第11讲三角形的中位线与反证法（核心考点讲与练）

一．三角形中位线定理

（1）三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

（2）几何语言：

如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点

∴DE∥BC，DE＝ BC．

二．反证法

（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．

（2）反证法的一般步骤是：

①假设命题的结论不成立；

②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．

一．三角形中位线定理（共8小题）

1．（乾县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，D、E分别是AC、AB的中点，则DE的长是（　　）

A．6.5 B．6 C．5.5 D．

【分析】根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定理求出DE．

【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，

则BC＝ ＝ ＝12，

∵D、E分别是AC、AB的中点，

∴DE＝ BC＝6，

故选：B．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

2．（武安市期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2 ，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（　　）

A．3 B．2 C．4 D．2

【分析】连接DN、DB，根据勾股定理求出BD，根据三角形中位线定理得到EF＝ DN，结合图形解答即可．

【解答】解：连接DN、DB，

在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2 ，AD＝2，

∴BD＝ ＝4，

∵点E，F分别为DM，MN的中点，

∴EF＝ DN，

由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为4，

∴EF长度的最大值为2，

故选：D．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．

3．（温州期末）如图，为测量BC两地的距离，小明在池塘外取点A，得到线段AB，AC，并取AB，AC的中点D，E，连结DE．测得DE的长为6米，则B，C两地相距（　　）

A．9米 B．10米 C．11米 D．12米

【分析】根据三角形中位线定理即可求出BC．

【解答】解：∵点D，E分别为AB，AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE＝ BC，

∴BC＝2DE＝2×6＝12（米），

故选：D．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

4．（丽水期末）如图①是公园跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，点C为横板AB的中点．小明和小聪去玩跷跷板，小明最高能将小聪翘到1米高（如图②）．

（1）求立柱OC的高度；

（2）小明想要把小聪最高翘到1.25米高，请你帮他找出一种方法，并解答．

【分析】（1）根据三角形中位线定理求出OC；

（2）根据AD的长度求出OC的长度，得到答案．

【解答】解：（1）由题意得：OC∥AD，

∵点C为AB的中点，

∴OC为△ABD的中位线，

∴OC＝ AD，

∵AD＝1米，

∴OC＝ 米；

（2）要把小聪最高翘到1.25米高，立柱OC的高度要升高为0.625米．

当AD＝1.25米时，OC＝0.625米，

所以要把小聪最高翘到1.25米高，立柱OC的高度要升高为0.625米．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

5．（北仑区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是边CD和AB的中点，若∠PEF＝30°，则下列说法错误的是（　　）

A．PE＝PF B．∠EPF＝120° C．AD+BC＞2EF D．AB+DC＞2DB

【分析】根据三角形中位线定理及AD＝BC推出PF＝PE，可判断A；根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可判断B；根据三角形三边关系可判断C．

【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，

∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，

∴PF＝ BC，PE＝ AD，

∵AD＝BC，

∴PF＝PE，故选项A不合题意；

故△EPF是等腰三角形．

∵∠PEF＝30°，

∴∠PEF＝∠PFE＝30°，

∴∠EPF＝180°﹣∠PEF﹣∠PFE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故选项B不符合题意；

∵PF＝ BC，PE＝ AD，PE+PF＞EF，

∴ BC+ AD＞EF，

∴AD+BC＞2EF，故选项C不符合题意；

无法证明AB+CD＞DB，故选项D符合题意；

故选：D．

【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形三边关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形中位线定理推出PE＝PF是解决问题的关键．

6．（鄞州区期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，点M是对角线AC的中点，点N是AD边的中点，连结BM，MN，若BM＝3MN，则线段CD的长是（　　）

A． B．3 C． D．5

【分析】首先由勾股定理求得AC的长度，结合直角三角形斜边上中线的性质得到BM＝ AC，三角形中位线定理得到CD＝2MN．

【解答】解：如图，在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，则由勾股定理知，AC＝ ＝ ＝10．

∵点N是AD边的中点，

∴BM＝ AC＝5．

∵BM＝3MN，

∴MN＝ BM＝ ．

∵点M是对角线AC的中点，点N是AD边的中点，

∴MN是△ACD的中位线．

∵CD＝2MN＝2× ＝ ．

故选：C．

【点评】本题主要考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

7．（梓潼县模拟）如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（　　）

A．12 B．11 C．10 D．9

【分析】延长BN交AC于D，证明△ANB≌△AND，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可．

