第15章 分式 测试卷（1）
一、选择题
1．已知关于x的分式方程
=1的解是非正数，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣1 B．a≤﹣1且a≠﹣2 C．a≤1且a≠﹣2 D．a≤1
2．下列计算正确的是（ ）
A．﹣2﹣1=2 B．（﹣2）2=﹣4 C．20=0 D．
=2
3．甲乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用
v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（ ）
A．甲乙同时到达B地 B．甲先到达B地
C．乙先到达B地 D．谁先到达B地与速度v有关
4．若关于x的分式方程
=2的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m≥1 C．m＞﹣1且m≠1 D．m≥﹣1且m≠1
5．若x=3是分式方程
﹣
=0的根，则a的值是（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
6．关于x的分式方程
=
有解，则字母a的取值范围是（ ）
A．a=5或a=0 B．a≠0 C．a≠5 D．a≠5且a≠0
7．解分式方程
+
=3时，去分母后变形为（ ）
A．2+（x+2）=3（x﹣1） B．2﹣x+2=3（x﹣1） C．2﹣（x+2）=3（1﹣x） D．2﹣（x+2）=3（x﹣1）
8．分式方程
=
的解为（ ）
A．x=0 B．x=3 C．x=5 D．x=9
9．分式方程
=1的解为（ ）
A．1 B．2 C．
D．0
10．关于x的分式方程
的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m≥﹣1 D．m≥﹣1且m≠0
11．已知关于x的分式方程
+
=1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3
12．关于x的分式方程
=1的解为正数，则字母a的取值范围为（ ）
A．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣1
13．已知方程
﹣a=
，且关于x的不等式组
只有4个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A．﹣1＜b≤3 B．2＜b≤3 C．8≤b＜9 D．3≤b＜4
二、填空题
14．若分式方程
=a无解，则a的值为 ．
15．关于x的分式方程
﹣
=0无解，则m= ．
16．关于x的方程x2﹣4x+3=0与
=
有一个解相同，则a= ．
17．已知关于x的方程
的解是负数，则n的取值范围为 ．
18．分式方程
=
的解是 ．
19．方程
=
的解是 ．
20．方程
﹣
=1的解是 ．
21．若关于x的分式方程
=
﹣2有非负数解，则a的取值范围是 ．
22．计算：20130﹣2﹣1= ．
23．如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余电线的质量为b克，那么原来这卷电线的总长度是 米．
24．已知关于x的分式方程
﹣
=1的解为负数，则k的取值范围是 ．
25．若关于x的方程
无解，则m= ．
26．若关于x的分式方程
的解为正数，那么字母a的取值范围是 ．
27．关于x的方程
=﹣1的解是正数，则a的取值范围是 ．
28．已知关于x的方程
的解是正数，则m的取值范围是 ．
29．若关于x的方程
=
+1无解，则a的值是 ．
三、解答题
30．小明解方程
﹣
=1的过程如图．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知关于x的分式方程
=1的解是非正数，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣1 B．a≤﹣1且a≠﹣2 C．a≤1且a≠﹣2 D．a≤1
【考点】分式方程的解．
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非正数”建立不等式求a的取值范围．
【解答】解：去分母，得a+2=x+1，
解得，x=a+1，
∵x≤0且x+1≠0，
∴a+1≤0且a+1≠﹣1，
∴a≤﹣1且a≠﹣2，
∴a≤﹣1且a≠﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，需注意在任何时候都要考虑分母不为0，这也是本题最容易出错的地方．
2．下列计算正确的是（ ）
A．﹣2﹣1=2 B．（﹣2）2=﹣4 C．20=0 D．
=2
【考点】负整数指数幂；有理数的乘方；算术平方根；零指数幂．
【分析】根据有理数乘方的法则、算术平方根的定义以及负整数指数幂为正整数指数的倒数，任何非0数的0次幂等于1，分别进行计算，即可得出答案．
【解答】解：A、﹣2﹣1=﹣
，故本选项错误；
B、（﹣2）2=4，故本选项错误；
C、20=1，故本选项错误；
D、
=2，故本选项正确；
故选D．
【点评】此题考查了负整数指数幂、有理数的乘方、算术平方根以及零指数幂，注意：负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．
3．甲乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用
v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（ ）
A．甲乙同时到达B地 B．甲先到达B地
C．乙先到达B地 D．谁先到达B地与速度v有关
【考点】列代数式（分式）．
【分析】设从A地到B地的距离为2s，根据时间=路程÷速度可以求出甲、乙两人同时从A地到B地所用时间，然后比较大小即可判定选择项．
【解答】解：设从A地到B地的距离为2s，
而甲的速度v保持不变，
∴甲所用时间为
，
又∵乙先用
v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，
∴乙所用时间为
，
∴甲先到达B地．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元一次方程在实际问题中的应用，解题时首先正确理解题意，根据题意设未知数，然后利用已知条件和速度、路程、时间之间的关系即可解决问题．
