第11章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共24分)
1．下列关系式中，y是x的反比例函数的是( )
A．y＝5x B．＝3 C．y＝ D．y＝x2－3
2．(教材P132练习T1)反比例函数y＝(其中m≠3)，当x＞0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是( )
A．m＜3 B．m＞3 C．m＜－3 D．m＞－3
3．【2023·无锡一模】已知点A(－1，4)和B(a，2)在同一反比例函数图像上，则a的值为( )
A．－2 B．－1 C．－ D．1
4．反比例函数y＝的图像与正比例函数y＝2x的图像的一个交点为(1，2)，则另一个交点是( )
A．(－1，－2) B．(－2，－1) C．(－1，2) D．(2，1)
5.某反比例函数图像上四个点的坐标分别为(－3，y1)，(－2，3)，(1，y2)，(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A．y2＜y1＜y3
B．y3＜y2＜y1
C．y2＜y3＜y1
D．y1＜y3＜y2
6
．【2023·随州】已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图像如图所示，则当电阻为6
Ω时，电流为( )
A．3 A
B．4 A
C．6 A
D．8 A
7.在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx＋1(k≠0)和y＝(k≠0)的图像大致是( )
8.如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝(k≠0)的图像上，点B的坐标为(2，4)，则点E的坐标为( )
A
．(4，4)
B．(2，2)
C．(2，4)
D．(4，2)
二、填空题(每题3分，共30分)
9. 请写出一个图像在第二、四象限的反比例函数的表达式：________．
10. 若反比例函数y＝的图像在第一、三象限，则 k的取值范围是________．
11. 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x与反比例函数y＝(k≠0)的图像交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别是y1，y2，则y1＋y2的值是 ________．
12．你吃过兰州拉面吗？实际上做拉面的过程渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y(cm)是面条粗细(横截面积)x(cm2)的反比例函数，假设其图像如图所示，则y与x之间的函数表达式为__________．
13．【2023·扬州】某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p(Pa)是气球体积V(m3)的反比例函数，且当V＝3 m3时，p＝
8 000 Pa．当气球内的气体压强大于40 000 Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于________m3.
14．如图，直线y＝kx＋b(k≠0)与y＝(m≠0)的图像相交于A(－2，3)，B(1，－6)两点，则不等式kx＋b＞的解集为______________．
15．一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图像与反比例函数y＝(k≠0)的图像的两个交点分别是A(－1，－4)，B(2，m)，则a＋2b＝________．
16. 如图，点A，D分别在函数y＝－(x＜0)，y＝(x＞0)的图像上，点B，C在x轴上．若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是 ________．
17．【2023·绍兴】如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝(k为大于0的常数，x＞0)图像上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是________．
18．【2023·扬州二模】如图，直线y＝3x与双曲线y＝交于A，B两点，将直线AB绕点A顺时针旋转45°，与双曲线位于第三象限的一支交于点C．若S△ABC＝70，则k＝________．
三、解答题(19～25题每题8分，26题10分，共66分)
19．已知反比例函数y＝－.
(1)写出这个函数的比例系数；
(2)求当x＝－10时函数y的值；
(3)求当y＝6时自变量x的值．
20．如图，反比例函数y＝图像的一支在第一象限．
(1)求k的取值范围；
(2)在这个函数图像的某一支上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1－x2＞0，那么y1和y2有怎样的大小关系？
21．【2023·泰州海军中学二模】节选如图，已知点A是反比例函数y＝(k≠0)图像上一点，一次函数y＝mx＋3(m＞0)的图像经过点A，点A的坐标为(1，4)．
(1)k＝________，m＝________；
(2)求不等式＞mx＋3的解集．
