是选项D；

故选：D．

【点评】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答．

2．（海曙区期末）反比例函数 与正比例函数y＝2x在同一坐标系内的大致图象为（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的性质解答即可．

【解答】解：∵正比例函数y＝2x中，k＝2＞0，

故其图象过一、三象限，

反比例函数y 中，k＝﹣1＜0，

故其图象在二、四象限．

故选：C．

【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．

二．解答题（共2小题）

3．（西湖区期末）已知一次函数y＝（m﹣1）x+m﹣2与反比例函数y （k≠0）．

（1）若一次函数与反比例函数的图象都经过点A（m，﹣1），求m与k的值．

（2）已知点B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在该一次函数图象上，设k＝（x₁﹣x₂）（y₁﹣y₂），判断反比例函数y 的图象所在的象限，说明理由．

【分析】（1）把A（m，﹣1）代入y＝（m﹣1）x+m﹣2，即可求得m的值，然后根据待定系数法求得k的值；

（2）根据题意可以判断m﹣1的正负，从而可以解答本题．

【解答】解：（1）一次函数的图象都经过点A（m，﹣1），

∴﹣1＝m（m﹣1）+m﹣2且m﹣1≠0，

∴m＝﹣1，

∴A（﹣1，﹣1），

∵反比例函数的图象都经过点A（﹣1，﹣1），

∴k＝1；

（2）∵点B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在该一次函数图象上，

∴

①﹣②得y₁﹣y₂＝（m﹣1）（x₁﹣x₂），

∵k＝（x₁﹣x₂）（y₁﹣y₂），

∴k＝（m﹣1）（x₁﹣x₂）²，

∴当m＞1时，k＞0，反比例函数的图象在一三象限；当m＜1时，k＜0，反比例函数的图象在二四象限．

【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．

4．（西湖区校级期末）已知一次函数y₁＝x﹣a+2的图象与反比例函数 的图象相交．

（1）判断y₂是否经过点（k，1）．

（2）若y₁的图象过点（k，1），且2a+k＝5．

①求y₂的函数表达式．

②当x＞0时，比较y₁，y₂的大小．

【分析】（1）把点（k，1）的坐标代入反比例函数的关系式，若满足，点在图象上，否则不在函数的图象上，

（2）①把（k，1）代入一次函数的关系式，得到一个方程，再与2a+k＝5联立方程组求出a、k的值，确定函数关系式，

②根据图象交点坐标以及函数的增减性进行判断，当自变量在不同取值范围时，两个函数的值的大小不同，

【解答】解：（1）点（k，1）满足反比例函数 的关系式，

因此y₂经过点（k，1）．

（2）①把（k，1）代入一次函数y₁＝x﹣a+2得，k﹣a+2＝1，

又∵2a+k＝5，

解得：a＝2，k＝1，

∴y₂的函数表达式为y₂ ．

②由函数的图象可知：当0＜x＜1时，y₁＜y₂，当x＝1时，y₁＝y₂，当x＞1时，y₁＞y₂．

【点评】考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用的方法，也是最基本的方法

题型二：反比例函数中“K”的几何意义

一．填空题（共6小题）

1．（宁波模拟）在平面直角坐标系xOy中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长的值与面积的值相等，则这个点叫做“和谐点”．已知直线y＝﹣2x+k₁与y轴交于点A，与反比例函数y 的图象交于点P（ ，m），且点P是“和谐点”，则△OAP的面积为　 或 　．

【分析】先根据“和谐点”的定义求出m的值，进而可求出点A的坐标，根据三角形的面积可求出△OAP的面积．

【解答】解：∵点P（ ，m）是“和谐点”，

∴5+2|m| |m|，解得m＝±10，

当m＝10时，P（ ，10），

∴k₁＝5，k₂＝﹣25，

∴A（0，5），

∴S_△OAP ．

当m＝﹣10时，P（ ，﹣10），

∴k₁＝﹣15，k₂＝25，

∴A（0，﹣15），

∴S_△OAP 15 ．

故答案为： 或 ．

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，读懂题意，明确和谐点的定义是解题的关键．

2．（乐清市一模）如图，点A，C在反比例函数 的图象上，点B，D在反比例函数 的图象上，且点A是线段OB的中点，BC⊥x轴，AD⊥y轴，△ECD的面积是 ，则k₂﹣k₁的值为　3　．

