第12章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共24分)
1. 下列各式中，一定是二次根式的是( )
A． B． C． D．
2．【2023·扬州二模】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A．x＞ B．x≥－ C．x≥ D．x≥－且x≠0
3．下列等式成立的是( )
A．＝±4 B．＝2 C．－a＝ D．－＝－8
4．下列二次根式是最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
5. 与结果相同的是( )
A．3－2＋1 B．3＋2－1 C．3＋2＋1 D．3－2－1
6．【2023·临沂】设m＝5－，则实数m所在的范围是( )
A．m<－5 B．－5<m<－4
C．－4 <m<－3 D．m>－3
7．如图，在大正方形中有两个小正方形(阴影部分)，已知两个小正方形的面积分别为S1＝18，S2＝12，重叠部分是一个小正方形，其面积为2，则空白部分的面积为( )
A．6 B．8 C．8－16 D．8－8
8．【2023·通辽】如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，1)，点A(4，1)，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转60°得到点B，在M1(－1，－)，M2，M3(1，－1)，M4(2，2)四个点中，直线PB经过的点是( )
A．M1 B．M2 C．M3 D．M4
二、填空题(每题3分，共30分)
9. 计算－2 的结果是 ________．
10．若与最简二次根式是同类二次根式，则x＝________．
11．【2023·天津】计算(＋)(－)的结果为________．
12．(教材P166习题T5(1))若计算×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是______________(写出一个符合条件的即可)．
13．比较大小：________(填“＞”“＝”或“＜”)．
14. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a＋1|－＋＝________．
15．(教材P169复习巩固T9)已知实数a，b满足＋|6－b|＝0，则的值为 ________．
16．若a＝3＋2，b＝3－2，则a2－b2＝________．
17．已知y＝－x＋5，当x分别取1，2，3，…，2 025时，所对应的y值的总和为________．
18．【2023·丽水】如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m>n且满足
am－bn＝2，an＋bm＝4.
(1)若a＝3，b＝4，则图①阴影部分的面积是________；
(2)若图①阴影部分的面积为3，图②四边形ABCD的面积为5，则图②阴影部分的面枳是________．
三、解答题(19～25题每题8分，26题10分，共66分)
19．计算：
(1)【2023·徐州】|－2 023|＋π0－＋； (2)＋4－＋3；
(3)÷＋； (4)÷3 .
20. 嘉琪准备完成题目“计算：－”时，发现“■”处的数字印刷不清楚，她把“■”处的数字猜成3，请你计算－.
21．(教材P169复习巩固T10)已知m是的小数部分，求的值．
22．(1)2023·长春先化简，再求值：(a＋1)2＋a(1－a)，其中a＝；
(2)先化简，再求(1＋x)的值，其中x满足＝，且x为偶数．
23．对实数a，b，定义：a■b＝a2b－ab＋b，如：3■2＝32×2－3×2＋2＝14.
(1)求(－3)■的值；
(2)若2■m<－6，试化简：＋.
24．【2023·无锡宜兴市实验中学月考】已知a＝，b＝，求下列各式
的值．
(1)a2b－ab2；
(2)a2＋b2.
25．(1)用“＝”“＞”“＜”填空：4＋3______2；1＋______2；5＋5______2；
(2)由(1)中各式猜想m＋n与2(m≥0，n≥0)的大小关系，并说明理由．
(3)请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200 m2的花圃，所用的篱笆至少是多少米？
26．阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a＞0，
b＞0时，有(－)2＝a－2＋b≥0，∴a＋b≥2，当且仅当a＝b时取
等号．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当x＞0时，x＋的最小值为________；当x＜0时，x＋的最大值为________；
(2)当x＞0时，求y＝的最小值；
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB，△COD的面积分别为9和16，求四边形ABCD的最小面积．
答案
一、1．C 2．C 3．D 4．A 5．A
6．B 【点拨】m＝5 －＝－＝－3 ＝－2 .
∵2 ＝，<<，
∴－5<－2 <－4，即－5<m<－4.
7．D 【点拨】∵三个小正方形的面积分别为18，12，2，
∴三个小正方形的边长分别为＝3，＝2，.
由题图知，大正方形的边长为3＋2－＝2＋2.
∴S空白＝(2＋2)2－(18＋12－2)＝8－8.
8．B 【点拨】∵点A(4，1)，点P(0，1)，
∴PA⊥y轴，PA＝4.
由旋转得∠APB＝60°，AP＝PB＝4.
如图，过点B作BC⊥y轴于C，
易得∠BPC＝30°.∴BC＝2，∴PC＝2，
∴B(2，1＋2)．
设直线PB的表达式为y＝kx＋b，将P(0，1)，B(2，1＋2)的坐标代入得，
∴
∴直线PB的表达式为y＝x＋1.
当x＝－1时，y＝－＋1，
∴M1(－1，－)不在直线PB上；
当x＝－时，y＝－1＋1＝0，
∴M2(－，0)在直线PB上；
当x＝1时，y＝＋1，
∴M3(1，－1)不在直线PB上；
当x＝2时，y＝2＋1，
∴M4(2，2)不在直线PB上，故选B.