【解答】解：如图，延长BN交AC于D，

在△ANB和△AND中，

，

∴△ANB≌△AND（ASA），

∴AD＝AB＝8，BN＝ND，

又∵M是△ABC的边BC的中点，

∴MN是△BCD的中位线，

∴DC＝2MN＝4，

∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，

故选：A．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

8．（内江期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（　　）

A．50° B．40° C．30° D．20°

【分析】根据三角形中位线定理得到PE＝ AD，PF＝ BC，在PE＝PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．

【解答】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，

∴PE是△ABD的中位线，

∴PE＝ AD，

同理，PF＝ BC，

∵AD＝BC，

∴PE＝PF，

∴∠EFP＝ ×（180°﹣∠EPF）＝ ×（180°﹣140°）＝20°，

故选：D．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

二．反证法（共6小题）

9．（平阳县期中）用反证法证明三角形至少有一个角不大于60°，应假设（　　）

A．三个角都小于60°

B．三个角都大于60°

C．三个角都大于或等于60°

D．有两个角大于60°

【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．

【解答】解：反证法证明三角形至少有一个角不大于60°，

应假设三个角都大于60°，

故选：B．

【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

10．（乐清市期末）用反证法证明命题“如果a∥b，c∥b，那么a∥c”时，应假设（　　）

A．a⊥c B．c不平行b C．a不平行b D．a不平行c

【分析】反证法证明命题的第一步是假设结论不成立，即结论的反面成立．

【解答】解：用反证法证明命题“如果a∥b，b∥c，那么a∥c”时，应假设a不平行于c．

故选：D．

【点评】本题考查了反证法的知识，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

11．（南浔区期末）用反证法证明某个命题的结论“a＞0”时，第一步应假设（　　）

A．a＜0 B．a≠0 C．a≥0 D．a≤0

【分析】用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．

【解答】解：用反证法证明某个命题的结论“a＞0”时，第一步应假设a≤0，

故选：D．

【点评】考查了反证法，反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立．”

12．（庆元县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）

【分析】运用反证法进行求解：

（1）假设结论PB＜PC不成立，即PB≥PC成立．

（2）从假设出发推出与已知相矛盾．

（3）得到假设不成立，则结论成立．

【解答】证明：假设PB≥PC．

把△ABP绕点A逆时针旋转，使B与C重合，

∵PB≥PC，PB＝CD，

∴CD≥PC，

∴∠CPD≥∠CDP，

又∵AP＝AD，

∴∠APD＝∠ADP，

∴∠APD+∠CPD≥∠ADP+∠CDP，即∠APC≥∠ADC，

又∵∠APB＝∠ADC，

∴∠APC≥∠APB，与∠APB＞∠APC矛盾，

∴PB≥PC不成立，

综上所述，得：PB＜PC．

【点评】此题主要考查了反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．

13．（萧山区期末）证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．

【分析】利用反证法的步骤，首先假设原命题错误，进而得出与三角形内角和定理矛盾，从而证明原命题正确．

【解答】证明：假设△ABC中每个内角都小于60°，

则∠A+∠B+∠C＜180°，

这与三角形内角和定理矛盾，

故假设错误，即原结论成立，在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．

【点评】此题主要考查了反证法，正确把握反证法的证明步骤是解题关键．

14．（滨江区期中）用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”．

已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．

证明：假设求证的结论不成立，那么　三角形中所有角都大于60°　

∴∠A+∠B+∠C＞　180°　

这与三角形　的三内角和为180°　相矛盾．

∴假设不成立

∴　三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度　．

【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．

【解答】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°，

∴∠A+∠B+∠C＞180°，

这与三角形的三内角和为180°相矛盾．

∴假设不成立，

∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．

故答案为：三角形中所有角都大于60°；180°；的三内角和为180°；三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．

【点评】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：

（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．

在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

题组A 基础过关练

一．选择题（共11小题）

1．（太谷区校级开学）如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于（　　）

A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7

【分析】连接DE，连接并延长EP交BC于点F，利用DE是△ABC中位线，求出FC＝ BC，再用PQ是△EFC中位线，PQ＝ CF，即可求得答案．

【解答】解：连接DE，连接并延长EP交BC于点F，

∵DE是△ABC中位线，

∴DE∥BC，

∴DE＝ BC，AE＝BE，AD＝CD，

∴∠EDB＝∠DBF，

∵P、Q是BD、CE的中点，

∴DP＝BP，

∵在△DEP与△BFP中，

，

∴△DEP≌△BFP（ASA），

∴BF＝DE＝ BC，P是EF中点，

∴FC＝ BC，

PQ是△EFC中位线，

PQ＝ FC，

∴PQ：BC＝1：4．

故选：A．

【点评】此题考查学生对三角形中位线定理的理解与掌握，连接DE，连接并延长EP交BC于点F，求出△DEP≌△BFP，FC＝ BC，是解答此题的关键．

2．（上城区校级期末）用反证法证明“a＞b”时应假设（　　）

A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≤b

【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立即可．

【解答】解：用反证法证明“a＞b”时第一步应假设：a≤b．

故选：D．

【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

3．（宁波模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3，则BF的长为（　　）

A．4 B．2 C．3 D．4

【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出AB，再在RT△ABF中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，求出AF即可解决问题．

