第08讲多边形（核心考点讲与练）
1．多边形
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心．
常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形．
2．多边形的对角线
（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数）
（3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
（4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
3．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
4．平面镶嵌（密铺）
（1）平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．
（2）正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．
判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
（3）单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形．
（4）两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等．
（5）用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案．
一．多边形（共2小题）
1．（肇庆）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 n2+2n ．
【分析】第1个图形是2×3﹣3，第2个图形是3×4﹣4，第3个图形是4×5﹣5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）＝n2+2n．
【解答】解：第一个是1×3，
第二个是2×4，
第三个是3×5，
…
第n个是n•（n+2）＝n2+2n
故答案为：n2+2n．
【点评】首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去．
2．（宁波校级自主招生）将数字1，2，3，4，5，6，7，8分别填写到八边形ABCDEFGH的8个顶点上，并且以S1，S2，…，S8分别表示（A，B，C），（B，C，D），…，（H，A，B）8组相邻的三个顶点上的数字之和．
（1）试给出一个填法，使得S1，S2，…，S8都大于或等于12；
（2）请证明任何填法均不可能使得S1，S2，…，S8都大于或等于13．
【分析】（1）首先确定1的位置，1最小，让它的一个相邻的数是最大的数8，再根据三个相邻的数的和应大于或等于12且各个顶点的数都不相等，进行推断；
（2）首先根据八组的数的和是104，正确分析出其中至多有四组的数的和大于13，且每一组的数的和都小于或等于14；然后再进一步用设未知数的方法分析．
【解答】解：（1）不难验证，如图所示填法满足．s1，s2，…s8都大于或等于12．
（2）显然，每个顶点出现在全部8组3个相邻顶点组的3个组中，所以有s1+S2+…+S8＝（1+2+3+…+8）•3＝108．如果每组三数之和都大于或等于13，因13•8＝104，所以至多有108﹣104＝4个组的三数之和大于13．
由此我们可得如下结论：
1、相邻两组三数之和一定不相等．设前一组为（i，j，k），后一组为（j，k，l）．若有i+j+k＝j+k+l，则l＝i，这不符合填写要求；
2、每组三数之和都小于或等于14．因若有一组三数之和大于或等于15，则至多还有另外两个组，其三数之和大于13，余下5个组三数之和等于13，必有相邻的两组相等，这和上述结论（1）不符．
因此，相邻两组三数之和必然为13或14．不妨假定1填在B点上，A点所填为i，C点所填为j．
1、若S1＝i+1+J＝13，则s2＝1+j+l＝14，S3＝j+l+k＝13，因J＞1，这是不可能的．
2、若s1＝i+1+j＝14，则S2＝1+j+（i﹣1）＝13，S3＝j+（i﹣1）+2：14，s4＝（i﹣1）+2+（j﹣1）＝13，这时S5＝14，只能是S＝2+（j﹣1）+i，i重复出现：所以不可能有使得每组三数之和均大于或等于13的填法．
【点评】做此题的时候，注意各个顶点的数字不得重复，且每一组的数的和应大于或等于12进行解答．
二．多边形的对角线（共4小题）
3．（海曙区期末）从六边形的一个顶点出发可以作对角线（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
【分析】已知多边形的边数为n（n＞3时），从多边形的一个顶点出发，可以画出（n﹣3）条对角线，根据以上内容求出即可．
【解答】解：从六边形的一个顶点出发，可以画出6﹣3＝3条对角线，
故选：A．
【点评】本题考查了多边形的对角线，能熟记多边形的对角线的定义是解此题的关键．
4．（邕宁区校级期中）六边形有 9 条对角线．
【分析】利用多边形对角线条数公式：
进行计算即可．
【解答】解：
＝
＝9，
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握多边形对角线公式．
5．（沙坪坝区校级期末）若过六边形的一个顶点可以画n条对角线，则n的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3．
【解答】解：对角线的数量n＝6﹣3＝3（条）；
故选：C．
【点评】本题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3．
6．（砀山县期末）从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，这个多边形的边数是 8 ．
【分析】根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n﹣3）求出边数即可得解．
【解答】解：∵从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，设多边形边数为n，
∴n﹣3＝5，
解得n＝8．
故答案为8．
【点评】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线是解题的关键．
三．多边形内角与外角（共6小题）
7．（宁波期末）正八边形的每个内角的度数为（ ）
A．120° B．135° C．140° D．144°
【分析】根据多边形的外角和等于360°，求出正八边形的外角度数，进而求出．
【解答】解：∵多边形的外角和等于360°，
∴正八边形的外角度数为：360°÷8＝45°，
∴正八边形的内角度数为：180°﹣45°＝135°．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，解答本题的关键在于熟练掌握多边形的外角和等于360．