22．【2023·江西】如图，已知直线y＝x＋b与反比例函数y＝(x＞0)的图像交于点A(2，3)，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y＝(x＞0)的图像于点C，连接AC．
(1)求直线AB的表达式和反比例函数的表达式；
(2)求△ABC的面积．
23．【2023·镇江丹徒区期末】镇江港是长江三角洲重要的江海河、铁公水联运综合性对外开放港口，目前共有8台吊机可同时作业，对停靠的万吨以上货轮均可实现48小时内完成卸货．现有一艘货轮来到镇江港需要卸货，卸完所有货所需时间y(小时)和卸货速度x(吨/小时)之间的函数关系如图．
(1)写出y与x之间的函数表达式为________．
(2)如果用120小时卸完所有货物，求卸货速度；
(3)若只用2台吊机同时作业，则卸货速度是360吨/小时，为了实现48小时内完成卸货，至少需要________台吊机同时作业(假设每台吊机的卸货速度相同)．
24．【2023·胥江实验中学二模】如图，已知A(m，2)是直线l和双曲线y＝的交点．
(1)求m的值．
(2)若直线l分别和x轴，y轴交于E，F两点，且点A是EF的中点，试确定直线l的表达式．
(3)在双曲线y＝上另取一点B，过点B作BK⊥x轴于点K.问：在y轴上是否存在点P，使得S△PAF＝S△BOK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．【2023·苏州星海实验中学期中】【阅读理解】把—个函数图像上每个点的纵坐标变为原来的倒数(原函数图像上纵坐标为0的点除外)、横坐标不变，可以得到另一个函数的图像，我们称这个过程为倒数变换．
【知识运用】如图①，将y＝x的图像经过倒数变换后可得到y＝的图像(部分)．特别地，因为y＝x图像上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此y＝的图像上也没有纵坐标为0的点．小明在求y＝x的图像与y＝的图像的交点时运用了开平方的定义：由得x2＝1，解得x＝±1，则图像交点的坐标为(1，1)或(－1，－1)．
【拓展延伸】请根据上述阅读材料完成：
(1)请在图②的平面直角坐标系中画出y＝x＋1的图像和它经过倒数变换后的
图像．
(2)设函数y＝x＋1的图像和它经过倒数变换后的图像的交点为A，B(点A在左边)，直接写出其坐标：A________，B________；
(3)设C(－1，m)，且S△ABC＝4，求m的值．
26．如图，四边形AOBC是矩形，反比例函数y＝(k＞0)在第一象限内的图像与矩形AOBC的边AC，BC分别交于点M，N(点M，点N不与点C重合)．
(1)＝__________；
(2)若BN＝BC，且四边形MONC的面积为9，求反比例函数的表达式；
(3)判断与的关系，并说明理由．
答案
一、1．C 2．A 3．A 4．A
5．C 【点拨】根据反比例函数的图像经过点(－2，3)求出其表达式，然后把
x＝－3，x＝1，x＝2分别代入表达式，求出函数值，进行比较即可得出答案．
6．B 【点拨】设I＝.
∵图像过点(8，3)，∴k＝24.∴I＝.
当电阻为6 Ω时，电流为＝4(A)．
7．D
8．D 【点拨】∵点B的坐标为(2，4)，且在反比例函数y＝的图像上，
∴4＝.∴k＝8.∴反比例函数的表达式为y＝.
∵点E在反比例函数y＝的图像上，
∴可设E.
∴AD＝a－2，ED＝.∵四边形ADEF为正方形，∴AD＝ED，即a－2＝，解得a1＝4，a2＝－2.
∵a＞0，∴a＝4.∴E(4，2)．
二、9．y＝－(答案不唯一) 10．k＜ 11．0
12．y＝(x＞0)
13．0.6 【点拨】设气球内气体的压强p(Pa)与气球体积V(m3)之间的函数表达式为p＝.
∵当V＝3 m3时，p＝8 000 Pa，
∴k＝3×8 000＝24 000.∴p＝.
∵气球内的气体压强大于40 000 Pa时，气球将爆炸，
∴p≤40 000 Pa时，气球不爆炸．
∴≤40 000，解得V≥0.6 m3.
∴为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于0.6 m3.
14x＜－2或0＜x＜1
15．－2 【点拨】把A(－1，－4)的坐标代入y＝，得k＝－1×(－4)＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝.
将B(2，m)的坐标代入y＝，得m＝＝2，∴B(2，2)．
把A(－1，－4)，B(2，2)的坐标代入y＝ax＋b，得
∴a＋2b＝－2.
16．(2，3) 【点拨】设A的纵坐标为n，则D的纵坐标为n.
∵点A，D分别在函数y＝－，y＝的图像上，
∴A，D.
∵四边形ABCD为正方形，
∴＋＝n，
解得n＝±3.
∵点D在第一象限，∴n＝3.∴D(2，3)．
17．2 【点拨】如图，延长CA交y轴于点E，延长CB交x轴于点F，连接OC，
则CE⊥y轴，CF⊥x轴．
易知四边形OECF为矩形．
∴S△OCE＝S△OCF＝S矩形OECF.
由x2＝2x1，易知点A为CE的中点．
∴S△OAE＝S△OCE＝S△OCF＝S矩形OECF.
由k的几何意义得S△OAE＝S△OBF，
∴S△OBF＝S△OCF＝S矩形OECF.
∴BF＝CF，
即点B为CF的中点．
∴易知S△ABC＝S矩形OECF.
∴S△OAB＝S矩形OECF－S△OAE－S△OBF－S△ABC＝S矩形OECF.
又∵△OAB的面积为6，
∴S矩形OECF＝6，∴S矩形OECF＝16.