【解答】解：在RT△ABF中，∵∠AFB＝90°，AD＝DB，DF＝3，

∴AB＝2DF＝6，

∵AD＝DB，AE＝EC，

∴DE∥BC，

∴∠ADE＝∠ABF＝30°，

∴AF＝ AB＝3，

∴BF＝ ＝ ＝3 ．

故选：C．

【点评】本题考查三角形中位线性质、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．

4．（上城区期末）用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设（　　）

A．∠B≥90° B．∠B＞90° C．∠B＜90° D．AB≠AC

【分析】直接利用反证法的第一步分析得出答案．

【解答】解：用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设∠B≥90°．

故选：A．

【点评】此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．

5．（永嘉县期末）用反证法证明“同一平面内的三条直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”．时，第一步应先假设（　　）

A．a不平行于b B．c不平行于b C．a不垂直于c D．b不垂直于c

【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立进而解答即可．

【解答】解：原命题“同一平面内的三条直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，

用反证法时应假设结论不成立，

即假设a与b不平行（或a与b相交）．

故选：A．

【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．

6．（南岗区校级模拟）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AE＝BE，BF＝CF，连接EF，AD＝3，CD＝1，则EF的长为（　　）

A． B． C． D．

【分析】连接AC，根据勾股定理得到AC＝ ＝ ，由三角形的中位线的性质定理即可得到结论．

【解答】解：连接AC，

∵∠ADC＝90°，AD＝3，CD＝1，

∴AC＝ ＝ ，

∵AE＝BE，BF＝CF，

∴EF＝ AC＝ ，

故选：B．

【点评】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

7．（婺城区校级期末）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为（　　）

A．2.5 B．1.5 C．4 D．5

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF＝ AB＝2.5，再利用三角形中位线定理可得DE＝4，进而可得答案．