【分析】设A（a，b），分别表示点C，D，B，E的坐标，进而表达CE和DE的长，根据三角形的面积公式得出方程，求解即可．

【解答】解：∵BC⊥x轴，AD⊥y轴，

∴BC∥y轴，AD∥x轴，

∴∠CED＝90°．

设A（a，b），则B（2a，2b），

∵点A，C在反比例函数 的图象上，点B，D在反比例函数 的图象上，

∴k₁＝ab，k₂＝4ab，

∴C（2a， b），D（4a，b），E（2a，b），

∴CE b，DE＝2a，

∴S_△ECD •DE•CE •2a• b ，

∴ab＝1，

∴k₂﹣k₁＝3ab＝3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点A的坐标，利用中点表示出点B的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用反比例函数图象上点的坐标特征表示出点的坐标是关键．

3．（奉化区校级模拟）如图，平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的顶点A，B分别在x轴、y轴上，斜边AB与函数 交于点D，AD＝3BD，过点B作BC⊥AB，交函数 交于点C，连结AC，OD交于点E，若△AOE的面积与△CDE的面积都等于2.4，则k₂﹣k₁的值为　7　．

【分析】设OA＝a，可得B（0，a），过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为H，M，延长BD交x轴于点G，连接OD．所以DH∥OB，所以AD：AB＝DH：OB＝AH：AO，求出DH的长，AH的长和OH的长，所以D（ a， a），所以k₁ a²．因为BD⊥AB，∠ABO＝45°，所以∠OBG＝45°，所以△OBG是等腰直角三角形，则OG＝OB＝a，可知直线BG：y＝﹣x+a．因为S_△AEO＝S_△CDE，所以S_△AEO+S_△AED＝S_△CDE+S_△AED，即S_△AOD＝S_△ACD，所以OC∥AD，所以直线OC：y＝x，联立可求得点C（ ， ）．所以k₂ a²．又易知△OCE∽△DAE，所以OC：AD＝OE：DE＝2：3．所以S_△AOE：S_△ADE＝OE：DE＝2：3，所以S_△AOD •OA•CH •a• a＝6．所以a²＝16．则k₁ a²＝﹣3，k₂ a²＝4．所以k₂﹣k₁＝7．

【解答】解：设OA＝a，

∴点A（﹣a，0），

∵△OAB是等腰直角三角形，

∴OA＝OB＝a，

∴B（0，a），

∴AB a，

如图，过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为H，M，延长BD交x轴于点G，连接OD．

∴DH∥OB，

∴AD：AB＝DH：OB＝AH：AO，

∵AD＝3BD，

∴AD：AB＝3：4，

∴AH a，OH a，

∴D（ a， a）．

∴k₁ a²．

∵BD⊥AB，∠ABO＝45°，

∴∠OBG＝45°，

∴△OBG是等腰直角三角形，

∴OG＝OB＝a，

设直线BG的表达式为：y＝kx+a，

将G（a，0），代入可得k＝﹣1，

∴直线BG：y＝﹣x+a．

∵S_△AEO＝S_△CDE，

∴S_△AEO+S_△AED＝S_△CDE+S_△AED，即S_△AOD＝S_△ACD，

∴OC∥AD，

∴直线OC：y＝x，

令x＝﹣x+a，解得x ，

∴C（ ， ）．

∴k₂ a²．

由上知，OM＝CM ，AH＝DH a，

∴OC a，AD a，

∵OC∥AD，

∴△OCE∽△DAE，

∴OC：AD＝OE：DE＝2：3．

∴S_△AOE：S_△ADE＝OE：DE＝2：3，

∵S_△AOE＝2.4，

∴S_△ADE＝3.6，

∴S_△AOD •OA•CH •a• a＝6．

∴a²＝16．

∴k₁ a²＝﹣3，k₂ a²＝4．

∴k₂﹣k₁＝7．

故答案为：7．

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征，应数形结合，将图形的性质与反比例函数的相关性质联系起来进行求解．