8．（越城区期末）如果一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形为（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：外角是180﹣120＝60度，
360÷60＝6，则这个多边形是六边形．
故选：B．
【点评】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
9．（长兴县开学）如图，小丽将平放在桌面上的正五边形磁力片和正方形磁力片拼在一起（一边重合），则形成的∠ABC的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．162°
【分析】根据多边形的内角和公式及正多边形的性质求出∠ABD＝90°，∠CBD＝108°，再根据周角的定义即可求解．
【解答】解：如图，
在正方形ABDE中，
∠ABD＝
＝90°，
在正五边形BDMNC中，
∠CBD＝
＝108°，
∴∠ABC＝360°﹣∠ABD﹣∠CBD＝360°﹣90°﹣108°＝162°，
故选：D．
【点评】此题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
10．（温岭市期末）一个多边形的每一个外角都为72°，这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于72°，
∴多边形的边数为360°÷72°＝5．
故这个多边形的边数是5．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°．
11．（临海市期末）如图，∠1是正五边形两条对角线的夹角，则∠1＝ 72 度．
【分析】由正五边形的性质可求得∠DBC，∠ACB的度数，再利用三角形外角的性质可求解．
【解答】解：由正五边形ABCDE，可得：AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，
∴∠DBC＝∠ACB＝
＝36°，
∴∠1＝∠DBC+∠ACB＝72°．
故答案为：72．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆的知识，掌握正五边形的特征是解题的关键．
12．（舟山期末）已知一个正多边形的内角是140°，则它是几边形（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成140°n，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．
【解答】解：设正边形的边数是n，由内角和公式，得
（n﹣2）×180°＝n×140°．
解得n＝9，
故选：B．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
四．平面镶嵌（密铺）（共5小题）
13．（绿园区期末）学校购买一种正多边形形状的瓷砖来铺满教室的地面，所购买的瓷砖形状不可能是（ ）
A．等边三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正方形
【分析】根据一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°，进而判断得出即可．
【解答】解：A、等边三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；
B、正五边形的每个内角为：180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺；
C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；
D、正方形的每个内角是90°，4个能密铺．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平面镶嵌，由平面镶嵌的知识可知只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．
14．（上蔡县期末）我们知道正五边形不能进行平面镶嵌，若将三个全等的正五边形按如图所示拼接在一起，那么图中的∠1的度数是（ ）
A．18° B．30° C．36° D．54°
【分析】正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．
【解答】解：正五边形的内角：（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠1＝360°﹣108°×3＝36°，
故选：C．
【点评】本题考查了平面镶嵌，熟练运用多边形内角和公式是解题的关键．
15．（余姚市期末）如图，是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第50层中含有正三角形个数为 594 个．
【分析】分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题．
【解答】解：第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，…，每一层比上一层多12个，
故第50层中含有正三角形个数是6+12×（50﹣1）＝594（个），
故答案为：594．
【点评】此题考查了平面镶嵌（密铺），规律型：图形的变化等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
16．（射洪市期末）在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是（ ）
A．正六边形，正八边形 B．正方形，正七边形
C．正五边形，正六边形 D．正三角形，正方形
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【解答】解：∵正三角形的每个内角60°，正方形的每个内角是90°，正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°，正八边形每个内角是180°﹣360°÷8＝135°，
∴能够组合是正三角形，正方形，
故选：D．
【点评】本题考查平面镶嵌，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
17．（永嘉县校级模拟）建筑工人用边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种瓷砖铺设地面，正方形瓷砖分黑白两种颜色，密铺成图（1）的形状用水泥浇筑前，为方便施工，工人要先把瓷砖按图1方式先摆放好，一工人摆放时，无意间将3块黑色正方形瓷砖上翻到一个正六边形的上面，其中三个正方形的一条边分别和正六边形的三条边重合，如图（2）所示，按图（2）方式给各点作上标注，若正方形的边长AB＝12cm，则ML2＝ （480﹣240
） cm2．（不考虑瓷砖的厚度）
【分析】如图（2）中，过点M作MW⊥AF于W，连接BL，过点B作BQ⊥EC于Q，过点L作LR⊥AB于R，LN⊥AH于N．解直角三角形想办法求出MN，NL，可得结论．
【解答】解：如图（2）中，过点M作MW⊥AF于W，连接BL，过点B作BQ⊥EC于Q，过点L作LR⊥AB于R，LN⊥AH于N.