【解答】解：∵D为AB中点，∠AFB＝90°，AB＝5，

∴DF＝ AB＝2.5，

∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，

∴DE＝4，

∴EF＝4﹣2.5＝1.5，

故选：B．

【点评】此题主要考查了直角三角形的性质和三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

8．（鄞州区期中）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（　　）

A．1 B． C． D．

【分析】证明△AGF≌△ACF，根据全等三角形的性质得到AG＝AC＝3，GF＝FC，求出GB，根据三角形中位线定理计算即可．

【解答】解：∵AD是∠BAC平分线，

∴∠BAD＝∠CAD，

在△AGF和△ACF中，

，

∴△AGF≌△ACF（ASA）

∴AG＝AC＝3，GF＝FC，

∴GB＝AB﹣AG＝1，

∵CF＝FG，CE＝EB，

∴EF是△CGB的中位线，

∴EF＝ GB＝ ，

故选：C．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

9．（温州期末）用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”时，应假设（　　）

A．a＜b B．a≤b C．a＝b D．a≥b

【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可．

【解答】解：用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b”，第一步应假设a≤b，

故选：B．

【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

10．（杭州期末）用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可先假设（　　）

A．四边形的四个角都是直角

B．四边形的四个角都是锐角

C．四边形的四个角都是钝角

D．四边形的四个角都是钝角或直角

【分析】根据四边形中至少有一个角是钝角或直角的反面是四边形的四个角都是锐角解答即可．

【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，

可先假设四边形的四个角都是锐角，

故选：B．

【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．

11．（成都月考）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（　　）

A．两锐角都大于45° B．有一个锐角小于45°

C．有一个锐角大于45° D．两锐角都小于45°

【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．

【解答】解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中两锐角都大于45°，

故选：A．

【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．

二．填空题（共6小题）

12．（永嘉县校级期末）用反证法证明命题“如果a＞b，那么 ”时，假设的内容是　 ＜ 或 ＝ 　．

【分析】用反证法证明数学命题“如果a＞b，那么 ＞ ”时，应假设它的否定“ ＜ 或 ＝ ”．

【解答】解：由于命题“ ＞ ”的否定为“ 或 ”，故用反证法证明命题“如果a＞b，那么 ＞ ”时，

应假设 ＜ 或 ＝ ，

故答案为： ＜ 或 ＝ ．

【点评】本题考查用反证法证明数学命题，求一个命题的否定的方法，得到命题“ ＞ ”的否定为“ ＜ 或 ＝ ”，是解题

的关键．

13．（饶平县校级期末）如图，△ABC中，三条中位线围成的△DEF的周长是15cm，则△ABC的周长是　30　cm．

【分析】根据三角形的周长公式、三角形中位线定理解答即可．

【解答】解：∵△DEF的周长是15，

∴DE+DF+EF＝15，

∵DE、DF、EF分别是△ABC的中位线，

∴BC＝2DE，AC＝2DF，AB＝2EF，

∴△ABC的周长＝BC+AC+AB＝2（DE+DF+EF）＝30（cm），

故答案为：30．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

14．（红寺堡区期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF＝　3　厘米．

【分析】根据平行四边形的性质可知OA＝ AC，OB＝ BD，结合AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，求出AB的长，利用三角形中位线定理求出EF的长．

【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴点O是AC、BD的中点，

∵AC+BD＝24厘米，

∴OB+0A＝12厘米，

∵△OAB的周长是18厘米，

∴AB＝18﹣12＝6厘米，

∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，

∴AB＝2EF，

∴EF＝6÷2＝3厘米，

故答案为：3．

【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质的知识，解答本题的关键是求出AB的长，此题难度不大．

15．（衢州期末）如图，为测得B，C两地的距离，小明在池塘外取点A，得到线段AB，AC，并取AB，AC的中点D，E，连结DE，测得DE＝15米，则BC＝　30　米．

【分析】根据三角形中位线定理计算即可．

【解答】解：∵点D，E分别为AB，AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴BC＝2DE＝30（米），

故答案为：30．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

16．（灞桥区校级月考）用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步　这个三角形是等腰三角形　．

【分析】假设命题的结论不成立，推出矛盾即可．

【解答】解：用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步是假设这个三角形是等腰三角形．

故答案为这个三角形是等腰三角形．

【点评】本题考查反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．

17．（罗湖区校级模拟）如图，△ABC，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为M，若BC＝16，MN＝3，则△ABC的周长为　38　．

【分析】利用ASA定理证明△BNA≌△BNE，根据全等三角形的性质得到BE＝BA，AN＝NE，同理得到CD＝CA，AM＝MD，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．

【解答】解：在△BNA和△BNE中，

，

∴△BNA≌△BNE（ASA），

∴BE＝BA，AN＝NE，

同理，CD＝CA，AM＝MD，

∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝3，

∴DE＝2MN＝6，

∵BE+CD﹣BC＝DE，

∴AB+AC＝BC+DE＝22，

∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝22+16＝38，

故答案为：38．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

三．解答题（共5小题）

18．（杭州期中）在△ABC中，AB＝ ，AC＝ ，BC＝1．求证：∠A≠30°．

【分析】首先假设结论不成立，即∠A＝30°，利用勾股定理逆定理得出∠C＝90°，进而得出矛盾，从而得出结论成立，即∠A≠30°．

【解答】证明：假设结论不成立，即∠A＝30°，

∵ ，

∴△ABC是Rt△，且∠C＝90°，

∵∠A＝30°，

∴ ，

这与BC＝1矛盾，

∴假设不成立，

∴结论成立，即∠A≠30°．

【点评】此题主要考查了反证法的证明，利用反证法的一般步骤是：

①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．

19．（杭州校级期中）用反证法证明：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行．

已知：如图，直线l₁，l₂被l₃所截，∠1+∠2≠180°．

求证：l₁与l₂不平行．

证明：假设l₁　∥　l₂，

则∠1+∠2　＝　180°（两直线平行，同旁内角互补）

这与　∠1+∠2≠180°　矛盾，故　假设　不成立．

所以　l₁与l₂不平行　．

【分析】用反证法证明问题，先假设结论不成立，即l₁∥l₂，根据平行线的性质，可得∠1+∠2＝180°，与已知相矛盾，从而证得l₁与l₂不平行．

【解答】证明：假设l₁∥l₂，

则∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），

这与∠1+∠2≠180°矛盾，故假设_不成立．

所以结论成立，l₁与l₂不平行．

【点评】反证法证明问题，是常见的证明方法，关键是找出与已知相矛盾的条件．

20．（拱墅区期末）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是1上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：