4．如图，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，AO＝AB，函数y （x＞0）的图象分别交AO，AB于点C，D，若OC＝3，BD＝1，则OA的长为　5　；当OD⊥AB时，k的值为　 　．

【分析】过点C作CE⊥OB于E，过点D作DF⊥OB于F，过点A作AG⊥OB于点G，设OB＝m，设C（a，b），则D（m a， b），由反比例函数的性质可得ab＝（m a）• b，解得a m，进而可表达OE，EG，OF的长度，由CE∥AG，结合平行线分线段成比例可得OA的长度；若OD⊥AB，则∠ODB＝90°．由射影定理可得DF²＝OF•BF，建立等式求出m²的值，进而可得k的值．

【解答】解：如图，过点C作CE⊥OB于E，过点D作DF⊥OB于F，过点A作AG⊥OB于点G，设OB＝m，

∴CE∥DF∥AG，OG＝BG m．

∴∠OEC＝∠BFD＝90°，

∵AO＝AB，

∴∠AOB＝∠ABO，

∴△COE∽△DBF，

∴ 3．

设C（a，b），

∴OE＝a，CE＝b，

∴BF a，DF b，

∴D（m a， b），

∵反比例函数y （x＞0）的图象分别交边AO，AB于点C，D，

∴k＝ab＝（m a）• b，解得a m，

∴EG m m m，BF a m，

∴OF＝m m m．

∵CE∥AG，

∴OC：OA＝CE：AG＝OE：OG，即3：OA m： m，

∴OA＝5．

若OD⊥AB，则∠ODB＝90°．

由射影定理可得DF²＝OF•BF．

∴ b² m• m m²，即b m，

在Rt△OCE中，由勾股定理可得，OE²+CE²＝OC²，

∴（ m）²+（ m）²＝3²，

整理得m²＝10．

∴k＝ab m² ．

故答案为：5； ．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，等边三角形的性质，设出点C的坐标，利用反比例函数的性质表达出a，b与m的关系解题的关键．

5．（鹿城区校级三模）如图，Rt△AOB的边OA在x轴上，反比例函数y （k＞0）的图象过斜边OB的中点C，延长BO与该反比例函数图象的另一交点为D，连结AD．若△ABD的面积为18，则k的值为　6　．

【分析】由点C是OB的中点和反比例函数的对称性可知OB：BD＝2：3，所以S_△AOB S_△ABD＝12，设C（m， ），则B（2m， ），根据三角形面积公式建立方程即可求得k的值．

【解答】解：∵点C是OB的中点，

∴OC＝BC，

又由反比例函数的对称性可知，OD＝OC，

∴OB：BD＝2：3，

∴S_△AOB S_△ABD 18＝12，

设点C的横坐标为m，则C（m， ），

∴B（2m， ），

∴A（2m，0），

∴OA＝2m，AB ，

∴ •2m• 12，

解得，k＝6．

故答案为：6．

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，理解反比例函数系数k的几何意义以及三角形的面积是解决问题的关键．

6．（西湖区校级三模）如图，反比例函数y （k＞0）在第一象限的图象上一点E，D在x轴上，点E的纵坐标为1，若∠ODE＝120°，△ODE的面积是 ，则k的值是　 　．

【分析】作EH⊥x轴于点H，则EH＝1，由△ODE的面积是 可得OD长，再由∠ODE＝120°可得∠EDH＝60°，解直角三角形EDH即可解得DH，从而求出点E的坐标，进而求解．

【解答】解：作EH⊥x轴于点H，则EH＝1，

∵S_△ODE OD•EH OD×1 ，

∴OD ，

∵∠ODE＝120°，

∴∠EDH＝60°，

∴tan60° ，

∴DH ，

∴OH＝OD+DH ，

∴E（ ，1），

∵点E在反比例函数y 的图象上，

∴k＝yx＝1 ．

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质及解直角三角形的方法．

题型三：反比例函数与代数、几何综合题

一．选择题（共2小题）

1．（婺城区模拟）如图，在△OAP、△ABQ均是等腰直角三角形，点P、Q在函数y （x＞0）的图象上，直角顶点A、B均在x轴上，则点B的坐标为（　　）

A．（ 1，0） B．（ 1，0） C．（ 1，0） D．（3，0）

【分析】若△OAP是等腰直角三角形，那么∠POA＝45°，即直线OP：y＝x，联立双曲线解析式可求得P（2，2），即A（2，0），然后结合直线OP求得直线AQ的解析式，联立反比例函数解析式即可得到点Q点坐标，由于B、Q的横坐标相同，即可得解．