由题意，∠MAF＝∠MFA＝30°，
∴MF＝MA，
∴FW＝AW＝6（cm），
∴FM＝MA＝
＝4
（cm），
在Rt△CBQ中，∠CQB＝90°，BC＝12cm，∠BCQ＝30°，
∴BQ＝
BC＝6（cm），CQ＝
BQ＝6
（cm），
∴LQ＝LC﹣CQ＝12﹣6
，
∴BL＝
＝
＝6（
﹣
）（cm），
∵CL＝CB，∠BCL＝30°，
∴∠CBL＝∠CLB＝75°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABL＝45°，
∵LR＝BR＝6（
）（cm），
∵LN⊥AH，
∴∠ANL＝∠NAR＝∠ARL＝90°，
∴四边形ANLR是矩形，
∴LN＝AR＝12﹣6（
﹣1）＝（18﹣6
）（cm），AN＝RL＝6（
﹣1）（cm），
∴MN＝AM﹣AN＝4
﹣6（
﹣1）＝（6﹣2
）（cm），
∴ML2＝MN2+LN2＝（6﹣2
）2+（18﹣6
）2＝（480﹣240
）（cm2）．
故答案为：（480﹣240
）．
【点评】本题考查平面镶嵌，解直角三角形，正方形，正六边形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
题组A 基础过关练
一．选择题（共10小题）
1．（上虞区期末）小敏将图1所示七巧板的其中几块，拼成如图2所示的一个四边形，则该四边形的最长边长与最短边长之比为（ ）
A．2 B．3 C．
D．
【分析】设图2中正方形的边长为1，求出其他边的长度，即可得出比值．
【解答】解：如图，给图中顶点标上字母，
设CD＝1，则CF＝BF＝1，
∴BC＝
＝
，AE＝BE＝1+1＝2，
∴AD＝2+1＝3，
∴AB＝
，
∴最长的边是AD＝3，最短的边是CD＝1，
∴
，
故选：B．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，关键是要牢记勾股定理的知识和等腰直角三角形的性质．
2．（本溪期末）如果过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，则该多边形对角线一共有（ ）
A．18条 B．14条 C．20条 D．27条
【分析】根据从每一个顶点出发可以作的对角线的总条数为n﹣3计算即可得到该多边形的边数（或顶角数），然后由n边形的对角线总条数公式为
进行解答．
【解答】解：∵过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，
∴多边形的边数为6+3＝9，
∴这个多边形是九边形．
∴该多边形对角线一共有：
＝27（条）．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的对角线公式，熟记从每一个顶点出发可以作的对角线的条数为（n﹣3）是解题的关键．
3．（浦江县期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝110°，与∠BAD，∠ABC相邻的外角都是110°，则∠ADC的外角α的度数是（ ）
A．90° B．85° C．80° D．70°
【分析】根据多边形外角和为360°，进行求解即可．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，∠C＝110°，
∴∠C相邻的外角度数为：180°﹣110°＝70°，
∴∠α＝360°﹣70°﹣110°﹣110°＝70°．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形内角与外角的知识，解答本题的关键在于根据多边形外角和为360°进行求解．
4．（柯桥区月考）在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，∠B比∠D大60°，则∠B的度数为（ ）
A．60° B．80° C．120° D．130°
【分析】利用四边形的内角和即可求出答案．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠A+∠C＝180°，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠B﹣∠D＝60°，
∴2∠B＝240°，
∴∠B＝120°．
故选：C．
【点评】此题考查了四边形的内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意掌握四边形的内角和等于360°．
5．（西城区校级模拟）正八边形的内角和为1080°，它的外角和为（ ）
A．540° B．360° C．720° D．1080°
【分析】根据多边形的外角和都是360°即可得解．
【解答】解：∵多边形的外角和都是360°，
∴正八边形的外角和为360°，
故选：B．
【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的外角和是360°是解题的关键．
6．（北仑区期末）正十边形的每个内角都是（ ）
A．36° B．72° C．108° D．144°
【分析】首先根据多边形的内角和定理，求出正十边形的内角和是多少，然后用它除以10，求出正十边形的每个内角等于多少度即可．
【解答】解：（10﹣2）×180÷10
＝8×180÷10
＝1440÷10
＝144（度），
∴正十边形的每个内角等于144度．
故选：D．
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角的计算，解答此题的关键是要明确n边形内角和定理：（n﹣2）•180°．
7．（安国市期末）如图，将正五边形ABCDE的点C固定，按顺时针方向旋转一定角度，使新五边形的顶点D′落在直线BC上，则旋转的角度是（ ）
A．108° B．72° C．54° D．36°
【分析】根据正多边形的性质求解正五边形ABCDE的内角的度数，由旋转的性质可得∠DCD'+∠BCD＝180°，进而可求解．
【解答】解：∵多边形ABCDE为正五边形，
∴∠BCD＝
＝108°，
当按顺时针方向旋转后新五边形的顶点D′落在直线BC上时，旋转角∠DCD'+∠BCD＝180°，
∴旋转角∠DCD'＝180°﹣108°＝72°，
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的内角和外角，掌握正多边形的内角的度数是解题的关键．
8．（洛宁县模拟）如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE共线，则∠COF的度数是（ ）
A．86° B．84° C．76° D．74°
【分析】利用正多边形的性质求出∠EOF，∠BOC，∠BOE即可解决问题．
【解答】解：由题意：∠EOF＝108°，∠BOC＝120°，∠OEB＝72°，∠OBE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°，
∴∠COF＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（绿园区期末）学校购买一种正多边形形状的瓷砖来铺满教室的地面，所购买的瓷砖形状不可能是（ ）
A．等边三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正方形
【分析】根据一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°，进而判断得出即可．
【解答】解：A、等边三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；
B、正五边形的每个内角为：180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺；
C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；
D、正方形的每个内角是90°，4个能密铺．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平面镶嵌，由平面镶嵌的知识可知只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．