①线段MN的长；

②△PAB的周长；

③△PMN的面积；

④直线MN，AB之间的距离；

⑤∠APB的大小．

其中不会随点P的移动而变化的是　①③④　

【分析】根据三角形中位线定理判断①；根据P是1上一动点判断②；根据相似三角形的性质判断③；根据三角形中位线定理判断④，结合图形判断⑤．

【解答】解：①∵点M，N分别为PA，PB的中点，

∴MN＝ AB，即线段MN的长不会随点P的移动而变化；

②PA、PB随点P的移动而变化，

∴△PAB的周长随点P的移动而变化；

③∵l∥AB，点A，B为定点，

∴△PMN的面积为定值，

∵点M，N分别为PA，PB的中点，

∴MN＝ AB，MN∥AB，

∴△PMN∽△PAB，

∴△PMN的面积＝ ×△PMN的面积，

则△PMN的面积不会随点P的移动而变化；

④∵MN∥AB，

∴直线MN，AB之间的距离不会随点P的移动而变化；

⑤∠APB的大小随点P的移动而变化；

故答案为：①③④．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

21．（江山市校级月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝DC，E、F分别为AD与BC的中点，连接EF与BA的延长线相交于N，与CD的延长线相交于M．

求证：∠BNF＝∠CMF．

【分析】连接AC，取AC的中点K，连接EK，FK，则EK、FK分别是△ACD和△ABC的中位线，根据平行线的性质定理即可证明．

【解答】证明：连接AC，取AC的中点K，连接EK，FK

∵AE＝ED，AK＝KC

∴EK∥DC， ．

同理FK∥AB，

∴ ．

∴∠FEK＝∠EFK

∵EK∥DC

∴∠CMF＝∠FEK

∵FK∥AB

∴∠BNF＝∠EFK

∴∠BNF＝∠CMF

【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确作出辅助线是关键．

22．（仙居县期末）证明三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半．

（要求：画出图形，写出已知、求证和证明过程）

【分析】根据题意画出图形，写出已知、求证，延长DE到F，使EF＝DE，连接FC、DC、AF，证明四边形ADCF是平行四边形，进而得到四边形BDFC是平行四边形，根据平行四边形的在、性质定理证明即可．

【解答】解：已知：如图，点D、E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE，

求证：DE∥BC，DE＝ BC，

证明：延长DE到F，使EF＝DE，连接FC、DC、AF，

∵AE＝EC，DE＝EF，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∴CF∥AD，CF＝AD，

∴CF∥BD，CF＝BD，

∴四边形BDFC是平行四边形，

∴DF∥BC，DF＝BC，

∵DE＝ DF，

∴DE∥BC，DE＝ BC．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，正确作出辅助性是解题的关键．

题组B 能力提升练

一．选择题（共6小题）

1．（宁波一模）如图，D，E分别是AB，AC上的中点，F是DE上的一点，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】利用三角形中位线定理得到DE＝ BC．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF＝ AB．所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．

【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，

∴DE＝ BC＝4．

∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝6，

∴DF＝ AB＝3，

∴EF＝DE﹣DF＝4﹣3＝1．

故选：A．

【点评】本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中．

2．（奉化区校级模拟）如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝6．M是BD的中点，则CM的长为（　　）

A． B．2 C． D．3

【分析】延长BC到E使BE＝AD，则四边形ACED是平行四边形，根据三角形的中位线的性质得到CM＝ DE＝ AB，根据跟勾股定理得到AB＝ ＝ ＝5，于是得到结论．

【解答】解：延长BC到E使BE＝AD，则四边形ABED是平行四边形，∵BC＝3，AD＝6，

∴C是BE的中点，

∵M是BD的中点，

∴CM＝ DE＝ AB，

∵AC⊥BC，

∴AB＝ ＝ ＝5，

∴CM＝ ，

解法二：延长CM交AD于T．

∵AD∥BC，

∴∠MBC＝∠MDT，

∵MD＝MB，∠BMC＝∠DMT，

∴△BMC≌△DMT（ASA），

∴CM＝MT，DT＝BC＝3，

∵AD＝6，

∴AT＝3，

∵AC＝4，∠CAT＝90°，

∴CT＝ ＝ ＝5，

∴CM＝MT＝ CT＝ ．

故选：C．

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

3．（孟村县期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝84°，则∠FEG等于（　　）

A．32° B．38° C．64° D．30°

【分析】根据三角形中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可．

【解答】解：∵AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，

∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，

∴GF＝ AD，GF∥AD，GE＝ BC，GE∥BC．

又∵AD＝BC，

∴GF＝GE，∠FGC＝∠DAC＝20°，∠AGE＝∠ACB＝84°，

∴∠EFG＝∠FEG，

∵∠FGE＝∠FGC+∠EGC＝20°+（180°﹣84°）＝116°，

∴∠EFG＝ （180°﹣∠FGE）＝32°．

故选：A．

【点评】主要考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质．中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．