【解答】解：∵△OAP是等腰直角三角形，

∴直线OP：y＝x，联立y （x＞0）可得P（2，2），

∴A（2，0），

由于直线OP∥AQ，可设直线AQ：y＝x+h，则有：

2+h＝0，h＝﹣2；

∴直线AQ：y＝x﹣2；

联立y （x＞0）可得Q（1 ， 1），即B（1 ，0）．

故选：C．

【点评】本题考查了反比例函数的图象的性质以及等腰直角三角形的性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．

2．（奉化市自主招生）如图，已知动点P在函数y （x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y＝﹣x+1交于点E，F，则AF•BE的值为（　　）

A．4 B．2 C．1 D．

【分析】由于P的坐标为（a， ），且PN⊥OB，PM⊥OA，那么N的坐标和M点的坐标都可以a表示，那么BN、NF、BN的长度也可以用a表示，接着F点、E点的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示AF，BE，最后即可求出AF•BE．

【解答】解：作FG⊥x轴，

∵P的坐标为（a， ），且PN⊥OB，PM⊥OA，

∴N的坐标为（0， ），M点的坐标为（a，0），

∴BN＝1 ，

在直角三角形BNF中，∠NBF＝45°（OB＝OA＝1，三角形OAB是等腰直角三角形），

∴NF＝BN＝1 ，

∴F点的坐标为（1 ， ），

同理可得出E点的坐标为（a，1﹣a），

∴AF²＝（1﹣1 ）²+（ ）² ，BE²＝（a）²+（﹣a）²＝2a²，

∴AF²•BE² •2a²＝1，即AF•BE＝1．

故选：C．

【点评】本题的关键是通过反比例函数上的点P来确定E、F两点的坐标，进而通过坐标系中两点的距离公式得出所求的值．

二．填空题（共8小题）

3．（瓯海区一模）如图，菱形ABCD的对角线交于点E，边CD交y轴正半轴于点F，顶点A，D分别在x轴的正、负半轴上，反比例函数y 的图象经过C，E两点，过点E作EG⊥OA于点G，若CF＝2DF，DG﹣AG＝3，则k的值是　4 　．

【分析】过点C作CH⊥AD于点H，可得CH∥EG∥OF，进而可得：△DFO∽△DCH，△AEG∽△ACH，结合CF＝2DF和菱形性质，可推出：CH＝3OF，DH＝3OD， ，设OD＝a，则DH＝3a，再结合DG﹣AG＝3，即可求出a＝1，运用勾股定理建立方程求解即可得出答案．

【解答】解：如图，过点C作CH⊥AD于点H，

∵EG⊥OA，即EG⊥AD，

∴CH∥EG∥OF，

∴△DFO∽△DCH，

∴ ，

∵CF＝2DF，DC＝DF+CF，

∴DC＝3DF，

∴ ，

∴CH＝3OF，DH＝3OD，

设OD＝a，则DH＝3a，

∴OH＝DH﹣OD＝2a，

∵四边形ABCD是菱形，

∴CE＝AE，即 ，

∵EG∥CH，

∴△AEG∽△ACH，

∴ ，

∴AG＝GH，

∵DG﹣AG＝3，

∴DH+GH﹣AG＝3，

∴DH＝3，即3a＝3，

∴a＝1，

∴OH＝2，即点C的横坐标为2，

∵反比例函数y 的图象经过C，E两点，

∴C（2， k），

∴CH k，

∴EG CH k，

∴E（4， k），

∴G（4，0），

∴OG＝4，

∴GH＝OG﹣OH＝4﹣2＝2，

∴AG＝2，

∴AD＝OD+OH+GH+AG＝1+2+2+2＝7，

∴CD＝7，

在Rt△CDH中，DH²+CH²＝CD²，

∴3²+（ k）²＝7²，

解得：k＝±4 ，

∵反比例函数y 的图象在第一象限，

∴k＞0，

∴k＝4 ，

故答案为：4 ．

【点评】本题考查了反比例函数的解析式，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

4．（温州一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，反比例函数 的图象经过顶点C和对角线OB的中点D．作CE∥OB交y轴于点E．若△ADE的面积为12，则k的值为　32　．