4．若关于x的分式方程
=2的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m≥1 C．m＞﹣1且m≠1 D．m≥﹣1且m≠1
【考点】分式方程的解．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出m的范围即可．
【解答】解：去分母得：m﹣1=2x﹣2，
解得：x=
，
由题意得：
≥0且
≠1，
解得：m≥﹣1且m≠1，
故选D
【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
5．若x=3是分式方程
﹣
=0的根，则a的值是（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
【考点】分式方程的解．
【分析】首先根据题意，把x=3代入分式方程
﹣
=0，然后根据一元一次方程的解法，求出a的值是多少即可．
【解答】解：∵x=3是分式方程
﹣
=0的根，
∴
，
∴
，
∴a﹣2=3，
∴a=5，
即a的值是5．
故选：A．
【点评】（1）此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
（2）此题还考查了一元一次方程的求解方法，要熟练掌握．
6．关于x的分式方程
=
有解，则字母a的取值范围是（ ）
A．a=5或a=0 B．a≠0 C．a≠5 D．a≠5且a≠0
【考点】分式方程的解．
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“关于x的分式方程
=
有解”，即x≠0且x≠2建立不等式即可求a的取值范围．
【解答】解：
=
，
去分母得：5（x﹣2）=ax，
去括号得：5x﹣10=ax，
移项，合并同类项得：
（5﹣a）x=10，
∵关于x的分式方程
=
有解，
∴5﹣a≠0，x≠0且x≠2，
即a≠5，
系数化为1得：x=
，
∴
≠0且
≠2，
即a≠5，a≠0，
综上所述：关于x的分式方程
=
有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0，
故选：D．
【点评】此题考查了求分式方程的解，由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解列出关于a的不等式．另外，解答本题时，容易漏掉5﹣a≠0，这应引起同学们的足够重视．
7．解分式方程
+
=3时，去分母后变形为（ ）
A．2+（x+2）=3（x﹣1） B．2﹣x+2=3（x﹣1） C．2﹣（x+2）=3（1﹣x） D．2﹣（x+2）=3（x﹣1）
【考点】解分式方程．
【分析】本题考查对一个分式确定最简公分母，去分母得能力．观察式子x﹣1和1﹣x互为相反数，可得1﹣x=﹣（x﹣1），所以可得最简公分母为x﹣1，因为去分母时式子不能漏乘，所以方程中式子每一项都要乘最简公分母．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣1，
得：2﹣（x+2）=3（x﹣1）．
故选D．
【点评】考查了解分式方程，对一个分式方程而言，确定最简公分母后要注意不要漏乘，这正是本题考查点所在．切忌避免出现去分母后：2﹣（x+2）=3形式的出现．
8．分式方程
=
的解为（ ）
A．x=0 B．x=3 C．x=5 D．x=9
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x=3x﹣9，
解得：x=9，
经检验x=9是分式方程的解，
故选D．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
9．分式方程
=1的解为（ ）
A．1 B．2 C．
D．0
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2﹣3x=x﹣2，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解．
故选A．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
10．关于x的分式方程
的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m≥﹣1 D．m≥﹣1且m≠0
【考点】分式方程的解．
【分析】由题意分式方程
的解为负数，解方程求出方程的解x，然后令其小于0，解出m的范围．注意最简公分母不为0．
【解答】解：方程两边同乘（x+1），得m=﹣x﹣1
解得x=﹣1﹣m，
∵x＜0，
∴﹣1﹣m＜0，
解得m＞﹣1，
又x+1≠0，
∴﹣1﹣m+1≠0，
∴m≠0，
即m＞﹣1且m≠0．
故选：B．
【点评】此题主要考查分式的解，关键是会解出方程的解，此题难度中等，容易漏掉隐含条件最简公分母不为0．
11．已知关于x的分式方程
+
=1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3
【考点】分式方程的解．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为非负数求出m的范围即可．
【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3=x﹣1，
解得：x=m﹣2，
由方程的解为非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，
解得：m≥2且m≠3．
故选：C
【点评】此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为0这个条件．
12．关于x的分式方程
=1的解为正数，则字母a的取值范围为（ ）
A．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣1
【考点】分式方程的解．
【专题】计算题．
【分析】将分式方程化为整式方程，求得x的值然后根据解为正数，求得a的范围，但还应考虑分母x+1≠0即x≠﹣1．
【解答】解：分式方程去分母得：2x﹣a=x+1，