4．（商河县校级期末）对于命题“在同一平面内，若a∥b，a∥c，则b∥c”，用反证法证明，应假设（　　）

A．a⊥c B．b⊥c C．a与c相交 D．b与c相交

【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．

【解答】解：c与b的位置关系有c∥b和c与b相交两种，因此用反证法证明“c∥b”时，应先假设c与b相交．

故选：D．

【点评】本题结合直线的位置关系考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

5．（镇海区校级开学）用反证法证明：“若a＞b＞0，则a²＞b²”，应先假设（　　）

A．a＜b B．a≤b C．a²＜b² D．a²≤b²

【分析】根据反证法的一般步骤：先假设结论不成立进行解答．

【解答】解：用反证法证明“若a＞b＞0，则a²＞b²”的第一步是假设a²≤b²，

故选：D．

【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．

6．（宁波模拟）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应首先假设这个四边形中（　　）

A．没有一个角是锐角

B．每一个角都是钝角或直角

C．至少有一个角是钝角或直角

D．所有角都是锐角

E．所有角都是直角

【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．

【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中所有角都是锐角．

故选：D．

【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

二．填空题（共4小题）

7．（西湖区校级月考）如图，在△ABC中，BC＝16，D，E分别是AB，AC的中点，F是DE延长线上一点，连结AF，CF，若DF＝14，∠AFC＝90°，则AC＝　12　．

【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到EF的长，根据直角三角形的性质计算，得到答案．

【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE＝ BC＝8，

∴EF＝DF﹣DE＝6，

在Rt△AFC中，AE＝EC，

∴AC＝2EF＝12，

故答案为：12．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理的应用、直角三角形的性质的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

8．（舞钢市期中）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，若用反证法证这个结论，应首先假设　∠B≥90°　．

【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．

【解答】解：用反证法证明：第一步是：假设∠B≥90°．

故答案是：∠B≥90°．

【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

9．（上城区期末）要用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，首先应假设　两个锐角都大于45°　．

【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．

【解答】解：“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时应第一步先假设所求证的结论不成立，即为：两个锐角都大于45°．

故答案是：两个锐角都大于45°．

【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

10．（青田县月考）如图，顺次连接△ABC三边的中点D，E，F得到的三角形面积为S₁，顺次连接△CEF三边的中点M，G，H得到的三角形面积为S₂，顺次连接△CGH三边的中点得到的三角形面积为S₃．设△ABC的面积为S，则S₁+S₂+S₃＝　 S　．

【分析】先根据题意得出△ADF∽△ABC，△BDE∽△BAC，△CEF∽△CBA，由相似三角形的性质求出△ADF，△BDE，△CEF的面积，进而可得出S1的值，同理可得出S₂，S₃的值，进而可得出结论．

【解答】解：∵D，E，F是△ABC三边的中点，

∴DF∥BC，DE∥AC，EF∥AB，

∴△ADF∽△ABC，△BDE∽△BAC，△CEF∽△CBA且相似比为 ，

∴ ＝ ＝ ＝ ，

∵△ABC的面积为S，

∴S_△ADF＝S_△BDE＝S_△CEF＝ S，

∴S₁＝S﹣S_△ADF﹣S_△BDE﹣S_△CEF＝S﹣ S﹣ S﹣ S＝ S．

同理可得，S₂＝ S_△CEF＝ × S＝ S，S₃＝ S_△CGH＝ × × S＝ S，

∴S₁+S₂+S₃＝ S+ S+ S＝ S．

故答案为： S．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理及相似三角形的性质，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．

三．解答题（共8小题）

11．（岐山县期末）△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG．

【分析】连接DE，FG，由BD与CE为中位线，利用中位线定理得到ED与BC平行，FG与BC平行，且都等于BC的一半，等量代换得到ED与FG平行且相等，进而得到四边形EFGD为平行四边形，利用平行四边形的性质即可得证．

