第10章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共24分)
1．【2023·无锡江南中学期中】代数式x3＋，，x，，中，属于分式的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.将关于x的分式方程＝去分母可得( )
A．3x－3＝2x B．3x－1＝2x
C．3x－1＝x D．3x－3＝x
3．分式①；②；③；④中，最简分式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．【2023·宜宾】分式方程＝的解为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
5.某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设每辆大货车运输x吨货物，则所列方程正确的是( )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
6．【2023·镇江外国语学校一模】化简－的结果是( )
A．a－b B．a＋b C． D．
7.对于非零的两个实数a，b，规定a*b＝－，若5*(3x－1)＝2，则x的值为( )
A． B． C． D．－
8．【2023·扬州一模】若关于x的分式方程＝有正数解，求m的取值范围．甲解得的答案是m＞4，乙解得的答案是m＜2，则下列选项正确的是( )
A．只有甲答案对 B．只有乙答案对
C．甲、乙答案合在一起才正确 D．甲、乙答案合在一起也不正确
二、填空题(每题3分，共30分)
9．与的最简公分母是________．
10．【2023·南充】若分式的值为0，则x的值为________．
11．计算：＋＝________．
12．【2023·南京二模】方程＝的解是________．
13．【2023·泰州兴化市期中】为迎接“兴化千岛菜花”旅游节，市政府决定对2 240公顷的千岛进行一次全面的升级改造，实际每天改造的面积比原计划多100公顷，结果提前7天完成改造任务．若设原计划每天改造面积是x公顷，根据题意可列方程为__________________．
14．【2023·宿迁期中】若关于x的分式方程＝的解大于0，则m的取值范围是__________．
15．小明同学在对分式方程＋＝1去分母时，方程右边的1没有乘x－2，若此时解得整式方程的解为x＝2，则原方程的解为________．
16．在如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被盖住的x的值是________．
先化简，再求值：＋1，其中x＝★. |
解：原式＝·(x－4)＋(x－4)…① |
＝3－x＋x－4 |
＝－1. |
17.若mn＝n－m≠0，则－的值为 ________．
18．【2023·重庆】若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程＋＝2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是________．
三、解答题(19～25题每题8分，26题10分，共66分)
19．【教材P120复习题T3】计算：
(1)－； (2)【2023·泸州】化简：÷.
20．解下列分式方程：
(1)＋＝4; (2)－1＝.
21．先化简，再求值：
(1)【2023·随州】先化简，再求值：÷，其中x＝1；
(2)【2023·广安】先化简÷，再从不等式－2<a<3中选择一个适当的整数，代入求值．
22．(教材P121复习巩固T11)已知M＝，N＝，用“＋”或“－”连接M，N，有三种不同的形式：M＋N，M－N，N－M，任选其中一种进行计算，并化简求值，其中x∶ y＝5∶ 2.
23.已知关于x的分式方程－＝.
(1)若m＝－3，解这个方程；
(2)若原分式方程无解，求m的值．
24．【2023·济宁】为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型号充电桩比B型号充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型号充电桩与用20万元购买B型号充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)若该停车场计划共购买25个A，B型号充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型号充电桩的购买数量不少于A型号充电桩购买数量的.
问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
25.我们定义：形如x＋＝m＋n(m，n不为零)，且两个解分别为x1＝m，x2＝n的方程称为“十字分式方程”．
例如x＋＝5为十字分式方程，可化为x＋＝2＋3，∴x1＝2，x2＝3.
再如x＋＝－8为十字分式方程，可化为x＋＝(－1)＋(－7)，
∴x1＝－1，x2＝－7.
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若x＋＝－7为十字分式方程，则x1＝________，x2＝________；
(2)若十字分式方程x－＝－5的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求＋＋1的值；
(3)若关于x的十字分式方程x－＝2 023k－2 022的两个解分别为x1，x2(k＞2，x1＞x2)，求的值．
26．【2023·扬州一模】将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为(b＞a＞0)．
(1)再往杯中加入m(m＞0)克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为________；
(2)请证明(1)中的数学关系式；
(3)在△ABC中，三条边的长度分别为a，b，c，证明：＋＋＜2.
答案
一、1．B 2．A 3．B 4．C 5．B 6．D 7．B
8．D 【点拨】＝.去分母，得4x－2＝mx－m.
移项、合并同类项，得(4－m)x＝2－m，解得x＝.
∵关于x的分式方程＝有正数解，
∴解得m＞4或m＜2且m≠0.
∴甲、乙答案合在一起也不正确，故D正确．
二、9．18a2b2c 10．－1 11．a－b 12．x＝3
13．－＝7
14．m＞1且m≠4 【点拨】解分式方程，得x＝m－1.
∵该分式方程的解大于0，∴m－1＞0，即m＞1.
又∵x－3≠0，∴x≠3，即m－1≠3.∴m≠4.
综上可知，m的取值范围是m＞1且m≠4.
15．x＝1 【点拨】小明去分母得到的整式方程是2x－(3－m)＝1，把x＝2代入，得4－(3－m)＝1，解得m＝0.故原分式方程为＋＝1，解得x＝1.经检验，x＝1是原分式方程的解．
16．5 【点拨】＋1＝＝.