解得：x=a+1，
根据题意得：a+1＞0且a+1+1≠0，
解得：a＞﹣1且a≠﹣2．
即字母a的取值范围为a＞﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
13．已知方程
﹣a=
，且关于x的不等式组
只有4个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A．﹣1＜b≤3 B．2＜b≤3 C．8≤b＜9 D．3≤b＜4
【考点】分式方程的解；一元一次不等式组的整数解．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，经检验确定出分式方程的解，根据已知不等式组只有4个正整数解，即可确定出b的范围．
【解答】解：分式方程去分母得：3﹣a﹣a2+4a=﹣1，即（a﹣4）（a+1）=0，
解得：a=4或a=﹣1，
经检验a=4是增根，故分式方程的解为a=﹣1，
已知不等式组解得：﹣1＜x≤b，
∵不等式组只有4个整数解，
∴3≤b＜4．
故选：D
【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题意是解本题的关键．
二、填空题（共16小题）
14．若分式方程
=a无解，则a的值为 1或﹣1 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】计算题．
【分析】由分式方程无解，得到最简公分母为0求出x的值，分式方程去分母转化为整式方程，把x的值代入计算即可求出a的值．
【解答】解：去分母得：x﹣a=ax+a，即（a﹣1）x=﹣2a，
显然a=1时，方程无解；
由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，
把x=﹣1代入整式方程得：﹣a+1=﹣2a，
解得：a=﹣1，
综上，a的值为1或﹣1，
故答案为：1或﹣1
【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
15．关于x的分式方程
﹣
=0无解，则m= 0或﹣4 ．
【考点】分式方程的解．
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解答】解：方程去分母得：m﹣（x﹣2）=0，
解得：x=2+m，
∴当x=2时分母为0，方程无解，
即2+m=2，
∴m=0时方程无解．
当x=﹣2时分母为0，方程无解，
即2+m=﹣2，
∴m=﹣4时方程无解．
综上所述，m的值是0或﹣4．
故答案为：0或﹣4．
【点评】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．
16．关于x的方程x2﹣4x+3=0与
=
有一个解相同，则a= 1 ．
【考点】分式方程的解；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】利用因式分解法求得关于x的方程x2﹣4x+3=0的解，然后分别将其代入关于x的方程
=
，并求得a的值．
【解答】解：由关于x的方程x2﹣4x+3=0，得
（x﹣1）（x﹣3）=0，
∴x﹣1=0，或x﹣3=0，
解得x1=1，x2=3；
当x1=1时，分式方程
=
无意义；
当x2=3时，
=
，
解得a=1，
经检验a=1是原方程的解．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解、分式方程的解．解分式方程时，注意：分式的分母不为零．
17．已知关于x的方程
的解是负数，则n的取值范围为 n＜2且n≠
．
【考点】分式方程的解．
【分析】求出分式方程的解x=n﹣2，得出n﹣2＜0，求出n的范围，根据分式方程得出n﹣2≠﹣
，求出n，即可得出答案．
【解答】解：
，
解方程得：x=n﹣2，
∵关于x的方程
的解是负数，
∴n﹣2＜0，
解得：n＜2，
又∵原方程有意义的条件为：x≠﹣
，
∴n﹣2≠﹣
，
即n≠
．
故答案为：n＜2且n≠
．
【点评】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，关键是得出n﹣2＜0和n﹣2≠﹣
，注意题目中的隐含条件2x+1≠0，不要忽略．
18．分式方程
=
的解是 x=2 ．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x=2x+2，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
故答案为：x=2．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19．方程
=
的解是 x=9 ．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可确定出分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x=3x﹣9，
解得：x=9，
经检验x=9是分式方程的解，
故答案为：x=9
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20．方程
﹣
=1的解是 x=2 ．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2﹣2x+2=x2﹣x，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解，
故答案为：x=2
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．若关于x的分式方程
=
﹣2有非负数解，则a的取值范围是 a
且a
．
【考点】分式方程的解．
【分析】将a看做已知数，表示出分式方程的解，根据解为非负数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．
【解答】解：分式方程去分母得：2x=3a﹣4（x﹣1），
移项合并得：6x=3a+4，
解得：x=
，
∵分式方程的解为非负数，
∴
≥0且
﹣1≠0，
解得：a≥﹣
且a≠
．
故答案为：a
且a
．
【点评】此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，本题注意x﹣1≠0这个隐含条件．