【解答】证明：连接DE，FG，

∵BD，CE是△ABC的中线，

∴D，E是AB，AC的中点，

∴DE∥BC，DE＝ BC，

同理：FG∥BC，FG＝ BC，

∴DE∥FG，DE＝FG，

∴四边形DEFG是平行四边形，

∴EF∥DG，EF＝DG．

【点评】此题考查了三角形中位线定理，以及平行线的判定，熟练掌握中位线定理是解本题的关键．

12．（建邺区期末）如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，P，Q分别是BG，CG的中点．

（1）求证：四边形EFPQ是平行四边形；

（2）请直接写出BG与GE的数量关系：　BG＝2GE　．（不要求证明）

【分析】（1）根据BE，CF是△ABC的中线可得EF是△ABC的中位线，P，Q分别是BG，CG的中点可得PQ是△BCG的中位线，根据三角形中位线定理可得EF∥BC且EF＝ BC，PQ∥BC且PQ＝ BC，进而可得EF∥PQ且EF＝PQ．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；

（2）根据平行四边形的性质可得GE＝GP，再根据P是BG的中点可得BG＝2PG，利用等量代换可得答案．

【解答】（1）证明：∵BE，CF是△ABC的中线，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF∥BC且EF＝ BC．

∵P，Q分别是BG，CG的中点，

∴PQ是△BCG的中位线，

∴PQ∥BC且PQ＝ BC，

∴EF∥PQ且EF＝PQ．

∴四边形EFPQ是平行四边形．

（2）解：BG＝2GE．

∵四边形EFPQ是平行四边形，

∴GP＝GE，

∵P是BG中点，

∴BG＝2PG，

∴BG＝2GE．

故答案为：BG＝2GE．

【点评】此题主要考查了三角形中位线定理，以及平行四边形的判定与性质，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

13．（江东区期末）（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．先假设所求证的结论不成立，即　三角形内角中全都小于60°　；

（2）写出命题“一次函数y＝kx+b，若k＞0，b＞0，则它的图象不经过第二象限．”的逆命题，并判断逆命题的真假．若为真命题，请给予证明；若是假命题，请举反例说明．

【分析】（1）直接利用反证法的第一步分析得出答案；

（2）利用命题与定理，首先写出假命题进而得出答案；

【解答】解：（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．

先假设所求证的结论不成立，即三角形内角中全都小于60°；

故答案为：三角形内角中全都小于60°；

（2）逆命题：“一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则k＞0，b＞0，”

逆命题为假命题，反例：当b＝0时，一次函数图象也不过第二象限（不唯一）．

【点评】此题主要考查了反证法以及命题与定理，正确写出逆命题是解题关键．

14．（浙江校级自主招生）在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中，即使有五对元素分别相等，这两个三角形也未必全等．

（1）试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长．

（2）为了把所有这样的反例都构造出来，试探求并给出构造反例的一般规律（要求过程完整，述理严密，结论明晰）．

【分析】（1）本题可以举出一个实例，让它满足题目的已知条件而结论不满足．相等的几个元素对应的位置不同，则两个三角形就不全等．

（2）要构造的两个三角形必不是等腰三角形，同时它们应是相似的，只要先选取一个正数a作为△ABC最小边的长，再写出另一个△A′B′C′的三边长ka、k²a、k³a；然后根据三角形三边关系定理确定k的取值范围．

【解答】解：（1）如下图，△ABC与△A′B′C′是相似的（相似比为 ），但它们并不全等，显然它们之中有五对元素是对应相等的．（5分）（答案不唯一）

（2）容易知道，要构造的两个三角形必不是等腰三角形，同时它们应是相似的．（2分）

设小△ABC的三边长分别为a、b、c，且不妨设a＜b＜c，由小△ABC到大△A′B′C′的相似比为k，则k＞1．

∵△A′B′C′的三边长分别为ka、kb、kc，且a＜ka＜kb＜kc

∴在△ABC中，与△A′B′C′中两边对应相等的两条边只可能是b与c

∵b＜c＜kc

∴在△A′B′C′中，与b、c对应相等的两条边只可能是ka、kb

∴ ．

∴由a到b、由b到c应具有相同的放大系数（a、b、c成公比为k的等比数列），这个系数恰为△ABC与△A′B′C′的相似比k．

下面考虑相似比k所受到的限制：

∵△ABC的三边长分别为a、ka、k²a，且a＞0，k＞1

∴a+ka＞k²a

解之得1＜k＜ （注： ≈1.618）（4分）

因此构造反例时，只要先选取一个正数a作为△ABC最小边的长，再设定一个1～1.168之间的放大系数k，从而写出另外两条边的长ka、k²a．然后在△ABC的基础上，以前面的放大系数k为相似比，再写出另一个△A′B′C′的三边长ka、k²a、k³a．通过这种方法，可以构造出大量符合题意的反例．（1分）