∴S△ABC＝S矩形OECF＝×16＝2.
18．12 【点拨】设A(a，3a)(a＞0)，AC与y轴交于点H，过点A作AD⊥x轴于点D，过点O作OE⊥AB，交AC于点E，过点E作EF⊥x轴于点F，连接OC，如图，则∠EFO＝∠EOA＝∠ADO＝90°.
∵直线y＝3x与双曲线y＝交于A，B两点，
∴OA＝OB，k＝3a2，∴S△OAC＝S△ABC＝35.
由旋转知∠BAC＝45°，又∵OE⊥AB，
∴△OAE是等腰直角三角形．∴OE＝OA.
∵∠EOF＋∠AOD＝90°，∠OAD＋∠AOD＝90°，
∴∠EOF＝∠OAD.
∴△OEF≌△AOD(AAS)．
∴
OD＝EF＝a，AD＝OF＝3a.∴E(－3a，a)．
设直线AC的函数表达式为y＝mx＋n，
∴解得
∴直线AC的函数表达式为y＝x＋a.
当x＝0时，y＝a，
∴H，∴OH＝a.
由解得(舍去)．
∴C.
∴S△OAC＝OH·(xA－xC)＝×a(a＋6a)＝35，解得a2＝4.
∴k＝3a2＝12.
三、19．【解】(1)比例系数为－.
(2)当x＝－10时，y＝－＝.
(3)当y＝6时，－＝6，解得x＝－.
20．【解】(1)∵反比例函数y＝图像的一支在第一象限，
∴k－2＞0，解得k＞2.
(2)∵k－2＞0，
∴反比例函数y＝在每一个象限内，y都随x的增大而减小．
∵x1－x2＞0，∴x1＞x2，∴y1＜y2.
21．【解】(1)4；1
(2)∵k＝4，m＝1，
∴反比例函数的表达式为y＝，一次函数的表达式为y＝x＋3.
∴当＝x＋3时，解得x1＝－4，x2＝1.
∴由图像可知，当＞x＋3时，x＜－4或0＜x＜1.
∴不等式＞mx＋3的解集为x＜－4或0＜x＜1.
22．【解】(1)∵直线y＝x＋b与反比例函数y＝(x＞0)的图像交于点A(2，3)，
∴3＝2＋b，3＝，∴b＝1，k＝6，
∴直线AB的表达式为y＝x＋1，反比例函数的表达式为y＝.
(2)在y＝x＋1中，令x＝0，则y＝1，
∴B(0，1)．
∵BC∥x轴，∴点C的纵坐标为1.
把y＝1代入y＝，得x＝6，
∴C(6，1)，∴BC＝6，
∴△ABC的面积为×6×(3－1)＝6.
23．【解】(1) y＝
(2)将y＝120代入y＝，解得x＝300.
答：用120小时卸完所有货物，卸货速度为300吨/小时．
(3)5
【点拨】∵只用2台吊机同时作业，卸货速度是360吨/小时，
∴每台吊机的卸货速度为360÷2＝180(吨/小时)．
由题可得货物的重量为250×144＝36 000(吨)．
设需要a台吊机同时作业，
根据题意得48×180a≥36 000.
解得a≥.
∵a为正整数，∴a最小为5.
∴至少需要5台吊机同时作业．
24．【解】(1)将A(m，2)的坐标代入y＝，得＝2，
解得m＝.
(2)由(1)可得A.
∵点A是EF的中点，∴E(3，0)，F(0，4)．
设直线l的表达式为y＝kx＋b，将E(3，0)，F(0，4)的坐标分别代入，得解得
∴直线l的表达式为y＝－x＋4.
(3)存在．设P(0，t)，则PF＝|t－4|，S△PAF＝PF×，S△BOK＝×3＝.
∵S△PAF＝S△BOK，∴|t－4|×＝，解得t＝6或t＝2.
∴点P的坐标为(0，6)或(0，2)．
25．【解】(1)如图所示．
(2)(－2，－1)；(0，1)
(3)∵S△ABC＝4，
∴×|m|×(0＋2)＝4.
∴m＝±4.
26．【解】(1)1
(2)连接OC.
∵四边形AOBC是矩形，∴S△AOC＝S△BOC.
又∵S△AOM＝S△BON＝|k|＝k，
∴S△ONC＝S△OMC＝S四边形MONC＝.
∵BN＝BC，∴S△BON＝S△ONC.
∴k＝×，解得k＝3.
∴反比例函数的表达式为y＝.
(3)＝.理由如下：
设AC＝a，BC＝b，
则M，N.
∴AM＝，BN＝.
∴＝，＝.∴＝.