22．计算：20130﹣2﹣1= 
．
【考点】负整数指数幂；零指数幂．
【分析】根据任何数的零次幂等于1，负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数进行计算即可得解．
【解答】解：20130﹣2﹣1=1﹣
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了任何数的零次幂等于1，负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，是基础题，熟记两个性质是解题的关键．
23．如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余电线的质量为b克，那么原来这卷电线的总长度是 
米．
【考点】列代数式（分式）．
【专题】计算题．
【分析】这卷电线的总长度=截取的1米+剩余电线的长度．
【解答】解：根据1米长的电线，称得它的质量为a克，只需根据剩余电线的质量除以a，即可知道剩余电线的长度．故总长度是（
+1）米．
故答案为：（
+1）．
【点评】注意代数式的正确书写，还要注意后边有单位，故该代数式要带上括号．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
24．已知关于x的分式方程
﹣
=1的解为负数，则k的取值范围是 k＞
且k≠1 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据解为负数确定出k的范围即可．
【解答】解：去分母得：（x+k）（x﹣1）﹣k（x+1）=x2﹣1，
去括号得：x2﹣x+kx﹣k﹣kx﹣k=x2﹣1，
移项合并得：x=1﹣2k，
根据题意得：1﹣2k＜0，且1﹣2k≠±1
解得：k＞
且k≠1
故答案为：k＞
且k≠1．
【点评】此题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
25．若关于x的方程
无解，则m= ﹣8 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，将x=5代入计算即可求出m的值．
【解答】解：分式方程去分母得：2（x﹣1）=﹣m，
将x=5代入得：m=﹣8．
故答案为：﹣8
【点评】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
26．若关于x的分式方程
的解为正数，那么字母a的取值范围是 a＞1且a≠2 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】计算题．
【分析】将a看做已知数求出分式方程的解得到x的值，根据解为正数列出不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．
【解答】解：分式方程去分母得：2x﹣a=x﹣1，
解得：x=a﹣1，
根据题意得：a﹣1＞0且a﹣1﹣1≠0，
解得：a＞1且a≠2．
故答案为：a＞1且a≠2．
【点评】此题考查了分式方程的解，弄清题意是解本题的关键．注意分式方程分母不等于0．
27．关于x的方程
=﹣1的解是正数，则a的取值范围是 a＞﹣1且a≠﹣
．
【考点】分式方程的解．
【分析】根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得答案．
【解答】解：
=﹣1，
解得x=
，
∵
=﹣1的解是正数，
∴x＞0且x≠2，
即
0且
≠2，
解得a＞﹣1且a≠﹣
．
故答案为：a＞﹣1且a≠﹣
．
【点评】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出a的取值范围．
28．已知关于x的方程
的解是正数，则m的取值范围是 m＞﹣6且m≠﹣4 ．
【考点】分式方程的解．
【分析】首先求出关于x的方程
的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取值范围．
【解答】解：解关于x的方程
得x=m+6，
∵方程的解是正数，∴m+6＞0且m+6≠2，
解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．
故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．
【点评】本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，解关于x的方程是关键，解关于x的不等式是本题的一个难点．
29．若关于x的方程
=
+1无解，则a的值是 2或1 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】压轴题．
【分析】把方程去分母得到一个整式方程，把方程的增根x=2代入即可求得a的值．
【解答】解：x﹣2=0，解得：x=2．
方程去分母，得：ax=4+x﹣2，即（a﹣1）x=2
当a﹣1≠0时，把x=2代入方程得：2a=4+2﹣2，解得：a=2．
当a﹣1=0，即a=1时，原方程无解．
故答案是：2或1．
【点评】首先根据题意写出a的新方程，然后解出a的值．
三、解答题
30．小明解方程
﹣
=1的过程如图．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．
【考点】解分式方程．
【专题】图表型．
【分析】小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误； 步骤②去括号有误；步骤⑥少检验，写出正确的解题过程即可．
【解答】解：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误； 步骤②去括号有误；步骤⑥少检验；
正确解法为：方程两边乘以x，得：1﹣（x﹣2）=x，
去括号得：1﹣x+2=x，
移项得：﹣x﹣x=﹣1﹣2，
合并同类项得：﹣2x=﹣3，
解得：x=
，
经检验x=
是分式方程的解，
则方程的解为x=
．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．