【点评】本题主要考查了构造反例的方法．是较难把握的问题．

15．（兴化市一模）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，分别过点B、C作射线AD的垂线，垂足分别为E、F，连接BF、CE．

（1）求证：四边形BECF是平行四边形；

（2）若AF＝FD，在不添加辅助线的条件下，直接写出与△ABD面积相等的所有三角形．

【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出ED＝FD，进而利用平行四边形的判定证明即可；

（2）利用三角形的面积解答即可．

【解答】（1）证明：在△ABF与△DEC中

∵D是BC中点，

∴BD＝CD

∵BE⊥AE，CF⊥AE

∴∠BED＝∠CFD＝90°，

在△ABF与△DEC中

，

∴△BED≌△CFD（AAS）

∴ED＝FD，

∵BD＝CD

∴四边形BECF是平行四边形；

（2）与△ABD面积相等的三角形有△ACD、△CEF、△BEF、△BEC、△BFC．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质得出ED＝FD．

16．（道里区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE＝CF，连接AF，BF，DE，CE，分别交于H、G．

（1）求证：EF与GH互相平分；

（2）在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的全等的三角形．

【分析】（1）首先证明四边形BFDE是平行四边形，由平行四边形的性质得出AF∥CE，再证明四边形BFDE是平行四边形，得出BF∥DE，证出四边形EGFH是平行四边形，即可得出结论．

（2）结合题目的条件以及全等三角形的判断方法直接写出图中所有的全等的三角形即可．

【解答】解：

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∵AE＝CF，

∴四边形AECF是平行四边形．

∴AF∥CE，

∵AE＝CF，AB∥CD，AB＝CD，

∴BE∥DF，BE＝DF，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∴BF∥DE，

∴四边形EGFH是平行四边形，

∴EF与GH互相平分；

（2）图中所有的全等的三角形有：△ADE≌△CFB；△AHD≌△BGC；△ABF≌△CDE；△AEH≌△CFG；△EHG≌△FGE．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟记一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．

17．（吉林期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．

（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；

（2）若BF⊥CD，AD＝10cm，AF＝30cm．

①求BD的长；

②直接写出四边形ABCF的周长．

【分析】（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE＝∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；

（2）①根据对角线互相垂直的四边形是菱形可得四边形BDFC是菱形，可求BD的长；

②再根据勾股定理可求AB的长，根据周长的定义可求四边形ABCF的周长．

【解答】（1）证明：∵∠A＝∠ABC＝90°，

∴BC∥AD，

∴∠CBE＝∠DFE，

在△BEC与△FED中，

，

∴△BEC≌△FED，

∴BE＝FE，

又∵E是边CD的中点，

∴CE＝DE，

∴四边形BDFC是平行四边形；

（2）①∵BF⊥CD，四边形BDFC是平行四边形，

∴四边形BDFC是菱形，

∵AD＝10cm，AF＝30cm，

∴DF＝30﹣10＝20cm，

∴BD＝BC＝CF＝DF＝20cm，

②∵在Rt△BAD中，AB＝ ＝10 cm，

∴四边形ABCF的周长是30+20×2+10 ＝70+10 （cm）．

故四边形ABCF的周长是（70+10 ）cm．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．

18．（杭州校级期中）如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．

（1）求证：BF＝FD；

（2）点D在运动过程中能否使得四边形ACFE为平行四边形？如不能，请说明理由；如能，求出此时∠A的度数．

【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质得出CE＝CB，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质证出EF＝BF，EF＝FD，即可得出结论．

（2）假设点D在运动过程中能使四边形ACFE为平行四边形，则AC∥EF，AC＝EF，由（1）知AC＝CB＝ AB，EF＝BF＝ BD，则BC＝EF＝BF，即BA＝BD，∠A＝45°．

【解答】（1）证明：∵BE⊥AD，

∴∠AEB＝90°，

在Rt△AEB中，∵点C为线段BA的中点，

∴CE＝ AB＝CB，

∴∠CEB＝∠CBE．

∵∠CEF＝∠CBF＝90°，

∴∠BEF＝∠EBF，

∴EF＝BF．

∵∠BEF+∠FED＝90°，∠EBD+∠EDB＝90°，

∴∠FED＝∠EDF，

∵EF＝FD．

∴BF＝FD．

（2）能．理由如下：

若四边形ACFE为平行四边形，则AC∥EF，AC＝EF，

∴BC＝BF，

∴BA＝BD，∠A＝45°．

∴当∠A＝45°时四边形ACFE为平行四边形．

【点评】本题考查了平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质是解决问题的关键．