二、9．2 10． 11．1 12．(答案不唯一)
13．＜ 14．2 15．2
16．24 【点拨】∵a＝3＋2，b＝3－2，
∴a＋b＝6，a－b＝4.
∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝6×4＝24.
17．2 037 【点拨】由题意知y＝－x＋5＝|x－4|－x＋5.
①当x＜4时，y＝4－x－x＋5＝9－2x，
当x＝1，2，3时，所对应的y值的和为9－2×1＋9－2×2＋9－2×3＝15.
②当4≤x≤2 025时，y＝x－4－x＋5＝1，所对应的y值的和为2 022.
故当x分别取1，2，3，…，2 025时，所对应的y值的总和为2 022＋15＝2 037.
18．(1)25
(2) 【点拨】由题意得a2＋b2＝3，题图②中四边形ABCD是直角梯形．
∵AB＝m，CD＝n，直角梯形ABCD的高为m＋n，
∴(m＋n)(m＋n)＝5.∴(m＋n)2＝10.
∵am－bn＝2，an＋bm＝4，
∴将两式分别平方并整理得，a2m2－2abmn＋b2n2＝4①，a2n2＋2abmn＋
b2m2＝16②.
①＋②整理得(a2＋b2)(m2＋n2)＝20.
∵a2＋b2＝3，∴m2＋n2＝.
∵(m＋n)2＝10.
∴(m＋n)2－(m2＋n2)＝10－.
整理得2mn＝，即mn＝.
∵题图②中阴影部分的三角形的其中两边分别是两正方形的对角线，
∴这两边构成的角为45°＋45°＝90°.
则阴影部分的三角形为直角三角形，其两直角边的长分别为＝m，＝n，
故阴影部分的面积为×m×n＝mn＝.
三、19．【解】(1)原式＝2 023＋1－6＋4＝2 022.
(2)原式＝2 ＋4×－×3 ＋3×＝2 ＋2 －2 ＋＝3 .
(3)原式＝÷＋5 ＝÷＋5 ＝×
＋5 ＝×＋5 ＝3 ·－2·＋5 ＝6 －6 ＋5 ＝6 －.
(4)原式＝÷3 ＝÷3 ＝.
20．【解】－(－4)＝3×－×3 － ＋4×＝－2 － ＋2 ＝－.
21．【解】原式＝＝.
∵2＜＜2.5，m是的小数部分，∴m＝－2.
∴＝＝＋2，∴＞m.
∴原式＝－＝－m＋＝－(－2)＋＋2＝4.
22．【解】(1)原式＝a2＋2a＋1＋a－a2
＝(a2－a2)＋(2a＋a)＋1
＝3a＋1.
当a＝时，3a＋1＝3×＋1＝＋1.
(2)∵x满足＝，∴9－x≥0，x－6＞0，
∴6＜x≤9.
∵x为偶数，∴x＝8，
∴(1＋x)＝＝，
∴当x＝8时，原式＝＝6.
23．【解】(1)(－3)■＝(－3)2×－(－3)×＋＝9＋3＋＝13.
(2)∵2■m<－6，∴4m－2m＋m<－6.
∴m<－2.
∴＋＝－(m＋2)－m＝－2m－2.
24．【解】(1)∵a＝＝＝2－，b＝＝＝2＋，
∴a－b＝2－－2－＝－2，ab＝(2＋)(2－)＝4－3＝1，
∴a2b－ab2＝ab(a－b)＝－2×1＝－2.
(2)由(1)得a－b＝－2，ab＝1，
∴a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝(－2)2＋2＝12＋2＝14.
25．【解】(1)＞；＞；＝
(2)m＋n≥2(m≥0，n≥0)．理由如下：
当m≥0，n≥0时，
∵(－)2≥0，
∴()2－2·＋()2≥0.
∴m－2＋n≥0.
∴m＋n≥2(m≥0，n≥0)．
(3)设平行于墙体的边长为a m，垂直于墙体的边长为b m，则a＞0，b＞0，
ab＝200.
根据(2)中的结论可得a＋2b≥2＝2＝2＝40.
∴所用的篱笆至少是40 m.
26．(1)2；－2 【点拨】∵当x＞0时，x＋≥2＝2，即x＋≥2，∴x＋的最小值为2.
∵当x＜0时，－x＞0，
∴－x＋≥2＝2，即－x－≥2.
∴－≥2.∴x＋≤－2.
∴x＋的最大值为－2.
(2)【解】y＝＝x＋＋3.
∵x＞0，∴x＋＋3≥2＋3＝11.
∴当x＞0时，y＝的最小值为11.
(3)【解】设S△BOC＝x，已知S△AOB＝9，S△COD＝16，则由等高三角形的性质可知，＝＝，
∴＝.∴S△AOD＝.
∴四边形ABCD的面积＝16＋9＋x＋≥25＋2＝49，当且仅当x＝12时取等号，即四边形ABCD的最小面积为49.