10．（祁阳县期末）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中中间一张正方形纸片的面积为c，两张等腰直角三角形纸片的面积都为b，另两张直角三角形纸片的面积都为a，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（ ）
A．4b B．4a C．4a+c D．3a+4c
【分析】设等腰直角三角形的直角边为x，正方形边长为y，求出a（用x、y表示），得出a，b，c之间的关系，由此即可解决问题．
【解答】解：设等腰直角三角形的直角边为x，正方形边长为y，
则a＝
（x+y）（x﹣y）＝
x2﹣
y2，
∴a＝b﹣
c，
∴c＝2b﹣2a，
∴平行四边形面积＝2b+2a+c＝2b+2a+2b﹣2a＝4b．
故选：A．
【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出a，b，c之间的关系．
二．解答题（共4小题）
11．（台州期中）如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°．
（1）求六边形ABCDEF的内角和；
（2）求∠BGD的度数．
【分析】（1）由多边形的内角和公式，即可求得六边形ABCDEF的内角和；
（2）由∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°，即可求得∠GBC+∠C+∠CDG的度数，继而求得答案．
【解答】解：（1）六边形ABCDEF的内角和为：180°×（6﹣2）＝720°；
（2）∵六边形ABCDEF的内角和为720°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°，
∴∠GBC+∠C+∠CDG＝720°﹣460°＝260°，
∴∠BGD＝360°﹣（∠GBC+∠C+∠CDG）＝100°．
即∠BGD的度数是100°．
【点评】此题考查了多边形的内角和公式．解题的关键是根据多边形的内角和的计算公式求得多边形的内角和．
12．（温岭市期中）已知一个n边形的每个内角是135°．
（1）求n；
（2）求这个n边形的内角和．
【分析】（1）利用内角度数计算出外角度数，然后再利用外角和求边数即可；
（2）利用多边形内角和公式计算即可．
【解答】解：（1）∵一个n边形的每个内角是135°，
∴每一个外角度数为：180°﹣135°＝45°，
∴n＝360°÷45°＝8；
（2）内角和：180°×（8﹣2）＝180°×6＝1080°．
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握多边形的外角和等于360°．多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）．
13．（双阳区期末）若一个多边形的内角和比外角和多540°，求这个多边形的边数．
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征．
【解答】解：设这个多边形是n边形．
则180°•（n﹣2）＝540°+360°，
解得n＝7．
【点评】此题较难，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．
14．（黄岩区期末）（1）如图1，在△ADC中，∠ADC的平分线和∠ACD的外角平分线交于点P，若∠ADC＝70°，∠ACD＝50°，求∠P的度数．
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ADC的平分线和∠BCD的外角平分线交于点P，∠A＝90°，∠B＝150°，求∠P的度数．
（3）如图3，若将（2）中“∠A＝90°，∠B＝150°”改为“∠A＝α，∠B＝β”，其余条件不变，直接写出∠P与α+β之间的数量关系．
【分析】（1）在射线DC上取一点E，根据角平分线的定义分别求出∠PDC与∠PCE，再根据三角形的外角性质解答即可；
（2）在射线DC上取一点E，根据角平分线的定义，三角形的外角性质以及四边形的内角和等于360°解答即可；
（3）根据（2）的结论解答即可．
【解答】解：（1）如图1，在射线DC上取一点E，
∵∠ADC的平分线和∠ACD的外角平分线交于点P，
∴
，
＝65°，
∴∠P＝∠PCE﹣∠PDC＝30°；
（2）如图2，在射线DC上取一点E，
∵∠ADC的平分线和∠BCD的外角平分线交于点P，
∴
，
，
∴∠P＝∠PCE﹣∠PDC
＝
＝
＝
＝
＝
＝30°；
（3）
．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
题组B 能力提升练
一．选择题（共6小题）
1．（昆明模拟）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC等于（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
【分析】利用全等三角形的性质和正六边形的定义可判断六边形花环为正六边形，根据多边形的内角和定理可计算出∠ABD＝120°，然后把∠ABD减去90°得到∠ABC的度数．
【解答】解：如图，
∵六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，
∴六边形花环为正六边形，
∴∠ABD＝
＝120°，
而∠CBD＝∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝120°﹣90°＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）；多边形的外角和等于360°．
2．（红花岗区二模）把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝（ ）
A．141° B．144° C．147° D．150°
【分析】先根据多边形的内角和公式分别求得正六边形和正五边形的每一个内角的度数，再根据多边形的内角和公式求得∠APG的度数．
【解答】解：（6﹣2）×180°÷6＝120°，
（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∠APG＝（6﹣2）×180°﹣120°×3﹣108°×2
＝720°﹣360°﹣216°
＝144°．
故选：B．
【点评】考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．
3．（鄞州区期末）如图将一张四边形纸片沿EF折叠，以下条件中能得出AD∥BC的条件个数是（ ）
①∠2＝∠4；②∠2+∠3＝180°；③∠1＝∠6；④∠4＝∠5．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】分别利用同旁内角互补两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行得出答案即可．
【解答】解：①∵∠2＝∠4，∴AD∥BC，故①符合题意；
②∵∠2+∠3＝180°，∠3+∠5＝180°，∴∠2＝∠5，∴HE∥GF，HE和GF是由CE和DF折叠得到的，∴CE∥DF，即AD∥BC，故②符合题意；
③由折叠的性质可得∠1＝∠7，∵∠1＝∠6，∴∠6＝∠7，∴AD∥BC，故③符合题意；
④设∠4＝∠5＝x，则∠FEC＝
（180﹣x），∠DFE＝
（180+x），∴∠FEC+∠DFE＝
（180﹣x）+
（180+x）＝180°，∴AD∥BC，故④符合题意．
故能得出AD∥BC的条件个数是4．
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．
4．（内江期末）如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于210°，则∠BOD的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．
【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为210°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+210°＝4×180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝510°，
∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，
∴∠BOD＝540°﹣510°＝30°，
故选：A．
【点评】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．
5．（射洪市期末）在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是（ ）
A．正六边形，正八边形 B．正方形，正七边形
C．正五边形，正六边形 D．正三角形，正方形
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【解答】解：∵正三角形的每个内角60°，正方形的每个内角是90°，正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°，正八边形每个内角是180°﹣360°÷8＝135°，
∴能够组合是正三角形，正方形，
故选：D．
【点评】本题考查平面镶嵌，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
6．（下城区校级模拟）平面镶嵌定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌问题．如图，相同边长的正三角形可以进行平面镶嵌．那么，利用下列图形或图形组合无法进行平面镶嵌的是（ ）
A．全等三角形
B．边长相等的正五边形
C．边长相等的正三角形和正六边形
D．边长相等的正方形和正八边形
【分析】进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可．
【解答】解：A、全等三角形能镶嵌，因为三角形的内角和为180°．180°×2＝360°；
B、边长相等的正五边形，不能边长相等的正五边形，因为正五边形的内角和为108°．108°的整数倍不等于360°；
C、边长相等的正三角形和正六边形，可以镶嵌，比如4个正三角形2个正六边形；
D、边长相等的正方形和正八边形，可以镶嵌，比如一个正方形或2个正八边形；
故选：B．
【点评】本题考查了求正多边形一个内角度数，可先求出这个外角度数，让180°减去即可．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
二．填空题（共4小题）
7．（诸暨市期中）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数： 180° ．
【分析】连接AC，根据三角形的内角和定理即可证得∠E+∠D＝∠1+∠2，然后根据三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：连接AC，
∵∠E+∠D+∠EFD＝∠1+∠2+∠AFC＝180°，
又∵∠EFD＝∠AFC，
∴∠E+∠D＝∠1+∠2，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
＝∠B+∠EAB+∠BCD+∠1+∠2
＝∠B+∠BAC+∠ACB
＝180°．
故答案为：180°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，正确作出辅助线，证明∠E+∠D＝∠1+∠2是关键．
8．（黄山期末）如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，∠A＝100°，∠C＝70°，则∠B＝ 95° ．
【分析】首先利用平行线的性质得出∠BMF＝100°，∠FNB＝70°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN＝∠BMN＝50°，∠FNM＝∠MNB＝35°，进而求出∠B的度数以及得出∠D的度数．
【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A＝100°，∠C＝70°，
∴∠BMF＝100°，∠FNB＝70°，
∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，
∴∠FMN＝∠BMN＝50°，∠FNM＝∠MNB＝35°，
∴∠F＝∠B＝180°﹣50°﹣35°＝95°，
故答案为：95°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出∠FMN＝∠BMN，∠FNM＝∠MNB是解题关键．
9．（南京）如图，五边形ABCDE是正五边形．若l1∥l2，则∠1﹣∠2＝ 72 °．
【分析】过B点作BF∥l1，根据正五边形的性质可得∠ABC的度数，再根据平行线的性质以及等量关系可得∠1﹣∠2的度数．
【解答】解：过B点作BF∥l1，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC＝108°，
∵BF∥l1，l1∥l2，
∴BF∥l2，
∴∠3＝180°﹣∠1，∠4＝∠2，
∴180°﹣∠1+∠2＝∠ABC＝108°，
∴∠1﹣∠2＝72°．
故答案为：72．
【点评】考查了多边形内角与外角，平行线的性质，关键是熟练掌握正五边形的性质，以及添加辅助线．
10．（天台县期末）如图所示，则（∠1+∠2﹣∠3）+（∠4+∠5﹣∠6）+（∠7+∠8﹣∠9）＝ 180 度．
【分析】利用多边形的内角和公式即可求出答案．
【解答】解：∵∠1+∠2+（360°﹣∠3）+∠4+∠5+（360°﹣∠6）+∠7+∠8+（360°﹣∠9）＝180°•（9﹣2）＝1260度，
∴（∠1+∠2﹣∠3）+（∠4+∠5﹣∠6）+（∠7+∠8﹣∠9）＝1260﹣360×3＝180°．
【点评】主要考查了多边形的内角和定理．n边形的内角和为：180°（n﹣2）．此类题型直接根据内角和公式计算可得．
三．解答题（共15小题）
11．（天台县期末）（1）如图1，在△ABC中，已知OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB的外角∠DBC，∠ECB．
①若∠A＝50°，则∠O＝ 115° ，∠P＝ 65° ；
②若∠A＝α，则∠O＝ 90°+
α ，∠P＝ 90°﹣
α ．（用含α的式子表示）
（2）如图2，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，请探究∠P与∠A，∠D的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在六边形ABCDEF中，CP，DP分别平分外角∠GCD，∠HDC，请直接写出∠P与∠A，∠B，∠E，∠F的数量关系 ∠P＝360°﹣
（∠A+∠B+∠E+∠F） ．
【分析】根据角平分线的性质和三角形内角和以及外角定理解答即可．
【解答】解：（1）①解：∠O＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣
∠ABC﹣
∠ACB＝180°﹣
（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣
（180°﹣∠A）＝180°﹣
（180°﹣50°）＝115°；
∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣
∠DBC﹣
∠ECB＝180°﹣
（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣
（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝180°﹣
[360°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝180°﹣
[360°﹣（180°﹣∠A）]＝180°﹣
[360°﹣（180°﹣50°）]＝65°；
故答案为：115°；65°．
②解：∠O＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣
∠ABC﹣
∠ACB＝180°﹣
（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣
（180°﹣∠A）＝180°﹣
（180°﹣α）＝90°+
α；
∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣
∠DBC﹣
∠ECB＝180°﹣
（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣
（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝180°﹣
[360°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝180°﹣
[360°﹣（180°﹣∠A）]＝180°﹣
[360°﹣（180°﹣α）]＝90°﹣
α；
故答案为：90°+
α；90°﹣
α，
（2）解：∠P＝180°﹣
（∠A+∠D）．理由如下：
∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣
（∠EBC+∠FCB）＝180°﹣
[360°﹣（∠ABC+∠DCB）]＝
（∠ABC+∠DCB）＝
（360°﹣∠A﹣∠D）＝180°﹣
（∠A+∠D）．
（3）∠P＝180°﹣
（∠GCD+∠HDC）＝180°﹣
（180°﹣∠BCD+180°﹣∠CDE）＝
（∠BCD+∠CDE）＝
[（6﹣2）×180°﹣（∠A+∠B+∠E+∠F）]＝360°﹣
（∠A+∠B+∠E+∠F）．
故答案为：∠P＝360°﹣
（∠A+∠B+∠E+∠F）
【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理．正确运用角平分线的性质是解题的关键．
12．（下城区校级月考）如图是四边形纸片ABCD，其中∠B＝120°，∠D＝50°．若将其右下角向内折出一∠PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图所示，求∠C的度数．
【分析】根据平行线的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：记两条虚线的交点为E
∵CR∥AD，∠D＝50°
∴∠D＝∠CRE（两直线平行，同位角相等），
∵CP∥AB，∠B＝120°，
∴∠B＝∠CPE（两直线平行，同位角相等），
∵右图是由左图折叠而成的，
∴∠CPR＝∠RPE＝60°，∠CRP＝∠PRE＝25°，
∵三角形内角和是180°，
∴∠C＝95°．
【点评】本题考查的是三角形的外角的概念、三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°、平行线的性质是解题的关键．
13．（萧山区模拟）小张升入高中，开学第一天，老师让班级的同学每两个人相互握手，结成好朋友，其中发现所有的同学一共握手820次．我们可以通过这个数据求出班级里的学生人数，设班级共有学生n人，则每一个学生需握手n﹣1次，这样n个学生就握了n（n﹣1）次手，而每两人之间的握手被重复计算了一次，所以可得
，这样就可以解出n了．你看明白了没有？
（1）请你运用上述方法，探索8边形对角线的条数．并写出你的思路；
（2）请你用题目所给方法得出n边形对角线的条数的公式．
【分析】（1）把8代入所得公式即可．
（2）用类比方法求解．
【解答】解：（1）
．
答：8边形对角线的条数是20．
（2）从每一个n边形的顶点出发，可以画（n﹣3）条对角线，n个顶点就有n（n﹣3）条，
而每一条又重复了一次，所以有
条．
【点评】本题需注意：重复一次要想算出准确结果，重复的结果应除以2．
14．实践与探索！
①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成 3 个三角形；
②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成 4 个三角形；
③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外 n﹣2 个顶点连线可以把n边形分成 n﹣1 个三角形（用含n的代数式表示）．
④你能否根据这样划分多边形的方法来写出n边形的内角和公式？请说明你的理由．
【分析】①②③在n边形的边上任意取一点，连接这点与各顶点的线段可以把n边形分成（n﹣1）个三角形；
④欲证明多边形的内角和定理，可以把多边形的内角转移到三角形中，利用（n﹣1）个三角形，内角和为（n﹣1）×180°，n边形的内角和还要再减去P所在的一个平角，所以n边形的内角和为（n﹣2）×180°．
【解答】解：①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成4﹣1＝3个三角形；
②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成5﹣1＝4个三角形；
③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外（n﹣2）个顶点连线可以把n边形分成（n﹣2）个三角形（用含n的代数式表示）．
④在n边形的任意一边上任取一点P，连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n﹣1）个三角形，
这（n﹣1）个三角形的内角和等于（n﹣1）•180°，
以P为公共顶点的（n﹣1）个角的和是180°，
所以n边形的内角和是（n﹣1）•180°﹣180°＝（n﹣2）•180°．
故答案为：3；4；n﹣2，n﹣1．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理的证明，解题关键是将多边形的内角和问题转化为三角形中解决，在n边形的任意一边上任取一点P，连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n﹣1）个三角形．
15．（浙江自主招生）在凸四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝∠B﹣∠C＝∠C﹣∠D＞0，且四个内角中有一个角为84°，求其余各角的度数．
【分析】可设∠A﹣∠B＝∠B﹣∠C＝∠C﹣∠D＝x，根据四边形内角和等于360°，分四种情况进行讨论，从而求解．
【解答】解：设∠A﹣∠B＝∠B﹣∠C＝∠C﹣∠D＝x＞0，
则∠A＞∠B＞∠C＞∠D，∠C＝∠D+x，∠B＝∠D+2x，∠A＝∠D+3x，
∵∠A+∠B+∠C+∠D＝6x+4∠D＝360°，
∴∠D+
x＝90°．
1、∠D＝84°时，x＝4°，
∠A＝96°，∠B＝92°，∠C＝88°；
2、∠C＝84°时，2x+4∠C＝360°，x＝12°，
∠A＝108°，∠B＝96°，∠D＝72°；
3、∠B＝84°时，﹣2x+4∠B＝360°，x＝﹣12°，
∠A＝72°，∠C＝96°，∠D＝108°（舍去）；
4、∠A＝84°，﹣6x+4∠A＝360°，x＝﹣4，
∠D＝96°，∠C＝92°，∠B＝88°（舍去）．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，四边形内角和等于360°，由于四个内角中有一个角为84°，不确定，故应该分类讨论．
16．（恩施市期中）从一个五边形中切去一个三角形，得到一个三角形和一个新的多边形，那么这个新的多边形的内角和等于多少度？请画图说明．
【分析】从一个五边形中切去一个三角形，得到的可能是四边形、可能是五边形、可能是六边形．再根据多边形的内角和的公式求解．
【解答】解：分三种情况：
①若新多边形为四边形，则内角和为360°；
②若新多边形为五边形，则内角和为（5﹣2）×180°＝540°；
③若新多边形为六边形，则内角和为（6﹣2）×180＝720°．
【点评】此题较难，考查比较新颖，应用了分类思想．本题关键是能够发现从一个五边形中切去一个三角形，得到的可能是四边形、可能是五边形、可能是六边形．
17．（金华期中）如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D＝90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕．
（1）试判断B′E与DC的位置关系，并说明理由；
（2）如果∠C＝128°，求∠AEB的度数．
【分析】（1）由折叠得：∠AB′E＝∠B＝∠D＝90°，再根据同位角相等两直线平行可得B′E∥CD；