【分析】连接CD，延长BC交y轴于点F，则点A，D，C三点共线．BF⊥y轴，设点D（m，n），则B（2m，2n），所以k＝mn，则C（ ，2n），所以直线OB：y x，由平行和点C的坐标可得直线CE：y x ．所以E（0， ）．可表示CF ，OE ．因为点D是AC的中点，所以△ADE的面积＝△CDE的面积＝12，又由CE∥OB，可得△CDE的面积＝△OCE的面积＝12．再由三角形的面积公式可列出方程，得出结论．

【解答】解：如图，连接CD，延长BC交y轴于点F，

∵点D是平行四边形对角线OB的中点，BC∥OA，

∴点A，D，C三点共线．BF⊥y轴，

设点D（m，n），则B（2m，2n），

∴k＝mn，

∴C（ ，2n），

∴直线OB：y x，

∵CE∥OB，

∴直线CE：y x ．

∴E（0， ）．

∴CF ，OE ．

∵点D是AC的中点，

∴△ADE的面积＝△CDE的面积＝12，

∵CE∥OB，

∴△CDE的面积＝△OCE的面积＝12．

∴ • • 12．整理得mn＝32．

∴k＝32．

故答案为：32．

【点评】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，菱形的性质等内容，关键是将△ADE的面积转化为△OCE的面积．

5．（鹿城区校级一模）如图，线段OA与函数y （x＞0）的图象交于点B，且AB＝2OB，点C也在函数y （x＞0）图象上，连结AC并延长AC交x轴正半轴于点D，且AC＝3CD，连结BC，若△BCD的面积为3，则k的值为　 　．

【分析】分别过点A，B，C作x轴的垂线，垂足分别为M，E，F．设点B的坐标为（a，b），由平行线分线段成比例分别求出点C的坐标，OD的长；由△BCD的面积为3，根据等高三角形的面积比等于对应底的比可得出△BOD的面积，利用△BOD的面积得出等式求解即可．

【解答】解：如图，分别过点A，B，C作x轴的垂线，垂足分别为M，E，F．

∴BE∥CF∥AM，

∴OB：OA＝BE：AM＝OE：OM＝1：3，

CD：AD＝DF：DM＝CF：AM＝1：4，

设点B的坐标为（a，b），

∴OE＝a，BE＝b，

∴AM＝3BE＝3b，OM＝3OE＝3a，

∴CF AM b，

∴C（ a， b），

∴OF a，

∴FM＝OM﹣OF a，

∴DF FM a，

∴OD＝OM﹣DF﹣FM a．

∵△BCD的面积为3，

∴△ABC的面积＝3×△BCD的面积＝9，

∴△ABD的面积＝12．

∴△BOD的面积 △ABD的面积＝6．

∴ •OD•BE a×b＝6．

解得k＝ab ．

故答案为： ．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例等知识，由△BCD的面积推导出△BOD的面积，设出点B的坐标，表达出△BOD的面积是解题关键．

6．（鄞州区模拟）如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A，B分别在y轴、x轴的正半轴上，Rt△AOB的两条外角平分线交于点P，且点P在反比例函数y （k＞0）的图象上，PA，PB的延长线分别交x轴、y轴于点C，D，连结CD．△OCD的面积是9，则k的值是　9　；当点A的坐标是（0，2）时，则点B的坐标是　（ ，0）　．

【分析】（1）作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H，连接OP．利用角平分线的性质得出PM＝PN，可以假设P（m，m），则k＝m²，利用勾股定理得到m²+m²＝OP²，通过证得△COP∽△POD，得到OP²＝OC•OD＝5×3＝15，即可求得k的值．