当＝－1时，解得x＝5.
检验：当x＝5时，4－x≠0，
∴题图中被盖住的x的值是5.
17．－3 【点拨】原式＝－＝.
∵mn＝n－m≠0，∴原式＝＝－3.
18．4 【点拨】解不等式组解得
∵至少有2个整数解，∴≤4，解得a≤6.
解分式方程＋＝2，解得y＝，
∵y的值是非负整数，a≤6，且a为整数，
∴当a＝5时，y＝2，当a＝3时，y＝1，
当a＝1时，y＝0，
∵y＝2是分式方程的增根，∴a＝5(舍去)，
即满足条件的a的值有3和1，
∵3＋1＝4，
∴所有满足条件的整数a的值之和是3＋1＝4.
三、19．【解】(1)原式＝－＝＝.
(2)原式＝[＋]×＝
×＝×＝m＋2.
20．【解】(1)方程两边同乘2x－3，
得x－5＝4(2x－3)，解得x＝1，
检验：当x＝1时，2x－3≠0，
∴x＝1是原分式方程的解．
(2)方程两边同乘(x＋2)(x－2)，
得x2－4x＋4－x2＋4＝16，解得x＝－2.
检验：当x＝－2时，(x＋2)(x－2)＝0，∴x＝－2是增根，原分式方程无解．
21．【解】(1)÷＝·＝，
当x＝1时，原式＝＝.
(2)÷＝·＝.
∵－2<a<3且a≠±1，∴a＝0符合题意．
当a＝0时，原式＝＝－1.
22．【解】选择一：M＋N＝＋＝＝.
当x∶y＝5∶2时，x＝y，
∴原式＝＝.
选择二：M－N＝－＝＝.
当x∶y＝5∶2时，
x＝y，∴原式＝＝－.
选择三：N－M＝－＝＝.
当x∶y＝5∶2时，x＝y，
∴原式＝＝.
(任选一种即可)
23．【解】(1)把m＝－3代入原分式方程，得－＝.
方程两边同乘(x－3)(x＋3)，
得－3(x－3)＋(x＋3)＝1，
解得x＝5.5.
检验：当x＝5.5时，(x＋3)(x－3)≠0，
∴x＝5.5是原方程的解．
(2)当(x＋3)(x－3)＝0时，x＝3或－3.
方程两边同乘(x－3)(x＋3)，得
m(x－3)＋(x＋3)＝m＋4，
整理，得(m＋1)x＝1＋4m，
当m＋1＝0时，1＋4m≠0，方程无解，此时m＝－1.
当m＋1≠0时，x＝.
当x＝3时，(x－3)(x＋3)＝0，方程无解，即＝3，解得m＝2.
当x＝－3时，(x－3)(x＋3)＝0，方程无解，即＝－3，解得m＝－.
综上所述，若原方程无解，则m＝－1或2或－.
24．【解】(1)设A型号充电桩的单价为x万元，则B型号充电桩的单价为(x＋0.3)万元，根据题意，得＝，解得x＝0.9，经检验，x＝0.9是所列方程的解，∴0.9＋0.3＝1.2(万元)．
答：A型号充电桩的单价为0.9万元，B型号充电桩的单价为1.2万元．
(2)设购买A型号充电桩m个，则购买B型号充电桩(25－m)个，根据题意，
得解得≤m≤.
∵m为整数，∴m＝14，15，16.
∴该停车场共有3种购买方案，方案一：购买14个A型号充电桩、11个B型号充电桩；方案二：购买15个A型号充电桩、10个B型号充电桩；方案三：购买16个A型号充电桩、9个B型号充电桩．
∵A型号充电桩的单价低于B型号充电桩的单价，
∴方案三所需购买总费用最少．
25．【解】(1)－3；－4
(2)∵十字分式方程x－＝－5的两个解分别为x1＝a，x2＝b，
∴ab＝－6，a＋b＝－5.
∴＋＋1＝＋1＝＋1＝－1＝－1＝－.
(3)x－＝2 023k－2 022是十字分式方程，可化为x－1－＝2 023k－2 022－1＝2 023k－2 023，
∴(x1－1)(x2－1)＝－(2 023k－2 022k2)＝k(2 022k－2 023)．
(x1－1)＋(x2－1)＝2 023k－2 023＝k＋(2 022k－2 023)．
∵k＞2，x1＞x2，
∴x1－1＝2 022k－2023，x2－1＝k，
即x1＝2 022k－2 022，x2＝k＋1.
代入，得＝＝2 022，
∴的值为2 022.
26．(1)＞
(2)【证明】－＝－＝＝.
∵m＞0，b＞a＞0，
∴b－a＞0，b＋m＞0，∴＞0.
∴－＞0，即＞.
(3)【证明】在△ABC中，a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，且a＞0，b＞0，c＞0，
∴＜1，＜1，＜1.
由糖水不等式得＜，＜，＜，
∴＋＋＜＋＋＝2.
∴＋＋＜2.