（2）根据平行线的性质求得∠B′EB，由折叠的性质得∠AEB＝∠AEB′，即可求得结论．
【解答】（1）B′E∥DC，
证明：由折叠得：∠AB′E＝∠B＝∠D＝90°，
∴B′E∥DC；
（2）解：∵B′E∥DC，∠C＝128°，
∴∠B′EB＝128°，
由折叠得：∠AEB＝∠AEB′＝
×128°＝64°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定，知道翻折变换前后的两个图形全等是解题的关键．
18．（嘉兴期中）已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．
（1）∠ABC+∠ADC＝ 180 °；
（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明；
（3）如图②，若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝
∠CDN，∠CBE＝
∠CBM），试求∠E的度数
【分析】（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；
（2）延长DE交BF于G，根据角平分线的定义可得∠CDE＝
∠ADC，∠CBF＝
∠CBM，然后求出∠CDE＝∠CBF，再利用三角形的内角和定理求出∠BGE＝∠C＝90°，最后根据垂直的定义证明即可；
（3）先求出∠CDE+∠CBE，然后延长DC交BE于H，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．
【解答】（1）解：∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°×2＝180°；
故答案为：180°；
（2）解：延长DE交BF于G，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，
∴∠CDE＝
∠ADC，∠CBF＝
∠CBM，
又∵∠CBM＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（180°﹣∠ADC）＝∠ADC，
∴∠CDE＝∠CBF，
又∵∠BED＝∠CDE+∠C＝∠CBF+∠BGE，
∴∠BGE＝∠C＝90°，
∴DG⊥BF，
即DE⊥BF；
（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM＝180°，
∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，
∴∠CDE+∠CBE＝
×180°＝45°，
延长DC交BE于H，
由三角形的外角性质得，∠BHD＝∠CDE+∠E，∠BCD＝∠BHD+∠CBE，
∴∠BCD＝∠CBE+∠CDE+∠E，
∴∠E＝90°﹣45°＝45°
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用．
19．（衢州期中）如图所示中的几个图形是五角星和它的变形．
（1）图甲中是一个五角星形状，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；
（2）图甲中的点A向下移到BE上时（如图乙）五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？试说明理由
（3）把图乙中的点C向上移动到BD上时（如图丙所示），五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化？试说明理由．
【分析】（1）根据三角形的外角的性质，可得∠1，∠2，根据三角形的内角和定理，可得答案；
（2）根据三角形的外角的性质，可得∠1，∠2，根据三角形的内角和定理，可得答案；
（3）根据三角形的外角的性质，可得∠1，∠2，根据三角形的内角和定理，可得答案．
【解答】解：（1）如图：
由三角形外角的性质，得
∠C+∠E＝∠1，∠B+∠D＝∠2．
由三角形的内角和定理，得∠A+∠1+∠2＝180°，
等量代换，得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180゜；
（2）如图：
由三角形外角的性质，得∠C+∠E＝∠1，∠A+∠D＝∠2，
由三角形的内角和定理，得∠B+∠1+∠2＝180°，
等量代换，得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180゜；
（3）∵∠ECD是△BCE的一个外角，
∴∠ECD＝∠B+∠E（三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和），
∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E＝∠CAD+∠ACE+∠D+∠ECD＝∠CAD+∠ACD+∠D＝180°，
故∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E等于180°，没有变化．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用了三角形外角的性质，三角形的内角和定理．
20．（天河区二模）某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：用2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图（1）、（2）（3）．请你仿照此方法解决下面问题：
（1）研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，求出x和y的值
（2）按图（4）中给出两个边长相等的正方形和正三角形画出一个密铺后图形的示意图．（画正三角形时必须用尺规作图）
【分析】（1）正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，能进行密铺，说明一个顶点处的各内角之和为360°，依此列出方程求出x和y的值；
（2）作出3个正三角形和2个正方形进行平面密铺的图形．
【解答】解：（1）依题意，可有60x+90•y＝360，
化简得2x+3y＝12，
∴x＝3，y＝2；
（2）如图．
【点评】考查了平面镶嵌（密铺）问题，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
21．（永嘉县校级期中）如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系： ∠A+∠B＝∠C+∠D ；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝ 540 度
（3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等．由多边形的内角和得出答案即可；
（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠1+∠D＝∠P+∠3①，∠4+∠B＝∠2+∠P②，由已知条件∠1＝∠2，∠3＝∠4，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B．
【解答】解：（1）如图1，∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠DOC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）∵∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9＝540°．
（3）∠1+∠D＝∠P+∠3①，∠4+∠B＝∠2+∠P②，
如图3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
①+②得：
∠1+∠D+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力．（1）中根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律；（2）（3）直接运用“8字形”中的角的规律解题．