（2）根据勾股定理可得OA²+OB²＝AB²即a²+b²＝（2m﹣a﹣b）²，把a、m代入即可得b的值．

【解答】解：作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H，连接OP．

∵△AOB的两条外角平分线交于点P，

∴PM＝PH，PN＝PH，

∴PM＝PN，

∴可以假设P（m，m），

∵P在反比例函数y （k＞0，x＞0）的图象上，

∴k＝m²，

∵∠POA＝∠POB＝∠CPD＝45°，

∴∠COP＝∠POD＝135°，

∵∠POB＝∠PCO+∠OPC＝45°，∠APO+∠OPD＝45°，

∴∠PCO＝∠OPD，

∴△COP∽△POD，

∴OP²＝OC•OD，

又∵△OCD的面积是9

∴OC•OD＝18

∴OP ，

根据勾股定理，m²+m²＝OP²＝18，

∴k＝m²＝9．

设OA＝a，0B＝b则AH＝MA＝m﹣a，BN＝BH＝ON﹣OB＝m﹣b，

∴AB＝AH+BH＝2m﹣a﹣b．

在Rt△OAB中，由勾股定理可得OA²+OB²＝AB²，

即a²+b²＝（2m﹣a﹣b）²，

整理得4m²﹣4m（a+b）+2ab＝0，

当点A的坐标是（0，2）时，a＝2，

∵m²＝9（m＞0）．

∴m＝3，代入到4m²﹣4m（a+b）+2ab＝0中，

得4×9﹣4×3×（2+b）+2×2b＝0，

解得b ，

∴B点坐标为（ ，0）．

故答案为：9，（ ，0）．

【点评】本题属于考查了反比例函数的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

7．（宁波模拟）如图，A是函数y （x＞0）图象上一动点，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，BD⊥BC交函数y （x＞0）的图象于点D，连接CD交AB于点E．

（1）当BC＝2BD时，点D的纵坐标为　 　．

（2）当点A运动时，△BCE面积的最小值为　3　．

【分析】（1）设A（a， ），则OB＝a，OC ，作DH⊥x轴于H，通过证明Rt△OBC∽Rt△HDB，求得点D坐标，利用待定系数法求出a值，即可得出结论；

（2）设BC＝kBD（k＞0），则 ，设点A的坐标为（m， ），则AC＝OB＝m，AB＝OC ；作DH⊥x轴于H，利用（1）中的方法求得点D坐标，进而得到线段BE的长，利用三角形的面积公式求得△BCE面积，利用换元法和配方法即可求得结论．

【解答】解：（1）∵A是函数y （x＞0）图象上一动点，

∴设A（a， ），

∴OB＝a，OC ，

作DH⊥x轴于H，如图，

∵AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，

∴四边形ABOC为矩形，

∵∠CBD＝90°，

∴∠OBC+∠HBD＝90°，

而∠OBC+∠BCO＝90°，

∴∠BCO＝∠HBD，

∴Rt△OBC∽Rt△HDB，

∴ ，

∵BC＝2BD，

∴BH OC ，DH a，

∴OH＝a ，

∴D（a ， a），

∵点D在函数y （x＞0）的图象上，

∴（a ） a＝8，

解得a＝2 （负数舍去），

∴D（ ， ）；

故答案为： ；

（2）设BC＝kBD（k＞0），则 ．

设点A的坐标为（m， ），则AC＝OB＝m，AB＝OC ．

∴C（0， ）．

作DH⊥x轴于H，如图，

∵∠CBD＝90°，

∴∠OBC+∠HBD＝90°，

而∠OBC+∠BCO＝90°，

∴∠BCO＝∠HBD，

∴Rt△OBC∽Rt△HDB，

∴ ．

∴ ．

∴BH ，DH ．

∴OH＝OB+BH＝m ．

∴D（m ， ）．

设直线CD的解析式为y＝nx+b，

∴ ．

解得： ．

∵D（m ， ）在双曲线y 上，

∴（m ） 8．

∴m²＝8k ．

∴n ．

∴直线CD的解析式为y x ．

当x＝m时，y ，

∴E（m， ）．

∴EB ，

∴ BE×AC

（ ）•m

（ 8）

．

设 t，

∴S_△BCE＝4t²﹣4t+4＝4 3．

∵4＞0，

∴当t 时，△BCE面积有最小值3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了相似三角形的判定与性质．

8．（宁波模拟）如图，函数y＝kx与y （k＞0，x＞0）的图象交于点A，以OA为斜边作等腰直角△OAC，若直角顶点C恰好在函数y （k＞0，x＞0）的图象上，则k的值为　 2　．

【分析】过点A作y轴的垂线AB，过点C作x轴的垂线BD于点D，交AB于点B．易证△ABC≌△CDO（AAS），设点C的坐标为（m，n），可表示点A的坐标为（m﹣n，m+n）．由点A，点C在函数y （k＞0，x＞0）的图象上，建立等式mn＝（m﹣n）（m+n），求出m和n的关系，再根据点A在直线y＝kx上，代入点A坐标可求出k的值．

【解答】解：如图，过点A作y轴的垂线AB，过点C作x轴的垂线BD于点D，交AB于点B．

∴∠B＝∠ODC＝90°，

∵△OAC是等腰直角三角形，

∴AC＝OC，∠ACO＝90°，

∴∠ACB+∠OCD＝∠OCD+∠COD＝90°，

∴∠ACB＝∠COD，

∴△ABC≌△CDO（AAS），

∴AB＝CD，BC＝OD．

设点C的坐标为（m，n），

∴OD＝m，CD＝n，

∴AB＝CD＝n，BC＝OD＝m，

∴A（m﹣n，m+n）．

∵点A，点C在函数y （k＞0，x＞0）的图象上，

∴mn＝（m﹣n）（m+n），解得m n（负值舍去），

∵点A在一次函数y＝kx上，

∴k 2．

故答案为： 2．

【点评】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，涉及等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，反比例函数上点的坐标特征等知识，设出点C的坐标，得出m和n之间的关系是解题关键．

9．（杭州三模）如图，点A，B是双曲线y 上的点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，若S_阴影＝2，则S₁+S₂＝　2　．

【分析】先根据反比例函数系数k的几何意义求出S₁+S_阴影及S₂+S_阴影的值，进而可得出S₁+S₂的值．

【解答】解：∵点A，B是双曲线y 上的点，

∴S₁+S_阴影＝S₂+S_阴影＝3，

∴S₁+S₂＝6﹣2S_阴影＝6﹣4＝2．

故答案为2．

【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，熟知在反比例函数y （k≠0）图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|是解答此题的关键．

10．（武进区校级自主招生）两个反比例函数y ，y 在第一象限内的图象如图所示．点P₁，P₂，P₃、…、P₂₀₀₇在反比例函数y 上，它们的横坐标分别为x₁、x₂、x₃、…、x₂₀₀₇，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P₁，P₂，P₃、…、P₂₀₀₇分别作y轴的平行线，与y 的图象交点依次为Q₁（x₁′，y₁′）、Q₁（x₂′，y₂′）、…、Q₂（x₂₀₀₇′，y₂₀₀₇′），则|P₂₀₀₇Q₂₀₀₇|＝　 　．

【分析】要求出|P₂₀₀₇Q₂₀₀₇|的值，就要先求|Qy₂₀₀₇﹣Py₂₀₀₇|的值，因为纵坐标分别是1，3，5 …，共2007个连续奇数，其中第2007个奇数是2×2007﹣1＝4013，所以P₂₀₀₇的坐标是（Px₂₀₀₇，4013），那么可根据P点都在反比例函数y 上，可求出此时Px₂₀₀₇的值，那么就能得出P₂₀₀₇的坐标，然后将P₂₀₀₇的横坐标代入y 中即可求出Qy₂₀₀₇的值．那么|P₂₀₀₇Q₂₀₀₇|＝|Qy₂₀₀₇﹣Py₂₀₀₇|，由此可得出结果．

【解答】解：由题意可知：P₂₀₀₇的坐标是（Px₂₀₀₇，4013），

又∵P₂₀₀₇在y 上，

∴Px₂₀₀₇ ．

而Qx₂₀₀₇（即Px₂₀₀₇）在y 上，所以Qy₂₀₀₇ ，

∴|P₂₀₀₇Q₂₀₀₇|＝|Py₂₀₀₇﹣Qy₂₀₀₇|＝|4013 | ．

故答案为： ．

【点评】本题的关键是找出P点纵坐标的规律，以这个规律为基础求出P₂₀₀₇的横坐标，进而求出Q₂₀₀₇的值，从而可得出所求的结果．