22．（香洲区校级模拟）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）
【分析】（1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）根据图中可找出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案．
【解答】解：（1）∵∠1＝∠2+∠D＝∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；
（2）∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°；
（3）根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，
所以当截去5个角时增加了180×5度，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180°×5+180°＝1080°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角之间的关系．有关五角星的角度问题是常见的问题，其5个角的和是180度．解此题的关键是找到规律利用规律求解．
23．（永年区期末）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）
①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．
（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．
【分析】（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解；
②过一个顶点和相邻边上的点作出直线即可求解；
③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解；
（2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）设新多边形的边数为n，
则（n﹣2）•180°＝2520°，
解得n＝16，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
故原多边形的边数可以为15，16或17．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解．
24．（东海县校级月考）在△ABC中，∠A＝70°．
（1）如图①∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，则∠BOC＝ 125 °；
（2）如图②△ABC的外角∠CBD，∠BCE的平分线相交于点O'，则∠BO'C＝ 55 °；
（3）探究
探究一：如图③，△ABC的内角∠ABC的平分线与其外角∠ACD的平分线相交于点O，设∠A＝n°，求∠BOC的度数．（用n的代数式表示）
探究二：已知：四边形ABCD的内角∠ABC的平分线所在直线与其外角∠DCE的平分线所在直线
相交于点O，∠A＝n°，∠D＝m°
①如图④，若∠A+∠D≥180°，则∠BOC＝ 
（n°+m°）﹣90° （用m、n的代数式表示）
②如图⑤，若∠A+∠D＜180°，则∠BOC＝ 90°﹣
（n°+m°） （用m、n的代数式表示）
【分析】（1）求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线定义求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（3）探究
探究一：根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC的度数．
探究二：①根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠OBC＝
∠ABC，∠OCE＝
∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BOC+∠OBC＝∠OCE，然后整理即可得解；
②同①的思路求解即可．
【解答】解：（1）∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠OBC＝
∠ABC，∠OCB＝
∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝
×110°＝55°，
∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°；
（2）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，
∵BO、CO分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，
∴∠OBC＝
∠DBC，∠OCB＝
∠ECB，
∴∠OBC+∠OCB＝
（180°+∠A），
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣
（180°+∠A）＝90°﹣
∠A＝55°；
（3）探究
探究一：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠OBC＝
∠ABC，∠OCE＝
∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠OCE＝
（∠A+∠ABC）＝
∠A+∠OBC，
∵∠OCE是△BOC的一外角，
∴∠BOC＝∠OCE﹣∠OBC＝
∠A+∠OBC﹣∠OBC＝
∠A＝
n°；
探究二：①由四边形内角和定理得，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，
∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，
由三角形的外角性质得，∠OCE＝∠O+∠OBC，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠DCE的平分线，
∴∠OBC＝
∠ABC，∠OCE＝
∠DCE，
∴∠BOC+∠OBC＝
（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）＝
（∠A+∠D）+
∠ABC﹣90°，
∴∠BOC＝
（∠A+∠D）﹣90°，
∵∠A＝n°，∠D＝m°，
∴∠BOC＝
（n°+m°）﹣90°；
②同①可求，∠BOC＝90°﹣
（n°+m°）．
故答案为：125；55；
（n°+m°）﹣90°；90°﹣
（n°+m°）．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．
25．（玉环市期中）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况：
（1）将下面的表格补充完整：
（2）根据规律，是否存在一个正多边形，其中的∠α＝21°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由．
-
正多边形边数
3
4
5
6
…
n
∠α的度数
60°
45°
36°
30°
…
【分析】（1）根据正多边形的外角的求法，用360°除以边数求出外角度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，∠α等于外角的度数的一半；
（2）根据公式求出∠α＝21°时的边数，如果计算出是整数，则存在，否则不存在．
【解答】解：（1）n＝4时，360°÷4＝90°，∠α＝90°÷2＝45°，
n＝5时，360°÷5＝72°，∠α＝72°÷2＝36°，
n＝6时，360°÷6＝60°，∠α＝60°÷2＝30°，
边数为n时，∠α＝
×
＝
；
（2）假设存在一个正多边形，其中的∠α＝21°，
则
＝21°，
解得n＝
（不是整数），
所以，不存在一个正多边形使∠α＝21°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并理解∠α的表示是解题的关键．